Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ

ɋɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɱɢɫɥɨɜɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɤɨɬɨɪɚɹ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɨɞɧɨ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɡɚɪɚɧɟɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɢ ɡɚɜɢɫɹ ɳɟɟ ɨɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɩɪɢɱɢɧ ɉɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɩɪɢɦɟɪ ± ɢɧɞɢɤɚɬɨɪ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵ ɬɢɹ Ⱥ ɬɨ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ K K Ⱥ ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɚɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨɟ ɟɫɥɢ Ⱥ ɧɚɫɬɭɩɚɟɬ ɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨɟ ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ

ȿɫɥɢ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɱɢɫɥɨ ɜɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ^xn` n ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɢɥɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɬɨ ɏ

ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ Ⱦɋȼ ± ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɟɫɥɢ ɠɟ ɜɨɡ ɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɏ ɡɚɩɨɥɧɹɸɬ ɰɟɥɢɤɨɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɬɨ ɜɟ ɥɢɱɢɧɚ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɧɚ ɷɬɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɇɋȼ ± ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ

ɉɪɢɦɟɪɨɦ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɟɠɟɞɧɟɜɧɨ ɮɢɤɫɢ ɪɭɟɦɵɣ ɪɭɛɥɟɜɵɣ ɤɭɪɫ ɞɨɥɥɚɪɚ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ± ɜɪɟɦɹ t ɡɚɝɪɭɡɤɢ ɮɚɣɥɚ ɫɤɚɱɢ ɜɚɟɦɨɝɨ ɢɡ ɂɧɬɟɪɧɟɬɚ t f

1. Ряд распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики

Ɂɚɤɨɧɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ⱦɋȼ X ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ xk ɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹ ɦɢ ɪk P X xk ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ Ɉɛɵɱɧɵɣ ɫɩɨɫɨɛ ɡɚɞɚɧɢɹ ɬɚɤɨɝɨ ɡɚ ɤɨɧɚ ± ɪɹɞ ɬɚɛɥɢɰɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɵɣ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɩ ɡɧɚ ɱɟɧɢɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɜɢɞɚ Ⱥk ^X xk` ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɬɚɤ ɱɬɨ

Ⱥ Ⱥ Ⱥɩ ȿ

ɢ ɩɨ ɚɤɫɢɨɦɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ Ⱥ

Ɋ Ⱥ Ⱥ Ⱥɩ

Ȼɥɚɝɨɞɚɪɹ ɩɨɩɚɪɧɨɣ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɣ Ⱥk ɢ ɚɤɫɢɨɦɟ Ⱥ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɬɨɝɞɚ ɢɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ

ȼɨɡɦɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟ ɪɹɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɦ ɧɚɛɨ ɪɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɏ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɚɤɫɢɨɦɟ Ⱥ ɞɥɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜɟ ɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ^x x xn `ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ

f

¦pk

k

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɵ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɩɢɫɚɧɧɵɣ ɱɢɫ ɥɨɜɨɣ ɪɹɞ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ

ɑɢɫɥɨɜɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ©ɫɭɦɦɚɪɧɨª ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɟɺ ɱɢɫɥɨɜɵɦɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦɢ ɋɪɟɞɢ ɧɢɯ ɨɫɧɨɜɧɵɦɢ ɹɜɥɹɸɬ ɫɹ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɟɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟ ɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɚɹ ɫɬɟɩɟɧɶ ɪɚFɫɟɹɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

Ɉɝɪɚɧɢɱɢɦɫɹ ɩɨɤɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟɦ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫ ɤɨ ɧɟɱɧɵɦ ɧɚɛɨɪɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ Ɇ ; ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɨɩɪɟɞɟ

ɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ

ɉɨɹɫɧɢɦ ɜ ɤɚɤɨɦ ɫɦɵɫɥɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɪɟɞɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ⱦɥɹ ɷɬɨɝɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɢɦɟɪ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ X ɬɨ ɟɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɪɚɜɧɵɦɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɹɦɢ ɪ ɜɫɟɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɋɨɝɥɚɫɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɯk ȼ ɨɛɳɟɦ ɠɟ ɫɥɭɱɚɟ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɬɭ ɠɟ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɸ ɫɭɦɦɵ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢ ɱɢɧɵ ɧɚ ɢɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɭɱɢɬɵɜɚɸɳɭɸ ©ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ ɜɤɥɚɞª ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨ ɪɹ ɧɟɪɚɜɧɨɦɟɪɧɵɣ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɚɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɭɸ ɫɭɦɦɭ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ Ⱦɋȼ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɤ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɭɤɚɡɵɜɚɸɳɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɨɱ ɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɨɤɨɥɨ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɝɪɭɩɩɢɪɭɸɬɫɹ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣ ɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ Ʉ ɞɪɭɝɢɦ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚɦ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɩɨɧɹɬɢɹ ɦɨɞɵ ɢ ɦɟɞɢɚɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɡɧɚɤɨɦɢɬɶɫɹ ɫ ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɱɢɬɚɬɟɥɶ ɦɨɠɟɬ ɧɚɩɪɢ ɦɟɪ ɩɨ ɤɧɢɝɟ > @

