Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɢɡ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɩ

ȿɫɥɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ m m m ɫɱɢɬɚɹ ɬɨ ɥɟɝɤɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɱɬɨ

ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɢɡ m ɩɨ ɬ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɟɪɟɫɬɚ ɧɨɜɤɚɦɢ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɟɫɬɶ

Pm m

ПРИМЕР 1. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɥɨɠɢɬɶ ɜ ɪɹɞ ɧɚ ɜɢɬ ɪɢɧɟ ɦɚɝɚɡɢɧɚ ɩɹɬɶ '9' ɞɢɫɤɨɜ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɂɦɟɟɦ ɤɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɨɣ ɜ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɟ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧ ɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ G ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ Q G ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɢɳɟɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɩɟ ɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ

P

ПРИМЕР 2. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɬɚɜɢɬɶ ɧɚ ɩɨɥɤɟ ɤɧɢɝ ɟɫɥɢ ɚ ɞɜɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɤɧɢɝɢ ɞɨɥɠɧɵ ɜɫɟɝɞɚ ɫɬɨɹɬɶ ɪɹɞɨɦ ɛ ɷɬɢ ɞɜɟ ɤɧɢɝɢ ɧɟ ɞɨɥɠɧɵ ɫɬɨɹɬɶ ɪɹɞɨɦ" Ɋɟɲɟɧɢɟ ɚ ɉɚɪɭ ɤɧɢɝ ɤɨɬɨɪɵɟ ɞɨɥɠɧɵ ɫɬɨɹɬɶ ɪɹɞɨɦ ɭɫɥɨɜɢɦɫɹ ɩɨɤɚ

ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɨɞɧɭ ɤɧɢɝɭ Ɍɨɝɞɚ ɧɭɠɧɨ ɪɚɫɫɬɚɜɢɬɶ ɤɧɢɝ ɩɨ ɩɹɬɢ ɦɟɫɬɚɦ ɱɬɨ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ P ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɬɟɩɟɪɶ ɩɨɪɹɞɨɤ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɬɟɯ ɞɜɭɯ ɤɧɢɝ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɵ ɩɨɫɱɢɬɚɥɢ ɡɚ ɨɞɧɭ ɢɦɟɟɦ P ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ ɱɢɫɥɨ ɫɩɨɫɨɛɨɜ P u Ɋ u

ɛ ɋɩɨɫɨɛɨɜ ɩɟɪɟɫɬɚɜɢɬɶ ɤɧɢɝ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ Ɋ ɧɨ ɢɡ ɧɢɯ ɤɚɤ ɭɫɬɚ ɧɨɜɥɟɧɨ ɜ ɩ ɚ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɫɬɚɜɢɬɶ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɤɧɢɝɢ ɜɦɟɫɬɟ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɱɢɫɥɨ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɫɬɚɜɢɬɶ ɤɧɢɝɢ ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɤɧɢɝɢ ɧɟ ɫɬɨɹɥɢ ɪɚɜɧɨ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ±

ȿɫɥɢ ɬɟɩɟɪɶ ɫɬɪɨɢɬɶ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ G ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ Q G m ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɬɨ ɬɚɤɢɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟ ɫɬɜɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɢɡ m ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ

Теорема. Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ m ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɨ ɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɨ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

11

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɑɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɢɡ m ɩɨ k ɷɥɟ ɦɟɧɬɨɜ ɦɨɠɧɨ ɫɧɚɱɚɥɚ ©ɨɪɝɚɧɢɡɨɜɚɬɶª ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɧɟɭɩɨ ɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɢɡ m ɩɨ k ɜ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ Cmk ɚ ɡɚɬɟɦ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɬɚɤɨɦ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɟ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɢɹ ɬ ɟ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɜ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ Pk Ɋɚɫɫɭɠɞɚɹ ɤɚɤ ɜ ɩ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɬɨ

ɋɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɢɡ ɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɪɚɡ ɦɟɳɟɧɢɣ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɢ ɧɟɬɪɭɞɧɨ ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɟɫɥɢ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟɦ

