Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

Ɇɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɪɚɜɧɵɣ ɩɨ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɸ ɦɚɪɲɪɭɬ ɩɨ ɭɥɢɰɟ ȼɟɫɟɧɧɟɣ ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɜɟɬɨɮɨɪɨɜ ɋɪɟɞɧɟɟ ɱɢɫɥɨ ɨɫɬɚɧɨɜɨɤ ɩɪɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɟɡɞɟ ɩɨ ɭɥ ȼɟɫɟɧɧɟɣ ɪɚɜɧɨ ɑɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɟɣ ɩɪɨɟɯɚɬɶ ɛɟɡ ɨɫɬɚɧɨɜɨɤ ɩɨ ɭɥɢɰɟ Ɂɟɥɺɧɨɣ ɢɥɢ ɩɨ ɭɥɢɰɟ ȼɟɫɟɧɧɟɣ"

ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɪɢɦɟɪɚ ɤɟɣɫɚ ɩɪɢɜɟɞɺɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɡɚɞɚɧɢɟ ɨɞɧɨɜɪɟ ɦɟɧɧɨ ɧɚɰɟɥɟɧɧɨɝɨ ɧɚ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɮɢɧɚɧɫɨɜɨɣ ɝɪɚɦɨɬɧɨɫɬɢ ɤɭɪɫ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɲɤɨɥɵ

ɉɨ ɞɚɧɧɵɦ ɤɜɢɬɚɧɰɢɣ ɤɜɚɪɬɩɥɚɬɵ ɡɚ ɢɫɬɟɤɲɢɣ ɤɚɥɟɧɞɚɪɧɵɣ ɝɨɞ ɡɚɩɢɲɢɬɟɩɨ ɦɟɫɹɰɚɦ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɢɡɪɚɫɯɨɞɨɜɚɧɧɨɣ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ Ɂɚɬɟɦ ɪɚɫɩɨɥɨɠɢɬɟ ɫɬɨɢɦɨɫɬɢ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɢɯ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɢ ɫɨ ɫɬɚɜɶɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɬɚɛɥɢɰɭ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɫ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɣ ɱɚɫɬɨ ɬɨɣ ɟɫɥɢ ɬɚɤɨɜɚɹ ɢɦɟɟɬɫɹ ȼ ɤɚɤɨɦ ɦɟɫɹɰɟ ɭɩɥɚɱɟɧɚ ɧɚɢɛɨɥɶɲɚɹ ɚ ɜ ɤɚɤɨɦ ± ɧɚɢɦɟɧɶɲɚɹ ɫɭɦɦɚ" Ʉɚɤ ɜɵ ɞɭɦɚɟɬɟ ɩɨɱɟɦɭ ɢɦɟɧɧɨ ɜ ɷɬɢ ɦɟɫɹɰɵ ɜɵ ɡɚɩɥɚɬɢɥɢ ɛɨɥɶɲɟ ɜɫɟɝɨ ɢ ɦɟɧɶɲɟ ɜɫɟɝɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ" Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɪɚɡɦɚɯ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɢ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ Ʉɚɤɨɜɚ ɫɪɟɞɧɹɹ ɟɠɟɦɟɫɹɱɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧ ɧɨɣ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ" ȼ ɤɚɤɨɦ ɦɟɫɹɰɟ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɨɬɥɢɱɚɥɚɫɶ ɨɬ ɫɪɟɞ ɧɟɣ"

Ʉɨɧɰɟɩɰɢɹ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɣ ɛɨɥɟɟ ɩɨɞɪɨɛɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɧɢɠɟ ɜ ɩɪɢɥɨɠɟ ɧɢɢ

Ɂɚɞɚɱɢ ɬɪɚɧɫɮɨɪɦɟɪɵ ɢɦɟɸɬ ɰɟɥɶɸ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɢɥɢ ɫɢɬɭɚɰɢɣ ɨɞ ɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɜ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɫɬɫɤɨɦ ɢ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɦ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɨɩɪɨɫɚ ɡɚɞɚɱɢ ɂɯ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɟɬ ɨɫɨɡɧɚɧɢɸ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɨɫɬɢ ɦɚ ɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ©ɧɟɨɬɞɟɥɢɦɨɫɬɢª ɫɬɨɯɚɫɬɢɤɢ ɨɬ ɞɪɭɝɢɯ ɪɚɡɞɟɥɨɜ ɦɚɬɟ ɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɧɚɭɤɢ ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɦɟɪɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɡɚɞɚɧɢɟ

Ȼɢɪɠɟɜɵɦɢ ɚɧɚɥɢɬɢɤɚɦɢ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ ɱɬɨ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɚɤɰɢɣ ɤɨɦɩɚɧɢɢ 1 ɜ ɩɨɫɥɟɞɧɢɣ ɦɟɫɹɰ ɝɨɞɚ ɞɨɥɠɧɚ ɢɡɦɟɧɹɬɶɫɹ ɩɨ ɡɚɤɨɧɭ y x e x ɝɞɟ ɯ ± ɤɚɥɟɧɞɚɪɧɚɹ ɞɚɬɚ ɯ ɩɪɟɞɩɪɚɡɞɧɢɱɧɵɣ ɞɟɧɶ ɞɟɤɚɛɪɹ ɢɫɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɢɡ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɹ Ʉɚɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɪɨɞɚɬɶ ɚɤɰɢɢ ɱɬɨɛɵ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɦɚɤɫɢ ɦɚɥɶɧɵɣ ɞɨɯɨɞ" Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɜɵɛɪɚɧɧɵɣ ɞɟɧɶ ɦɟɫɹɰɚ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɚɤɰɢɣ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɚ ɩɨɞɴɺɦɟ"