ɇɚɪɹɞɭ ɫɨ ɫɪɟɞɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ M X ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɛɵɥɚ ɛɵ ɬɚɤɠɟ ɩɨɥɟɡɧɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ ɫɬɟɩɟɧɢ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɯk ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɢɯ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɇɚ ɩɟɪɜɵɣ ɜɡɝɥɹɞ ɫɥɟɞɭɟɬ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɪɚɡɧɨɫɬɟɣ xk M X ɬ ɟ ɫɭɦɦɭ ɜɢɞɚ

ɞɥɹ ɥɸɛɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢ ɫɬɢɤɨɣ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ

ɇɭɥɟɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɭɦɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɨɫɶ ɡɚ ɫɱɟɬ ©ɢɧɬɟɪɮɟɪɟɧɰɢɢª ɩɨɥɨ ɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɭɤɥɨɧɟɧɢɣ xk M X ɑɬɨɛɵ ɭɫɬɪɚɧɢɬɶ ɬɚɤɭɸ ɢɧɬɟɪɮɟɪɟɧɰɢɸ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɸɬ ɫɭɦɦɭ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɭɤɥɨɧɟɧɢɣ ɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɪk ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ xk

ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ

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ɂɡ ɚɤɫɢɨɦɵ Ⱥ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ D X t ɚ ɬɨɝɞɚ ɦɨɠɧɨ

ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɭ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɜɢɞɚ

V X D X

ɧɚɡɵɜɚɟɦɭɸ ɫɪɟɞɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ Ɉɧɚ ɩɪɟɞɩɨɱɬɢɬɟɥɶɧɟɣ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɚɦɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɬɨɝɞɚ ɤɚ D X ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɏ

Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɸ Ⱦɋȼ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɬɚɤɠɟ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

ɱɟɦ ɢ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ Ⱦɋȼ

ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɢɬɶ ɢ ɧɚ ɫɥɭɱɚɣ ɜɟɥɢɱɢɧ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɦ ɩɟɪɟɱɧɟɦ ɜɨɡɦɨɠ ɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɭɦɦɵ ɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɱɢɫɥɨɜɵɦɢ ɪɹɞɚɦɢ

ɬɪɟɛɭɹ ɢɯ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɩɪɢɱɟɦ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢɡ ɧɚɩɢɫɚɧɧɵɯ ɪɹɞɨɜ ± ɚɛɫɨɥɸɬɧɭɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ

ПРИМЕР 1. Ɋɟɦɨɧɬɧɚɹ ɤɨɦɩɚɧɢɹ ɨɛɫɥɭɠɢɜɚɟɬ ɞɜɚ ɭɱɚɫɬɤɚ ɜɨɞɨɩɪɨ ɜɨɞɚ ȼ ɫɢɥɭ ɢɯ ɢɡɧɨɲɟɧɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɪɵɜɚ ɫɟɬɢ ɧɚ ɩɟɪɜɨɦ ɪɚɜɧɚ ɧɚ ɜɬɨɪɨɦ ± ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ± ɱɢɫɥɚ ɭɱɚɫɬɤɨɜ ɧɟ ɬɪɟɛɭɸɳɢɯ ɪɟɦɨɧɬɚ ɇɚɣɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪ ɫɢɸ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɋɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɹɬɶ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x x ɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɫɨɛɵɬɢ ɹɦ ɢɦɟɸɬɫɹ ɩɨɪɵɜɵ ɧɚ ɨɛɨɢɯ ɭɱɚɫɬɤɚɯ ɢɦɟɟɬɫɹ ɪɨɜɧɨ ɨɞɢɧ ɩɨɪɵɜ ɢ ɩɨɪɵɜɨɜ

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ɧɚ ɨɛɨɢɯ ɭɱɚɫɬɤɚɯ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɮɭɧɤɰɢɨɧɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɟɬɢ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɭɱɚɫɬɤɨɜ ɪɚɜɧɵ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɢ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɨ ɜɟ ɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɣ

ɡɞɟɫɶ ɦɨɠɧɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɜ ɪɹɞɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ ɧɢɹ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɞɚɧɧɨɦɭ ɪɹɞɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