ПРИМЕР. ɂɦɟɟɬɫɹ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɢɝɪɭɲɟɤ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɮɨɪɦɢɪɭɸɬ ɤɨɦ ɩɥɟɤɬɵ ɩɨɞɚɪɤɨɜ ɩɨ ɬɪɢ ɢɝɪɭɲɤɢ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɋɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɦɩɥɟɤɬɨɜ ɩɨɞɚɪɤɨɜ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɢɪɨɜɚɬɶ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɂɦɟɟɦ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɨ ɷɥɟ ɦɟɧɬɚ ɢɡ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɩ ɩ ɢɳɟɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɬ ɟ

ɂɬɚɤ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɢɪɨɜɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɦɩɥɟɤɬɨɜ ɩɨɞɚɪɤɨɜ

Ɋɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɢɪɨɜɚɬɶ ɤɚɤ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɡɚɞɚɧɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɡ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩ ɧɨɫɬɢ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɣ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɤɚɤ ɫɚɦɢɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɬɚɤ ɢ ɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɪɚɡɧɹɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɫɚɦɢɦɢ ɷɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɩɨɪɹɞɨɤ ɢɯ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɟɧ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɟɪɟɫɬɚ ɧɨɜɤɢ ɢɡ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ ɦɨɝɭɬ ɨɬɥɢɱɚɬɶɫɹ ɥɢɲɶ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɫɥɟɞɨɜɚ ɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɂɦɟɧɧɨ ɬɚɤɢɟ ɩɪɢɡɧɚɤɢ ɨɛɵɱɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɞɥɹ ɪɚɫɩɨɡɧɚɜɚ ɧɢɹ ɜɢɞɚ ɜɵɛɨɪɨɤ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ

12

. Число элементов в объединении множеств

ɇɚɩɨɦɧɢɦ ɱɬɨ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɟɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜ A ɢ B ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɨ A B ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɯɨɬɹ ɛɵ ɜ ɨɞɧɨɦ ɢɡ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜ A ɢɥɢ B ɬ ɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɢɥɢ ɜ A ɢɥɢ ɜ B ɢɥɢ ɜ ɨɛɨɢɯ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɚɯ Ɉɛɳɚɹ ɠɟ ɱɚɫɬɶ A B ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɢɯ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ

3.2. Теорема 1. ȿɫɥɢ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ɢ B ɢɦɟɸɬ ɩɭɫɬɨɟ ɩɟɪɟ ɫɟɱɟɧɢɟ ɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ

n A B n A n B

Теорема 2. ȿɫɥɢ ɤɨɧɟɱɧɵɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ɢ B ɢɦɟɸɬ ɧɟɩɭɫɬɨɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟ ɧɢɟ ɬɨ

n A B n A n B n A B

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɬɟɨɪɟɦ ɢ ɥɟɝɤɨ ɜɵɬɟɤɚɸɬ ɢɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɢɧɬɟɪɩɪɟ ɬɚɰɢɣ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɹ ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɯɫɹ ɢ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɯɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɞɢɚɝɪɚɦɦ ȼɶɟɧɚ

ПРИМЕР. ȼɫɟ ɚɤɰɢɨɧɟɪɵ ɁȺɈ ɩɟɪɟɜɨɞɹɬ ɞɢɜɢɞɟɧɞɵ ɧɚ ɫɱɟɬɚ ɜ ɛɚɧɤɚɯ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɱɬɨ ɚɤɰɢɨɧɟɪɚ ɢɦɟɸɬ ɫɱɟɬɚ ɜ ɋɛɟɪɛɚɧɤɟ ɱɟɥɨɜɟɤ ± ɜ ɉɨɱɬɚ ɛɚɧɤɟ ɧɨ ɢɡ ɧɢɯ ɞɜɨɟ ɢɦɟɸɬ ɬɚɤɠɟ ɫɱɟɬɚ ɢ ɜ ɋɛɟɪɛɚɧɤɟ ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɫɟɝɨ ɚɤɰɢɨɧɟɪɨɜ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɁȺɈ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ Ⱥ ± ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɚɤɰɢɨɧɟɪɨɜ ɢɦɟɸɳɢɯ ɫɱɟɬɚ ɜ ɋɛɟɪɛɚɧɤɟ ȼ ± ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɚɤɰɢɨɧɟɪɨɜ ɢɦɟɸɳɢɯ ɫɱɟɬɚ ɜ ɉɨɱɬɚ ɛɚɧɤɟ Ɍɨɝɞɚ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ n A B ɂɦɟɟɦ

n A B n A n B n A B

4. Бином Ньютона

ɂɡɜɟɫɬɧɵɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɤɭɛɚ ɫɭɦɦɵ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɨɛɨɛɳɟɧɵ ɫɥɟ ɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