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɞɥɹ ɨɬɜɟɬɚ ɧɚ ɩɟɪɜɵɣ ɜɨɩɪɨɫ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɛɪɚɬɢɬɶɫɹ ɤ ɞɟɬɟɪ ɦɢɧɢɫɬɫɤɢɦ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɚɦ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɱɚ ɦɚɤɫɢɦɢɡɚɰɢɢ ȼɬɨɪɨɣ ɜɨ ɩɪɨɫ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɚɧɚɥɢɡ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɬɭɚɰɢɢ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɵɛɨɪ ɞɚɬɵ x ^ `ɫɥɭɱɚɟɧ

Ⱥɤɰɢɢ ɜɵɝɨɞɧɟɟ ɜɫɟɝɨ ɩɪɨɞɚɜɚɬɶ ɧɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɟ ɪɨɫɬɚ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ yc x ɯ H x ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɬɨɱɤɟ ɞɨɥɠɧɚ ɢɡɦɟɧɢɬɶ ɡɧɚɤ ɫ ɩɥɸɫɚ ɧɚ ɦɢɧɭɫ 7ɚɤɨɣ ɬɨɱɤɨɣ ɛɭɞɟɬ ɯ ɬɨ ɟɫɬɶ ɚɤɰɢɢ ɧɚɞɨ ɩɪɨɞɚɬɶɞɟɤɚɛɪɹ

91

ȼɬɨɪɨɣ ɜɨɩɪɨɫ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɧɚɥɢɱɢɟ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɬɭɚɰɢɢ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɵɛɨɪ ɞɚɬɵ x ^ `ɫɥɭɱɚɟɧ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɬɨ ɟɫɬɶ

ɞɧɟɣ ɪɨɫɬɚ ɫɬɨɢɦɨɫɬɢ ɚɤɰɢɣ ɜɫɟɝɨ ɬɪɢ ɞɟɤɚɛɪɹ ɂɫɤɨɦɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ

ɪ ɢɥɢ ɪ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɵɦ ɬɟɯɧɨɥɨ ɝɢɱɟɫɤɢɦ ɩɪɢɺɦɨɦ ɜɫɟɫɬɨɪɨɧɧɟɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɢɣ Ɉɛɪɚɬɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ± ɜɚɠɧɵɣ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɢ ɭɤɪɭɩɧɺɧɧɵɯ ɞɢɞɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɟɞɢɧɢɰɍȾȿ ɤɥɸɱɟɜɵɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ ɤɨɬɨɪɨɣ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɟ ± ɬɪɢɚɞɚ ɢɫɯɨɞɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɟɟ ɨɛɪɚɳɟɧɢɟ ɨɛɨɛɳɟɧɢɟ

ɋ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɢɣ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɸ ɡɚɞɚɧɢɟ ɩɨ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɸ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɜɯɨɞɧɵɯ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɦɨɞɟɥɢ ɤɨɝɞɚ ɜɵɯɨɞɧɚɹ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɹ ɜ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢɡɜɟɫɬɧɚ

Ɉɛɫɭɞɢɦ ɩɪɢɦɟɪ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɩɨ ɬɟɦɟ ©ɋɯɟɦɚ ɝɢɩɨɬɟɡª ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɵɟ ©ɩɪɹɦɵɟª ɡɚɞɚɧɢɹ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɸɬ ɩɨɢɫɤ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɭɫɪɟɞɧɺɧɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ ɜɡɜɟ ɲɟɧɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɹ ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɭɟɬ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɝɢɩɨɬɟɡ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɝɢɩɨɬɟɡ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚɪɚɧɟɟ ɢɡɜɟɫɬɧɵ ȼ ɨɛɪɚɬɧɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɧɚɩɪɨɬɢɜ ɩɨɢɫɤɭ ɩɨɞɥɟɠɢɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɣ ɩɪɢɦɟɪ

ɇɚ ɤɨɧɜɟɣɟɪ ɩɨɫɬɭɩɚɸɬ ɢɡɞɟɥɢɹ ɰɟɯɚ ʋ ɢ ɰɟɯɚ ʋ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɪɚ ɤɚ ɞɥɹ ɢɡɞɟɥɢɹ ɢɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɰɟɯɚ Ɋ ɞɥɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɰɟɯɚ Ɋ Ʉɚɤɨɜ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɵɣ ɩɪɨɰɟɧɬ ɢɡɞɟɥɢɣ ɩɨɫɬɚɜɥɹɟɦɵɯ ɩɟɪɜɵɦ ɰɟɯɨɦ ɜɨɡɦɨɠɟɧ ɟɫɥɢ ɨɛɳɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɛɪɚɤɨɜɚɧɧɵɯ ɢɡɞɟɥɢɣ ɧɚ ɤɨɧɜɟɣɟɪɟ ɧɟ ɞɨɥɠɧɨ ɩɪɟɜɨɫ ɯɨɞɢɬɶ "