Ɇ ɏ ɯ ɯ ɢ D ɏ ɯ ɯ

ɂɦɟɟɦ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɫɢɫɬɟɦɭ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɞɥɹ ɧɚɯɨɠɞɟ

ɇɚɣɞɹ ɢɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɡɚɬɟɦ ɩɚɪɭ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ

2. Функция распределения

ɉɨɧɹɬɢɟ ɪɹɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɢɦɟɧɢɦɨ ɤ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɦ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦ ɇɋȼ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɜɵɩɢɫɚɬɶ ɩɟɪɟɱɟɧɶ ɜɫɟɯ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣɱɢɬɚɬɟɥɶ ɡɧɚɤɨɦɵɣ ɫ ɬɟɨɪɢɟɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɡɧɚɟɬ ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɟɤ ɱɢɫ ɥɨɜɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɱɟɬɧɵɦ ɛɨɥɟɟ ɬɨɝɨ ɤɚɤ ɦɵ ɭɫɬɚɧɨɜɢɦ ɧɢɠɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɜɧɨɣ ɧɭɥɸ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɫɨɞɟɪɠɚɬɟɥɶɧɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ©ɩɨ ɜɟɞɟɧɢɹª ɇɋȼ ɦɨɝɥɢ ɛɵ ɫɥɭɠɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɟɸ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜ ɡɚɞɚɧ ɧɨɦ ɱɢɫɥɨɜɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɗɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɤɚɤ ɦɵ ɭɜɢɞɢɦ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɜɵɪɚɠɟɧɵ ɱɟɪɟɡ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜɢɞɚ

F x P ; x

Ɏɭɧɤɰɢɸ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɟɩɟɪɶ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟ ɥɢɱɢɧɵ ɏ ɨɧɚ ɫɨɨɬɧɨɫɢɬ ɤɚɠɞɨɦɭ x f f ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ ɫɨɫɬɨɹ ɳɚɹ ɜ ɩɪɢɧɹɬɢɢ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ X ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɥɟɜɟɟ ɬɨɱɤɢ ɯ ɫɦ ɪɢɫ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬ ɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɢɧɨɧɢɦɵ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ

Ðèñ. 2.1

ɇɚɱɧɺɦ ɫ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɉɭɫɬɶ ɨɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɬɚɤ ɱɬɨ ɟɟ ɪɹɞ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

ɩɪɢɱɟɦ ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɬɟɦ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɟɦ k ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ xk ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɦɟɧɶɲɢɦɢ ɯ

ɑɬɨɛɵ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɪɚɫɩɨ ɥɨɠɟɧɢɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɚ ɯ ɩɨ ɨɬɧɨɲɟɧɢɸ ɤ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ x x xn ȿɫɥɢ x d x ɬɨ ɫɨ ɛɵɬɢɟ ɏ [ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ F x

ȼ ɫɥɭɱɚɟ x d x x ɫɨɛɵɬɢɟ ɏ [ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɫɨɛɵɬɢɸ ɏ [ ɚ ɬɨɝɞɚ

F x p ȿɫɥɢ x d x x ɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ɏ [ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɢ ɯɨɬɹ ɛɵ

ȼ ©ɪɚɡɜɟɪɧɭɬɨɣª ɮɨɪɦɟ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɵɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

­x d x

ɢ ɬɟɦ ɫɚɦɵɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ Ɇɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɭɸ ɤɭɫɨɱɧɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨ

ɬɨɪɨɣ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɵ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ > @ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ xk k n ɫɥɟɜɚ ȿɟ ɩɪɟɞɟɥ ɧɚ ±f ɪɚɜɟɧ ɬɨɱɧɟɟ F x ɩɪɢ x d x ɚ ɧɚ f ɪɚɜɟɧ ɬɨɱɧɟɟ F x ɩɪɢ x ! xn

ɍɤɚɡɚɧɧɵɣ ɩɪɢɧɰɢɩ ɩɨɫɬɪɨɟɧɢɹ F x ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɩɪɢɧɰɢɩɨɦ ɧɚɤɨɩɥɟɧɢɹ

ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ

ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ⱦɋȼ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɟɪɟɧɟ ɫɟɧɵ ɧɚ ɨɛɳɢɣ ɫɥɭɱɚɣ Ɋɟɱɶ ɢɞɺɬ ɨ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɫɜɨɣɫɬɜɚɯ

ɚ d F x d

ɛ P a d X b F b F a

ɜ F x ± ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ

ɝ ɟɫɥɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɢɧɬɟɪɜɚ

ɚ ɷɬɨ ɢ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɫɜɨɣɫɬɜɭ ɛ

ɂɡ ɩɨɫɥɟɞɧɟɝɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɢ ɨɰɟɧɤɢ F a t ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɱɬɨ F b t F a ɩɪɢ b ! a ɚ ɷɬɨ ɢ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ± ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɚɹ ɜɫɸɞɭ ɉɟɪɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩ ɝ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɱɟɜɢɞɧɚ ɫɨɛɵɬɢɟ ɏ [ ɹɜɥɹ ɟɬɫɹ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɩɪɢ x dD ɢ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɦ ± ɩɪɢ x t E ɋɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɜ

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɫɜɨɣɫɬɜ ɚ ɢ ɛ ɨɫɧɨɜɚɧɵ ɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɝɨ ɩɟ ɪɟɯɨɞɚ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ F x ɨɛɥɚɞɚɸɳɟɣ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɫɬɢ Ɍɚɤ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɚ ɟɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɝɨ ɩɟɪɟɯɨɞɚ ɩɪɢ 'x o ɜ ɪɚɜɟɧɫɬɜɟɫɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɛ ɜ ɩ

P x d X x 'x F x 'x F x

ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɫɧɨɜɚ ɫɥɟɞɭɸɬ ɢɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɛ ɩ ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ

48

ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɇɋȼ ɛɭɞɟɦ ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ ɱɬɨ ɢɯ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ ɢ ɤɭɫɨɱɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵ

ПРИМЕР ɋɥɭɱɚɣɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ɢɦɟɟɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ɋ Ⱥ ɪ ɉɨ

ɫɬɪɨɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢɧɞɢɤɚɬɨɪɚ K ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɫɨɛɵɬɢɹ ɢ ɧɚɣɬɢ ɟɝɨ ɱɢɫɥɨɜɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ M K ɢ D K

Ɋɟɲɟɧɢɟ ȼɵɲɟ ɢɧɞɢɤɚɬɨɪ ɛɵɥ ɨɩɪɟɞɟɥɺɧ ɤɚɤ ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢ

ɂɬɚɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢɧɞɢɤɚɬɨɪɚ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɪɚɜɧɨ ɟɝɨ ɜɟɪɨɹɬ ɧɨɫɬɢ p ɚ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ± ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ pq

3. Плотность распределения

ɉɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢɥɢ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɡɨɜɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɜɢɞɚ f x Fc x ɝɞɟ F x ± ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɢɧɹɬɨɦɭ ɜ ɩ ɫɨɝɥɚɲɟɧɢɸ ɞɥɹ ɜɫɹɤɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣ

ɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɯɨɬɹ ɛɵ ɜ ɜɢɞɟ ɨɞɧɨ ɫɬɨɪɨɧɧɟɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɨɣ ɜɫɸɞɭ ɡɚ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɟɦ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ

Ɉɬɧɨɲɟɧɢɟ ɡɚɩɢɫɚɧɧɨɟ ɩɨɞ ɡɧɚɤɨɦ ɩɪɟɞɟɥɚ ɩɪɢ 'x ! ɟɫɬɶ ɤɚɤ ɛɵ ɫɪɟɞɧɹɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɏɧɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ ɯ ɯ'ɯ Ɂɧɚɱɟɧɢɟ

ɩɪɟɞɟɥɚ ɩɨ ɚɧɚɥɨɝɢɢ ɫ ɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɢɡ ɮɢɡɢɤɢ ɩɨɧɹɬɢɟɦ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɦɚɫɫɵ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɬɨɝɞɚ ɢɦɟɧɨɜɚɬɶ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɜ ɬɨɱɤɟ ɯ

ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ 'x ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧ ɫɬɜɨ

P x X x 'x | f x 'x

ɬɨ ɟɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɪɢɧɹɬɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɏ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜ ɦɚɥɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɪɚɜɧɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɦɭ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɭ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

ɉɟɪɟɣɞɺɦ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɸ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɫɜɨɣɫɬɜ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ ɧɢɹ ɋɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ

ɚ f ɯ t ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɯ

ɋɜɨɣɫɬɜɨ ɚ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɬ ɤ f x ɟɫɬɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɧɟɭɛɵɜɚɸɳɟɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɍɫɬɚɧɨɜɢɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɛ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɩ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɩɟɪɜɨɨɛɪɚɡɧɵɯ ɞɥɹ f x Ɍɨɝɞɚ ɩɪɢɦɟɧɢɦɚ

ɮɨɪɦɭɥɚ ɇɶɸɬɨɧɚ ± Ʌɟɣɛɧɢɰɚ

b

³ f x dx F b F a

a

ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɦɵ ɭɡɧɚɟɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ P a X b

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