Теорема. Ⱦɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ m ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ

ɑɢɫɥɚ Cmk ɜ ɡɞɟɫɶ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ Ɉɛɳɢɣ ɱɥɟɧ ɫɭɦɦɵ ɬ ɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɫɬɨɹɳɟɟ ɧɚ k ɦɟɫɬɟ ɫɱɢɬɚɸɬ

k ɦ ɱɥɟɧɨɦ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ Ɍk ɬ ɟ

13

ɋ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨɦ ɫɜɹɡɚɧɚ ɬɟɯɧɢɤɚ ɩɨɥɭɱɟɧɢɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɞɥɹ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɜɚɠɧɟɣɲɢɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ± ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɨɝɨ ɷɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟ ɥɟɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɢɡɥɨɠɟɧɨ ɧɢɠɟ

Ɉɞɢɧ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɮɨɪɦɭɥɵ ɛɢɧɨɦɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɋɧɚɱɚɥɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ak k m ɜ ɪɚɡ ɥɨɠɟɧɢɢ

ȿɫɥɢ ɜɫɩɨɦɧɢɬɶ ɱɬɨ Cmk ɟɫɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɧɟɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ k ɷɥɟɦɟɧɬɧɵɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɝɨ ɜɫɟɝɨ m ɷɥɟɦɟɧ ɬɨɜ ɬɨ ɭɤɚɡɚɧɧɚɹ ɫɭɦɦɚ ɜɵɪɚɠɚɟɬ ɫɨɛɨɸ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɨɨɛɳɟ ɜɫɟɯ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ

14

ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɂɬɚɤ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɝɨ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɪɚɜɧɨ m

ПРИМЕР. ȼ ɚɭɞɢɬɨɪɢɢ ɥɸɦɢɧɟɫɰɟɧɬɧɵɯ ɥɚɦɩ ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɨɫɜɟɳɟɧɢɹ ɞɚɧɧɨɣ ɚɭɞɢɬɨɪɢɢ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ʌɸɛɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɢɡ ɜɤɥɸɱɟɧɧɵɯ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɥɚɦɩ ɟɫɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɟɫɬɶ ɬɨɝɞɚ ɬ ɟ ɂɫɤɥɸɱɚɹ ɫɥɭɱɚɣ ɧɭɥɶ ɷɥɟɦɟɧɬɧɨɝɨ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɫɥɭɱɚɣ ɤɨɝɞɚ ɧɢ ɨɞɧɚ ɥɚɦɩɚ ɧɟ ɝɨɪɢɬ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɜ ɨɬɜɟɬɟ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɨɫɜɟɳɟɧɢɹ

КОНТРОЛЬНЫЙ МОДУЛЬ

КОМБИНАТОРИКА

ɌȿɈɊȿɌɂɑȿɋɄɂȿ ɍɉɊȺɀɇȿɇɂə

ɦɭɥɭ ɞɥɹ ɩɨɞɫɱɟɬɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ n A B ɋ ɜ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɢ ɬɪɟɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ

Ʉɚɤɨɜ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɡ ɛɢɧɨɦɢɚɥɶɧɵɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɜ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɢx n "

ɁȺȾȺɑɂ ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɈȽɈ Ɋȿɒȿɇɂə

Ʌɨɝɢɧ ɞɨɥɠɟɧ ɧɚɱɢɧɚɬɶɫɹ ɫ ɛɭɤɜɵ 6 ɢ ɫɨɫɬɨɹɬɶ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɛɭɤɜ ɚɧɝɥɢɣ ɫɤɨɝɨ ɚɥɮɚɜɢɬɚ ɜ ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɦ ɚɥɮɚɜɢɬɟ ɛɭɤɜ ɋɤɨɥɶɤɨ ɦɨɠɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɬɚɤɢɯ ɥɨɝɢɧɨɜ ɟɫɥɢ