ɋɯɟɦɚ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɣ ɡɞɟɫɶ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɉɭɫɬɶ Ⱥ ± ɫɨɛɵɬɢɟ ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɜ ɨɛ ɧɚɪɭɠɟɧɢɢ ɛɪɚɤɚ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɨɦ ɢɡɞɟɥɢɢ ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɇ ±

ɨɬɤɭɞɚ ɪ d ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɡɞɟɥɢɣ ɢɡɝɨɬɨɜɥɟɧɧɵɯ ɩɟɪɜɵɦ ɰɟɯɨɦ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ ɧɟ

ɛɨɥɟɟ ȼ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɡɚɞɚɧɢɢ ɪɟɚɥɢɡɭɟɬɫɹ ɤɚɤ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɨɛɪɚɳɟɧɢɹ ɫɯɟɦɵ Ȼɟɪ

ɧɭɥɥɢ ɬɚɤ ɢ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɨɛɨɛɳɟɧɢɣ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɷɬɨɣ ɫɯɟɦɵ

92

ɉɪɢ ɜɨɡɧɢɤɧɨɜɟɧɢɢ ɧɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟ ɚɜɚɪɢɣɧɨɣ ɫɢɬɭɚɰɢɢ ɤɚɠɞɵɣ ɢɡ ɫɢɝ

ɧɚɥɢɡɚɬɨɪɨɜ ɫɪɚɛɚɬɵɜɚɟɬ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɪ Ʉɚɤɨɟ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ

ɬɚɤɢɯ ɫɢɝɧɚɥɢɡɚɬɨɪɨɜ ɧɚɞɨ ɡɚɤɭɩɢɬɶ ɱɬɨɛɵ ɤɚɤ ɦɢɧɢɦɭɦ ɞɜɚ ɢɡ ɧɢɯ ɫɪɚɛɨɬɚɥɨ

ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɧɟ ɦɟɧɟɟ U "

Ɇɵ ɧɚɯɨɞɢɦɫɹ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɫɯɟɦɵ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɫ ɱɢɫɥɨɦ ɨɩɵɬɨɜ n ɜɟɪɨɹɬɧɨ ɫɬɶɸ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ ɪ ɢ ɱɢɫɥɨɦ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ k t ɩɭɫɬɶ Pn k ± ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ȼ ɨɬɥɢɱɢɟ ɨɬ ©ɩɪɹɦɵɯª ɡɚɞɚɱ ɷɬɨɣ ɫɯɟɦɵ ɡɞɟɫɶ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɬɵɫɤɚɬɶ ɜɯɨɞɧɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɩ

ȼɨɡɦɨɠɟɧ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɨɦɭ ɫɨɛɵɬɢɸ

ɬɚɤ ɱɬɨ ɩɪɨɫɬɵɦ ɩɟɪɟɛɨɪɨɦ n ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ n ȼɵɲɟɭɩɨɦɹɧɭɬɵɦ ɨɛɨɛɳɟɧɢɟɦ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪ

ɦɭɥɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɱɢɫɥɚ ɭɫɩɟɯɨɜ ɡɚɤɥɸɱɟɧɧɨɝɨ ɜ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɉɨɞɜɟɞɺɦ ɢɬɨɝ ȼɤɥɸɱɟɧɢɟ ɜ ɡɚɞɚɱɧɵɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥ ɡɚɞɚɧɢɣ ɤɟɣɫɨɜ ɬɪɚɧɫ

ɮɨɪɦɟɪɨɜ ɢ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɟɬ ɤɨɦ ɩɥɟɤɫɧɨɦɭ ɜɫɟɫɬɨɪɨɧɧɟɦɭ ɚɧɚɥɢɡɭ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɫɢɬɭɚɰɢɣ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɸ ɭ ɨɛɭɱɚɸɳɢɯɫɹ ɰɟɥɨɫɬɧɨɫɬɢ ɢ ɫɢɫɬɟɦɧɨɫɬɢ ɡɧɚɧɢɣ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɢ ɟɺ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɣ ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɣ ɨɛ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɨɫɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɢ ɺɦɨɜ ɢ ɦɟɬɨɞɨɜ

ɄɈɇɐȿɉɐɂə ɄȿɃɋ ɁȺȾȺɇɂɃ

ȼɜɢɞɭ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɢ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɢ ɟɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ©ɡɧɚɬɶª ©ɭɦɟɬɶª ɢ ɜ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ©ɜɥɚɞɟɬɶª ɧɚɢɥɭɱɲɢɦ ɫ ɧɚɲɟɣ ɬɨɱɤɢ ɨɛɪɚɡɨɦ ɮɨɪɦɢɪɭɟɬɫɹ ɜ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɹ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɣ

ɇɚɥɢɱɢɟ ɬɨɣ ɢɥɢ ɢɧɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɶ ɤ ɨɞɧɨɜɪɟ ɦɟɧɧɨɣ ɦɨɛɢɥɢɡɚɰɢɢ ɡɧɚɧɢɣ ɭɦɟɧɢɣ ɢ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɤɨɧ ɤɪɟɬɧɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɭɱɚɳɢɣɫɹ ɩɪɢ ɨɛɪɟɬɚɟɬ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɶ ©ɩɟɪɟɧɨɫɢɬɶ ɡɧɚɧɢɹª ɪɟɲɚɬɶ ɧɨɜɵɟ ɞɥɹ ɫɟɛɹ ɡɚɞɚɱɢ ɨɫɜɚɢɜɚɬɶ ɧɨɜɵɟ ɩɪɟɞɦɟɬɧɵɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɧɨɜɵɟ ɜɢɞɵ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɬ ɩ

93

ɉɪɢɟɦɵ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɦɵ ɧɚɡɵɜɚɟɦ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɦɢ ɟɫ ɥɢ ɨɧɢ ɨɛɥɚɞɚɸɬ ɬɚɤɢɦɢ ɩɪɢɡɧɚɤɚɦɢ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɣ ɤɚɤ ɰɟɥɟɧɚ ɩɪɚɜɥɟɧɧɨɫɬɶ ɧɚɭɱɧɚɹ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨɫɬɶ ɩɥɚɧɢɪɭɟɦɨɫɬɶ ɢ ɩɪɨɟɤɬɢɪɭɟɦɨɫɬɶ ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɢɦɨɫɬɶ ɢ ɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɧɧɨɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ Ʉ ɱɢɫɥɭ ɩɨɞɨɛɧɵɯ ɩɪɢɟ ɦɨɜ ɦɵ ɨɬɧɨɫɢɦ ɤɟɣɫ ɦɟɬɨɞ ɦɟɬɨɞ ɤɟɣɫɨɜ ɤɚɤ ɦɟɬɨɞ ɫɢɬɭɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ȼ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɟɝɨ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɨɛɭɱɚɸɳɢɟɫɹ ɞɨɥɠɧɵ ɪɚɡɨɛɪɚɬɶɫɹ ɜ ɫɭɬɢ ɩɪɨɛɥɟɦ ɩɪɟɞɥɨɠɢɬɶ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɢ ɜɵɛɪɚɬɶ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɟ Ʉɟɣɫɵ ɨɫɧɨɜɵɜɚɸɬɫɹ ɧɚ ɪɟɚɥɶɧɨɦ ɮɚɤɬɢɱɟɫɤɨɦ ɦɚɬɟɪɢɚɥɟ ɢɥɢ ɠɟ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɵ ɤ ɬɚɤɨɜɨɦɭ ȼ ɪɟɡɭɥɶ ɬɚɬɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɬɜɨɪɱɟɫɤɨɟ ɨɜɥɚɞɟɧɢɟ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɡɧɚɧɢɹɦɢ ɢ ɭɦɟɧɢɹɦɢ ɪɚɡɜɢɬɢɟ ɦɵɫɥɢɬɟɥɶɧɵɯ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɟɣ Ʉɟɣɫ ɦɟɬɨɞ ɬɪɟɛɭɟɬ ɭɦɟɧɢɹ ɨɩɟɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨɧɹɬɢɹɦɢ ɢ ɮɚɤɬɚɦɢ ɜɵɫɬɪɚɢɜɚɬɶ ɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɫɯɟɦɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɨɛɥɟɦɵ ɚɪɝɭɦɟɧɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɜɨɟ ɦɧɟɧɢɟ Ʉɟɣɫ ɦɟɬɨɞ ɢɧɬɟɝɪɢ ɪɭɟɬ ɜ ɫɟɛɟ ɞɪɭɝɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɩɨɡɧɚɧɢɹ ɚɧɚɥɢɡ ɫɢɧɬɟɡ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɨɛɥɟɦɧɵɣ ɦɟɬɨɞ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɤɥɚɫɫɢɮɢɤɚɰɢɢ ɢ ɞɪ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɟɬ ɨɩɬɢɦɚɥɶ ɧɨɦɭ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɬɟɨɪɢɢ ɢ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɡɧɚɧɢɹ ɚ ɬɚɤɠɟ ɭɦɟɧɢɣ ɨɩɢɪɚɸɳɢɯɫɹ ɧɚ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɣ ɨɩɵɬ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɨɛɭɱɚɸɳɢɯɫɹ

ɋɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɹ ɧɚɦɢ ɩɨɧɢɦɚɸɬɫɹ ɤɚɤ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɵɟ ɤɨɦɩɟ ɬɟɧɬɧɨɫɬɧɨ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɚɧɧɵɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɩɨ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɧɟɞɟ ɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɫɢɫɬɟɦ ȼɜɢɞɭ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɨɫɬɢ ɨɧɢ ɫɩɨɫɨɛ ɫɬɜɭɸɬ ɩɨɜɵɲɟɧɢɸ ɦɨɬɢɜɚɰɢɢ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨ ɫɬɢ Ɍɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɤ ɜɵɹɜɥɟɧɢɸ ɩɪɢɱɢɧɧɨ ɫɥɟɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ ɢ ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɟɣ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪɚ ɭɱɚɳɢɣɫɹ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɲɤɨɥɵ ɢ ɞɚ ɠɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɲɤɨɥɵ ɩɪɢɯɨɞɢɬ ɩɪɟɠɞɟ ɜɫɟɝɨ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɟɝɨ ɧɟɛɨɥɶɲɨɝɨ ɥɢɱ ɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɚ ɫɚɦɨ ɡɧɚɧɢɟ ɩɪɢɨɛɪɟɬɚɟɬɫɹ ɢɦ ɧɟ ɪɚɞɢ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɣ ɫɜɹɡɟɣ ɢ ɨɬ ɧɨɲɟɧɢɣ ɦɟɠɞɭ ɩɪɟɞɦɟɬɚɦɢ ɢ ɹɜɥɟɧɢɹɦɢ ɚ ɜɜɢɞɭ ɢɧɬɟɪɟɫɚ ɤ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɨɛɴɟɤɬɚɦ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ

ȼ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɹɯ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɚɤɬɭɚɥɢɡɢɪɨɜɚɧɵ ɡɧɚɧɢɹ ɢ ɭɦɟ ɧɢɹ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ ɞɟɣɫɬɜɢɣ ɧɚɞ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨ ɫɬɟɣ ɤɚɤ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɬɚɤ ɢ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɬɟɨɪɟɦ ɚ ɬɚɤɠɟ ɚɧɚɥɢɡɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɞɚɧɧɵɯ ɫ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɩɪɨɝɧɨɡɢɪɨɜɚ ɧɢɟɦ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ ɢ ɞɪ Ɋɟɲɟɧɢɟ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɟɬ ɫ ɨɞɧɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɨɩɵɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɭɠɟ ɧɚɤɨɩɥɟɧɧɵɣ ɭɱɚɳɢɦɫɹ ɚ ɫ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɟɬ ɟɝɨ ɪɚɫɲɢɪɟɧɢɸ ɢ ɭɝɥɭɛɥɟɧɢɸ

ɇɚɤɨɧɟɰ ɪɟɲɟɧɢɟ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɣ ɜɥɟɱɟɬ ɡɚ ɫɨɛɨɸ ɪɟɮɥɟɤɫɢɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭ ɸɳɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɩɪɨɹɜɥɹɸɳɭɸɫɹ ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɜ ɚɧɚɥɢɡɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɪɚɡɜɢɬɢɢ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɜɵɪɚɛɨɬɤɟ ɧɚɜɵɤɨɜ ɫɚɦɨ ɤɨɧɬɪɨɥɹ ɭɦɟɧɢɢ ɧɚɯɨɞɢɬɶ ɩɪɢɱɢɧɭ ɡɚɬɪɭɞɧɟɧɢɹ ɢ ɩɭɬɢ ɟɝɨ ɩɪɟɨɞɨɥɟɧɢɹ ɢ ɞɪ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɨɩɢɫɚɧɧɨɣ ɜɵɲɟ ɫɬɪɭɤɬɭɪɨɣ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɢ ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɹ ɤɚɤ ɞɟɣ

94

ɫɬɜɟɧɧɵɣ ɬɟɯɧɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɣ ɩɪɢɟɦ ɟɟ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɸɳɢɣ ɪɟɚɥɢɡɚ ɰɢɢ ɧɚ ɭɪɨɜɧɟ ɭɱɟɛɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɦɟɬɨɞɨɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɫɢɫɬɟɦɧɨɫɬɢ ɢɫ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɣ

ȼ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɩɭɧɤɬɚɯ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɚɜɬɨɪɫɤɢɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɤɟɣɫ ɡɚɞɚɧɢɣ

1.Кейс-задания при изучении модуля «стохастика»

âкурсе математики основной школы

Задание 1 ɝɪɚɮɢɤɢ ɢɧɬɟɪɩɨɥɹɰɢɹ ɢ ɷɤɫɬɪɚɩɨɥɹɰɢɹ Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɬɟɦɩɟ ɪɚɬɭɪɭ ɜɨɡɞɭɯɚ ɡɚ ɨɤɧɨɦ ɤɜɚɪɬɢɪɵ ɜ ɱɚɫɨɜ ɜɟɱɟɪɚ ɢ ɜ ɱɚɫɨɜ ɭɬɪɚ ɋɱɢɬɚɹ ɱɬɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɨɲɟɞɲɟɝɨ ɫ ɧɚɱɚɥɚ ɧɚɛɥɸ ɞɟɧɢɹ ɩɨ ɥɢɧɟɣɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɬ ɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɢɡɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɹɦɨɣ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɤɨɬɨɪɚɹ

ɚ ɛɵɥɚ ɜ ɱɚɫɚ ɧɨɱɢ ɛ ɛɵɥɚ ɱɚɫɨɜ ɱɚɫ ɱɚɫɚ ɧɨɱɢ ɢ ɱɚɫ ɭɬɪɚ Ʉɚɤɨɣ ɦɨɠɟɬ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɛɵɬɶ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜɨɡɞɭɯɚ ɜ ɱɚɫ ɭɬɪɚ"

Задание 2 ɬɚɛɥɢɰɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɨɬ ɦɨɞɚ ɪɚɡɦɚɯ ɜɵɛɨɪɤɢ ɜɵ ɛɨɪɨɱɧɚɹ ɫɪɟɞɧɹɹ ȼɨɡɶɦɢɬɟ ɭ ɪɨɞɢɬɟɥɟɣ ɤɜɢɬɚɧɰɢɢ ɨ ɤɜɚɪɬɩɥɚɬɟ ɡɚ ɢɫɬɟɤɲɢɣ ɤɚɥɟɧɞɚɪɧɵɣ ɩɟɪɢɨɞ Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɩɨ ɦɟɫɹɰɚɦ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɢɡɪɚɫɯɨɞɨɜɚɧɧɨɣ ɷɥɟɤ ɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ Ɂɚɬɟɦ ɪɚɫɩɨɥɨɠɢɬɟ ɫɬɨɢɦɨɫɬɢ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɢɯ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢ ɬɟ ɱɚɫɬɨɬɭ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɢ ɫɨɫɬɚɜɶɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɭɸ ɬɚɛɥɢɰɭ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧ ɧɵɣ ɪɹɞ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɟɫɥɢ ɬɚɤɨɜɚɹ ɢɦɟɟɬɫɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɫ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɣ ɱɚɫɬɨ ɬɨɣ ȼ ɤɚɤɨɦ ɦɟɫɹɰɟ ɭɩɥɚɱɟɧɚ ɧɚɢɛɨɥɶɲɚɹ ɚ ɜ ɤɚɤɨɦ ± ɧɚɢɦɟɧɶɲɚɹ ɫɭɦɦɚ" Ʉɚɤ ɜɵ ɞɭɦɚɟɬɟ ɩɨɱɟɦɭ ɢɦɟɧɧɨ ɜ ɷɬɢ ɦɟɫɹɰɵ ɜɵ ɡɚɩɥɚɬɢɥɢ ɛɨɥɶɲɟ ɜɫɟɝɨ ɢ ɦɟɧɶɲɟ ɜɫɟɝɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ" Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɪɚɡɦɚɯ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɢ ɷɥɟɤɬɪɨ ɷɧɟɪɝɢɢ Ʉɚɤɨɜɚ ɫɪɟɞɧɹɹ ɟɠɟɦɟɫɹɱɧɚɹ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɧɨɣ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪ ɝɢɢ" ȼ ɤɚɤɨɦ ɦɟɫɹɰɟ ɫɬɨɢɦɨɫɬɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɨɬɥɢɱɚɥɚɫɶ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɣ"

Задание 3 ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨ ɛɵɬɢɹ ɉɨɧɚɛɥɸɞɚɣɬɟ ɧɚ ɭɥɢɰɟ ɫ ɧɟ ɫɥɢɲɤɨɦ ɢɧɬɟɧɫɢɜɧɵɦ ɞɜɢɠɟɧɢɟɦ ɬɪɚɧɫ ɩɨɪɬɚ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ± ɦɢɧɭɬ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɧɵɣ ɩɨɬɨɤ ɢ ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɫɤɨɥɶɤɨ ɩɪɨɟɯɚɥɨ ɦɢɦɨ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟɣ ɫɤɨɥɶɤɨ ɫɪɟɞɢ ɧɢɯ ɢɧɨɦɚɪɨɤ ɫɤɨɥɶɤɨ ɜɫɟɝɨ ɥɟɝɤɨɜɵɯ ɚɜɬɨ ɦɨɛɢɥɟɣ ɫɤɨɥɶɤɨ ± ɬɚɤɫɢ ɇɚɣɬɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɱɚɫɬɨɬɭ

ɚ ɱɢɫɥɚ ɥɟɝɤɨɜɵɯ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟɣ ɜ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɧɨɦ ɩɨɬɨɤɟ ɛ ɬɚɤɫɢ ɜ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɧɨɦ ɩɨɬɨɤɟ ɜ ɬɚɤɫɢ ± ɫɪɟɞɢ ɥɟɝɤɨɜɵɯ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟɣ ɝ ɢɧɨɦɚɪɨɤ ± ɜ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɧɨɦ ɩɨɬɨɤɟ

95

ɋ ɤɚɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɜɵ ɦɨɠɟɬɟ ɩɪɨɝɧɨɡɢɪɨɜɚɬɶ ɱɬɨ ɜ ɛɥɢɠɚɣɲɟɟ ɜɪɟɦɹ ɩɟɪɜɨɣ ɫɪɟɞɢ ɩɪɨɟɡɠɚɸɳɢɯ ɦɢɦɨ ɦɚɲɢɧ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɬɚɤɫɢ"

ɇɚ ɨɫɧɨɜɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶ ɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɤɚɤɢɦ ɩɪɢɛɥɢɡɢɬɟɥɶɧɨ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɩɪɨɰɟɧɬ ɢɧɨ ɦɚɪɨɤ ɜ ɫɨɫɬɚɜɟ ɝɨɪɨɞɫɤɨɝɨ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɚ

Задание 4 ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ ɪɹɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɋɤɨɪɨ ɩɪɟɞɫɬɨɢɬ ɫɞɚɜɚɬɶ ɷɤɡɚɦɟɧɵ Ƚɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɣ ɢɬɨɝɨɜɨɣ ɚɬɬɟɫɬɚɰɢɢȽɂȺ ɋ ɤɚɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɬɵ ɩɪɨɝɧɨɡɢɪɭɟɲɶ ɱɬɨ ɭɫɩɟɲɧɨ ɧɚ ɢɥɢ ɧɚ ɫɞɚɲɶ ɷɤɡɚɦɟɧ ɩɨ ɪɭɫɫɤɨɦɭ ɹɡɵɤɭ" ɉɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ" ɉɨ ɢɧɨɫɬɪɚɧɧɨɦɭ ɹɡɵɤɭ" ɋɨɫɬɚɜɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɷɤɡɚɦɟɧɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɬɵ ɩɪɨɝɧɨɡɢɪɭɟɲɶ ɫɞɚɬɶ ɭɫɩɟɲɧɨ ɉɨɫɬɪɨɣ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ʉɚɤɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɭɫɩɟɲɧɨ ɫɞɚɧɧɵɯ ɷɤɡɚɦɟɧɨɜ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨ" Ʉɚɤɨɜɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɱɢɫ

ɥɚ ɭɫɩɟɲɧɨ ɫɞɚɧɧɵɯ ɷɤɡɚɦɟɧɨɜ"

2.Кейс-задания при изучении модуля «стохастика»

âкурсе математики старшей школы

Задание 1. ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɟ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɜɵɛɨɪɤɢ ȼ ɬɟɱɟɧɢɟ ɞɜɚɞɰɚɬɢ ɞɧɟɣ ɩɪɨɧɚɛɥɸɞɚɣɬɟ ɢ ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɪɭɛɥɟɜɵɣ ɤɭɪɫ ɞɨɥɥɚɪɚ Ɋɚɫɩɨɥɨɠɢɬɟ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɢɯ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɢ ɫɨɫɬɚɜɶɬɟ ɫɨɨɬɜɟɬ ɫɬɜɭɸɳɢɣ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɵɣ ɪɹɞ ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɦɧɨɝɨɭɝɨɥɶɧɢɤ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɉɩ ɪɟɞɟɥɢɬɟ ɪɚɡɦɚɯ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɧɢɹ ɤɭɪɫɚ ɞɨɥɥɚɪɚ ɦɨɞɭ ɢ ɦɟɞɢɚɧɭ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ ɇɚɣɞɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟ ɦɟɫɹɱɧɵɣ ɤɭɪɫ ɞɨɥɥɚɪɚ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɟɝɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɟ ɫɪɟɞɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ

3.Кейс-задания при изучении модуля «стохастика»

âкурсе математики инженерных направлений подготовки бакалавров

ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɚɞɚɧɢɹ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɵ ɩɪɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɧɨɦ ɨɩɢɫɚɧɢɢ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɞɥɹ ɨɩɪɟ ɞɟɥɟɧɢɹ ɬɨɱɟɱɧɵɯ ɢ ɢɧɬɟɪɜɚɥɶɧɵɯ ɨɰɟɧɨɤ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟ ɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɪɟɝɪɟɫɫɢɨɧɧɵɯ ɡɚ ɜɢɫɢɦɨɫɬɟɣ ɢ ɞɪ Ɉɝɪɚɧɢɱɢɦɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɞɜɭɦɹ ɩɪɢɦɟɪɚɦɢ

Задание 1 ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɢ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟ ɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜ ɡɚɞɚɧɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚ ɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ Ɍɪɚɧɫɩɨɪɬ ɯɨɞɢɬ ɪɟɝɭɥɹɪɧɨ ɫ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɦ W ɦɢɧɭɬ Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ

96

ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɢ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ t ± ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɠɢɞɚ ɧɢɹ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɚ ɩɚɫɫɚɠɢɪɚ ɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɝɨ ɧɚ ɨɫɬɚ ɧɨɜɤɭ Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɜɪɟɦɹ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɢɬ ɧɟ ɛɨɥɟɟ W ɦɢ ɧɭɬ" Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɜɫɟ ɩɹɬɶ ɞɧɟɣ ɪɚɛɨɱɟɣ ɧɟɞɟɥɢ ɩɚɫɫɚɠɢɪ ɛɭɞɟɬ ɨɠɢɞɚɬɶ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬ ɧɟ ɛɨɥɟɟ W ɦɢɧɭɬ" Ʉɚɤɨɜɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɜɪɟɦɹ ɟɠɟɞɧɟɜɧɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɞɚɧɧɨɝɨ ɬɪɚɧɫɩɨɪɬɚ"

Задание 2 ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɢ ɧɟɥɢɧɟɣɧɚɹ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ ɩɪɨɝɧɨɡɢɪɨɜɚɧɢɟ ɡɧɚɱɟ ɧɢɣ Ɂɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɵ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ ɜ ɤɢɥɨɜɚɬɬɚɯ y j

ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɜ ɱɚɫɚɯ xj ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɢɛɨɪɚ ɂɫɫɥɟɞɨ ɜɚɬɶ ɜɨɡɦɨɠɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɵ y j ɨɬ xj ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɵɛɨ ɪɨɱɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɚ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɛ ɩɚɪɚɛɨɥɢɱɟɫɤɨɣ ɜ ɥɨɝɚɪɢɮɦɢɱɟɫɤɨɣ ɪɟɝɪɟɫɫɢɢ

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɩɪɟɞɩɨɱɬɢɬɟɥɶɧɭɸ ɦɨɞɟɥɶ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɉɨ ɜɵɛɪɚɧɧɨɣ ɦɨɞɟɥɢ ɫɩɪɨɝɧɨɡɢɪɨɜɚɬɶ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɧɨɣ ɷɥɟɤɬɪɨɷɧɟɪɝɢɢ ɱɟɪɟɡ ɢ ɱɚɫɨɜ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɢɛɨɪɚ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ƚɦɭɪɦɚɧ ȼ ȿ Ɍɟɨɪɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ȼ ȿ Ƚɦɭɪɦɚɧ ± Ɇ ȼɵɫɲɚɹ ɲɤɨɥɚ ± ɫ

Ʉɭɥɢɤɨɜ Ƚ Ɇ ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɩɪɢɤɥɚɞɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ Ƚ Ɇ Ʉɭɥɢɤɨɜ Ⱥ Ⱦ ɇɚɯɦɚɧ ɋ ȼ ɉɥɨɬɧɢɤɨɜɚ ± Ɍɚɦɛɨɜ ɂɡɞ ɜɨ ɌȽɌɍ ± ɫ

97

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ: СТОХАСТИЧЕСКАЯ КОМПЕТЕНЦИЯ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ɈȻɍɑȺɘɓɂɃ ɆɈȾɍɅɖ Ʉɨɪɬɟɠɢ ɉɪɹɦɵɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ Ɋɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹ ɑɢɫɥɨ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɢɢ ɦɧɨɠɟɫɬɜ Ȼɢɧɨɦ ɇɶɸɬɨɧɚ ɄɈɇɌɊɈɅɖɇɕɃ ɆɈȾɍɅɖ

Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ɈȻɍɑȺɘɓɂɃ ɆɈȾɍɅɖ Ⱥɥɝɟɛɪɚ ɫɨɛɵɬɢɣ Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɱɚɫɬɨɬɚ ɢ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɉɨɧɹɬɢɟ ɨɛ ɚɤɫɢɨɦɚɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɣ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɭɦɦɵ ɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɨɥɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɮɨɪɦɭɥɵ Ȼɟɣɟɫɚ Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɢɩɨɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɉɨɜɬɨɪɟɧɢɟ ɨɩɵɬɨɜ Ɏɨɪɦɭɥɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɉɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɜ ɫɯɟɦɟ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɋɯɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɬɢɩɨɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɄɈɇɌɊɈɅɖɇɕɃ ɆɈȾɍɅɖ

Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ɈȻɍɑȺɘɓɂɃ ɆɈȾɍɅɖ Ɋɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɬɢɩɨɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɋɩɟɰɢɚɥɶɧɵɟ ɜɢɞɵ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ Ɋɚɜɧɨɦɟɪɧɨɟ ɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

98

ɉɨɧɹɬɢɟ ɨ ɦɨɦɟɧɬɚɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

ɇɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

ɋɥɭɱɚɣɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ Ʌɢɧɟɣɧɚɹ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

ɄɈɇɌɊɈɅɖɇɕɃ ɆɈȾɍɅɖ

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ɈȻɍɑȺɘɓɂɃ ɆɈȾɍɅɖ

ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ

ɋɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɨɰɟɧɤɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

Ɇɟɬɨɞ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ ɬɢɩɨɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ

ɄɈɇɌɊɈɅɖɇɕɃ ɆɈȾɍɅɖ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

99

Ó ÷ å á í î å è ç ä à í è å

Александр Давидович Нахман

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

ɉɨɞɩɢɫɚɧɨ ɜ ɩɟɱɚɬɶ Ɏɨɪɦɚɬ î ɍɫɥ ɩɟɱ ɥ ɉɟɱɚɬɶ ɩɨ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɸ Ȼɭɦɚɝɚ ɨɮɫɟɬɧɚɹ Ƚɚɪɧɢɬɭɪɚ ©Ɍɚɣɦɫª

ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ©ɂɧɮɪɚ ɂɧɠɟɧɟɪɢɹªɝ ȼɨɥɨɝɞɚ ɭɥ Ʉɨɡɥɟɧɫɤɚɹ ɞ Ɍɟɥ ( PDLO ERRNLQJ#LQIUD H UX KWWSV LQIUD H UX

ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɩɪɢɝɥɚɲɚɟɬ ɤ ɫɨɬɪɭɞɧɢɱɟɫɬɜɭ ɚɜɬɨɪɨɜ ɧɚɭɱɧɨ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɵ

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