ɚ ɜɫɟ ɛɭɤɜɵ ɜ ɧɟɦ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɢɱɧɵɦɢ ɛ ɛɭɤɜɵ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ

15

Ʉɚɠɞɵɣ ɢɡ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɝɪɭɩɩɵ ɜɨ ɜɪɟɦɹ ɤɚɧɢɤɭɥ ɪɚɛɨɬɚɥ ɜ ɫɬɪɨɣɨɬɪɹɞɟ ɢɥɢ ɩɨɛɵɜɚɥ ɜ ɫɩɨɪɬɢɜɧɨɦ ɥɚɝɟɪɟ ȼ ɫɬɪɨɣɨɬɪɹɞɟ ɛɵɥɢ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɚ ɜ ɥɚ ɝɟɪɟ ± ɩɪɢɱɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɭɫɩɟɥɢ ɢ ɩɨɪɚɛɨɬɚɬɶ ɢ ɩɨɛɵɜɚɬɶ ɧɚ ɫɩɨɪɬɢɜɧɵɯ ɫɛɨɪɚɯ Ʉɚɤɨɜ ɩɪɨɰɟɧɬ ɬɚɤɢɯ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ"

ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɶɧɵɯ ɧɨɦɟɪɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɫɨ ɫɬɨɹɬ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɰɢɮɪ ɟɫɥɢ ɩɟɪɜɚɹ ɢɡ ɧɢɯ ɧɟ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ"

ɂɡ ɜɨɫɶɦɢ ɞɟɩɭɬɚɬɨɜ ɧɚɞɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɩɪɟɞɫɟɞɚɬɟɥɹ ɫɱɟɬɧɨɣ ɤɨɦɢɫɫɢɢ ɢ ɟɝɨ ɡɚɦɟɫɬɢɬɟɥɹ ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɷɬɨ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ"

ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɛɭɤɜ ɜ ɫɥɨɜɟ ©ɞɨɝɨɜɨɪª"ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɞɢɚɝɨɧɚɥɟɣ ɜ ɜɵɩɭɤɥɨɦ n ɭɝɨɥɶɧɢɤɟ"ȼ ɨɬɞɟɥɟɧɢɢ ɫɜɹɡɢ ɩɪɨɞɚɸɬ ɜɢɞɨɜ ɤɨɧɜɟɪɬɨɜ ɢ ɜɢɞɨɜ ɦɚɪɨɤ ɋɤɨɥɶ

ɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɤɭɩɢɬɶ ɤɨɧɜɟɪɬ ɢ ɦɚɪɤɭ ɤ ɧɟɦɭ"ɒɟɫɬɶ ɦɟɥɨɦɚɧɨɜ ɫɩɟɲɚɬ ɡɚɧɹɬɶ ɨɱɟɪɟɞɶ ɤ ɮɢɥɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɣ ɤɚɫɫɟ

ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɫɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɚ ɬɚɤɚɹ ɨɱɟɪɟɞɶ"ȼ ɩɨɧɟɞɟɥɶɧɢɤ ɭ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɭɱɟɛɧɵɟ ɩɚɪɵ ɋɤɨɥɶɤɨ ɦɨɠ

ɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɚɫɩɢɫɚɧɢɣ ɧɚ ɩɨɧɟɞɟɥɶɧɢɤ ɟɫɥɢ ɜɫɟɝɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɭɱɟɛɧɵɯ ɞɢɫ ɰɢɩɥɢɧ

Ƚɪɭɩɩɚ ɱɟɥɨɜɟɤ ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɪɚɡɞɟɥɟɧɚ ɧɚ ɞɜɟ ɩɨɞɝɪɭɩɩɵ ɞɥɹ ɢɡɭɱɟ ɧɢɹ ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɝɨ ɢ ɮɪɚɧɰɭɡɫɤɨɝɨ ɹɡɵɤɚ ɩɪɢɱɟɦ ɜ ©ɚɧɝɥɢɣɫɤɨɣª ɝɪɭɩɩɟ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɱɟɥɨɜɟɤ ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɨɞɝɪɭɩɩ ɟɫɥɢ ɫɚɦɢ ɭɱɚɳɢɟɫɹ ɧɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɸɬ ɧɢɤɚɤɢɯ ɩɪɟɞɩɨɱɬɟɧɢɣ ɩɨ ɩɨɜɨɞɭ ɜɵɛɨɪɚ ɢɧɨ ɫɬɪɚɧɧɨɝɨ ɹɡɵɤɚ"

16

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ

Ɉɫɧɨɜɧɵɦɢ ɩɨɧɹɬɢɹɦɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɩɨɧɹɬɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ ɢ ɟɝɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɇɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɧɚɲɟɝɨ ɠɢɡɧɟɧɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɫɨɛɵɬɢɹ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡ ɛɢɬɶ ɧɚ ɬɪɢ ɤɚɬɟɝɨɪɢɢ

x ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ ɬ ɟ ɧɚɜɟɪɧɹɤɚ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɳɢɟ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɭɫɥɨɜɢɣ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɦ ɫɢɦɜɨɥɨɦ ȿ

x ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɬ ɟ ɧɚɜɟɪɧɹɤɚ ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɳɢɟ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɦ ɫɢɦɜɨɥɨɦ

x ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ ɬɚɤ ɢ ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɣɬɢ ɩɪɢ ɜɵ ɩɨɥɧɟɧɢɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɚ ɭɫɥɨɜɢɣ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ Ⱥ ȼ ɋ

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ ɤɚɤ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɱɢɫɥɟɧɧɚɹ ɦɟɪɚ ɫɬɟɩɟɧɢ ɨɛɴɟɤɬɢɜ ɧɨɣ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɬɚɤ ɱɬɨ ɤɚɠɞɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ $ ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ P P A

1. Алгебра событий

ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɣ ɋɨɛɵɬɢɟ A A1 A2 … An ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɭɦɦɨɣ ɫɨɛɵɬɢɣ A1 A2 An ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ Ⱥk N Q

ɋɨɛɵɬɢɟ A A A An ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɭɦɦɨɣ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɤɨ ɥɢɱɟɫɬɜɚ ɫɨɛɵɬɢɣ ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɟ $ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ Ⱥk N

ɍɦɧɨɠɟɧɢɟ ɫɨɛɵɬɢɣ ɋɨɛɵɬɢɟ B A1 A2 … An ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟ ɧɢɟɦ ɫɨɛɵɬɢɣ A1 A2 An ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɟ ȼ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɦ ɧɚɫɬɭɩɥɟ ɧɢɢ ɜɫɟɯ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ Ⱥk N Q

ɉɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɫɨɛɵɬɢɣ B A1 A2 … An «ɫɨ ɫɬɨɢɬ ɬɚɤɠɟ ɜ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ ɜɫɟɯ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ

ɂɦɟɸɬ ɦɟɫɬɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɚ Ʉɨɦɦɭɬɚɬɢɜɧɨɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ

A A A A A A A A

17

ɛ ɚɫɫɨɰɢɚɬɢɜɧɨɫɬɶ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ

ɜ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ

A A A A A A A

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɫɜɨɣɫɬɜ ɢ ɞɪɭɝɢɯ ɪɚɜɟɧɫɬɜ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ ɦɨɠɧɨ ɮɨɪɦɚɥɢɡɨɜɚɬɶ ɟɫɥɢ ɨɛɭɱɚɸɳɢɟɫɹ ɜɥɚɞɟɸɬ ɬɚɛɥɢɰɚɦɢ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɯ ɨɩɟɪɚɰɢɣ Ⱦɟɥɨ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ©ɧɚɫɬɭɩɢɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢɥɢ A ª ©ɧɚɫɬɭɩɹɬ ɨɛɚ ɫɨɛɵɬɢɹ A ɢ A ª ɢɫɬɢɧɧɨ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ ɤɨɝɞɚ ɢɫɬɢɧɧɚ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɹ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɹ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚ ɧɢɣ ©ɧɚɫɬɭɩɢɬ A ª ©ɧɚɫɬɭɩɢɬ A ª ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɜɡɚɢɦɧɨ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɨɩɟɪɚɰɢɹɦɢ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɞɢɡɴɸɧɤɰɢɟɣ ɤɨɧɴɸɧɤɰɢɟɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɣ

Ɍɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɭɫɬɚɧɨɜɢɦ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨɫɬɶ ɞɢɫɬɪɢɛɭɬɢɜɧɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɧɚ ɨɫɧɨɜɚɧɢɢ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɬɚɛɥɢɰɵ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ Ʉɚɤ ɨɛɵɱɧɨ ɜ ɧɟɣ ɫɢɦɜɨɥ ɨɡɧɚ ɱɚɟɬ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɶ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ©ɫɨɛɵɬɢɟ ɧɚɫɬɭɩɢɬª ɮɭɧɤɰɢɹ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɩɪɢ ɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨɟ ɚ ɫɢɦɜɨɥ ± ɟɝɨ ɥɨɠɧɨɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ ɢɫɬɢɧɧɨɫɬɢ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨɟ ɋɜɨɣɫɬɜɨ ɛɭɞɟɬ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɹɬɨɣ ɢ ɫɟɞɶɦɨɣ ɤɨɥɨɧɨɤ ɬɚɛɥɢɰɟ

ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɢɫɤɥɸɱɚɟɬ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɞɪɭɝɨɝɨ ɋɨɛɵɬɢɹ A A Ⱥn ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɦɢ ɟɫɥɢ ɥɸɛɵɟ ɞɜɚ ɢɡ ɧɢɯ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ

18

Ƚɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɝɪɭɩɩɚ ɫɨɛɵɬɢɣ A A Ⱥn ɩɨɥɧɚ ɟɫɥɢ A A An E ɬ ɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɨɩɵɬɚ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɹɜ ɥɹɟɬɫɹ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɦ

ɋɨɛɵɬɢɹ A ɢ A ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɦɢ ɟɫɥɢ ɨɧɢ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ ɢ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ

A A A A ȿ

Ɇɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɫɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ A ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɟɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ Ⱥ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɟ ©ɧɚɫɬɭɩɢɬ Aª ɟɫɬɶ ɨɬɪɢɰɚɧɢɟ ɜɵɫɤɚɡɵɜɚɧɢɹ ©ɧɚɫɬɭɩɢɬ Ⱥª

ПРИМЕР 1.1. Ȼɥɨɤ ɜ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɫɯɟɦɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɜɚ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨ ɫɨɟɞɢɧɟɧɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɟɫɬɶ ɢɫɩɪɚɜɧɨɫɬɶ ɩɟɪɜɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ A ± ɜɬɨɪɨɝɨ ȼɵɪɚɡɢɬɶ ɱɟɪɟɡ A ɢ A ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɫɨɛɵɬɢɹ A ɛɥɨɤ ɩɪɨɩɭɫɤɚɟɬ ɬɨɤ

B ɛɥɨɤ ɧɟ ɩɪɨɩɭɫɤɚɟɬ ɬɨɤɚ

Ɂɞɟɫɶ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɫɨɫɬɨɹɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɫɨɛɵ ɬɢɹ Ⱥ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɢɫɩɪɚɜɧɨɫɬɶ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɬɨ A A A ɋɨ ɛɵɬɢɟ ȼ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɧɟɢɫɩɪɚɜɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚ ɬ ɟ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɟ ɧɚɫɬɭɩɥɟ ɧɢɟ A ɢ A ɚ ɡɧɚɱɢɬ ȼ A A

ПРИМЕР 1.2. ȼɵɪɚɡɢɬɶ ɩɪɢ ɧɚɥɢɱɢɢ ɬɨɣ ɠɟ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɫɯɟɦɵ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɋ ɜ ɛɥɨɤɟ ɢɫɩɪɚɜɟɧ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɷɥɟɦɟɧɬ

Ɋɚɫɫɭɠɞɚɟɦ ɬɚɤ ɫɨɛɵɬɢɟ ɋ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɞɜɭɯ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɢɫ ɩɪɚɜɟɧ ɩɟɪɜɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɫɨɛɵɬɢɟ A ɢ ɧɟɢɫɩɪɚɜɟɧ ɜɬɨɪɨɣ A ɬɚɤ ɱɬɨ ɧɚɫɬɭ ɩɚɟɬ A A ɢɥɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ ɧɚɫɬɭɩɚɟɬ A A ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ

ɋ A A A A

ɑɢɬɚɬɟɥɸ ɩɪɟɞɥɚɝɚɟɦ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɢɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɧɚ ɫɥɭɱɚɣ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɪɨɜɧɨ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ ɬɪɟɯ ɢɡ ɩ ɞɚɧɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɬ ɟ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɪɨɜɧɨ ɞɜɭɯ ɢɡ ɬɪɟɯ ɞɚɧɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɟɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɟ

Ⱥ A Ⱥ A Ⱥ $ Ⱥ A A Ⱥ

ɢ ɬ ɩ

ɋɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ U ɜɫɟɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢɦɟɧɭɟɬɫɹ ɚɥɝɟɛɪɨɣ ɫɨɛɵɬɢɣ Ɉɧɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɬɟɦ ɱɬɨ

x ɜ ɧɟɣ ɜɜɟɞɟɧɵ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɜɵɩɨɥɧɟ ɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɬɚɤɠɟ ɫɨɞɟɪɠɚɬɫɹ ɜ U

19

x U ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ

x ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɤɚɠɞɵɦ ɫɨɛɵɬɢɟɦ Ⱥ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ U ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ A

Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɫɨɛɵɬɢɣ ɫɨɞɟɪɠɚɳɚɹ ɬɚɤɠɟ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɟ ɫɭɦɦɵ ɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ V ɚɥɝɟɛɪɨɣ ɛɨɪɟɥɟɜɫɤɨɣ ɚɥɝɟɛɪɨɣ

2. Классическая вероятность

Ȼɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ȼ ɋ ɤɚɤ ɢɫɯɨɞɵ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ ɫɱɢɬɚɟɦ ɤɨɧɟɱɧɵɦ Ʉɚɠɞɨɦɭ ɨɩɵɬɭ ɫɨɩɨɫɬɚɜɢɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɟɝɨ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ©ɧɟɪɚɡɥɨɠɢɦɵɯª ɢɫɯɨɞɨɜ : ^Z Z Zn`

ɤɨɬɨɪɨɟ ɞɚɟɬ ɩɨɥɧɭɸ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɸ ɨ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɵɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɯ ɷɬɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɗɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɦɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɬɚɤɢɟ ɢɫɯɨɞɵ Zi ɨɩɵɬɚ ɤɨɬɨɪɵɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨ

ɪɹɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ ɚ ɝɪɭɩɩɚ ɢɫɯɨɞɨɜ ɩɨɥɧɚ ɬ ɟ ɨɛɹɡɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɨɣɞɟɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɢɡ Zi ɛ ɢɫɯɨɞɵ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵ

ɜ ɜɫɟ Zi ± ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ ɬ ɟ ɨɛɴɟɤɬɢɜɧɨ ɧɢ ɨɞɢɧ ɢɡ ɢɫɯɨɞɨɜ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬ ɫɹ ɛɨɥɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɱɟɦ ɥɸɛɨɣ ɞɪɭɝɨɣ

ɋɪɟɞɢ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ : ɢɦɟɸɬɫɹ ɢɫɯɨɞɵ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɧɚɫɬɭɩɚɟɬ

Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ m mA ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ Ⱥ ɤ ɨɛɳɟɦɭ ɱɢɫɥɭ n ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɨɩɵɬɚ

ɜɢɞɧɵ ɧɚɤɨɧɟɰ mA n ɞɥɹ ɜɫɹɤɨɝɨ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɚ ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɰɟɧɤɚ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ

Ɇɧɨɝɢɟ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɫɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɵ ɜ ɜɢɞɟ ɫɥɟ ɞɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ ɨ ɜɵɛɨɪɤɟ

20