Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

ɇɚɣɞɟɦ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ

ɜɵɱɢɫɥɟɧ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ Ʌɨɩɢɬɚɥɹ ɂɡ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɚɠɧɨɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɸ ɬ ɟ

M X V X

O

ɉɪɢɜɟɞɺɦ ɩɪɢɦɟɪɵ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɢ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ПРИМЕР 1. ɍɫɬɚɧɨɜɥɟɧɨ ɱɬɨ ɜɪɟɦɹ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɢɛɨɪɚ ɞɨ ɩɟɪɜɨɣ ɩɨɥɨɦɤɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ Ɍ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ

ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ Ȝ Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ Ⱥ ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɩɪɢɛɨɪ ɛɭɞɟɬ

ɪɚɛɨɬɚɬɶ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ > t@ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ

P A P T ! t P T dt F t e Ot e Ot

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɟɫɥɢ ɋ ± ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɡɚɤɥɸɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɩɪɢɛɨɪɚ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɜɪɟɦɟɧɢ > t W@ ɬɨ P C e O t W

Ⱦɚɥɟɟ ɩɭɫɬɶ B – ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ɩɪɢɛɨɪ ɛɭɞɟɬ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨ ɪɚɛɨɬɚɬɶ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɜɪɟɦɟɧɢ >t t W@ ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ

ɫɨɛɵɬɢɣ A B ɢ ɋ ɫɥɟɞɭɟɬ ɱɬɨ C A B Ɍɨɝɞɚ P C P A P A B ɇɚɣɞɟɦ ɬɟ ɩɟɪɶ P A B ɬɨ ɟɫɬɶ ɭɫɥɨɜɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɩɪɢɛɨɪ ɛɭɞɟɬ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨ

ɪɚɛɨɬɚɬɶ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ >t t W@ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ ɱɬɨ ɨɧ ɭɠɟ ɩɪɨɪɚɛɨɬɚɥ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ > t@ ɂɦɟɟɦ

ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɟɦ ɨɬ t ɫɥɟɞɨɜɚ ɬɟɥɶɧɨ ɫɨɛɵɬɢɟ B ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ A Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɢɛɨɪɚ ɧɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ ɜɪɟɦɟɧɢ >t t W@ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɞɥɢɧɵ ɷɬɨɝɨ

ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ IJ ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɨɝɨ ɫɤɨɥɶɤɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɩɪɢɛɨɪ ɩɪɨɪɚɛɨɬɚɥ ɞɨ ɷɬɨ ɝɨ ɉɨɞɨɛɧɨɟ ɹɜɥɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ©ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɟɦ ɩɨɫɥɟɞɟɣɫɬɜɢɹª

ПРИМЕР 2. ɋɟɝɦɟɧɬ >a b@ ɨɫɢ Ɉɏ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɦɨɞɟɥɢɪɭɟɬ ɫɨɛɨɸ ɲɤɚɥɭ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɢɛɨɪɚ ɩɪɢɱɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɭɤɚɡɚɬɟɥɹ ɜ ɧɟɤɨ ɬɨɪɵɣ ɨɬɪɟɡɨɤ ɲɤɚɥɵ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɞɥɢɧɟ ɷɬɨɝɨ ɨɬɪɟɡɤɚ ɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɟɝɨ ɦɟɫɬɚ ɧɚ ɲɤɚɥɟ ɉɪɨɜɟɪɢɬɶ ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ± ɨɬɦɟɬɤɚ ɭɤɚɡɚɬɟɥɹ ɩɪɢɛɨɪɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɨ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɢ ɧɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɩɪɢ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɭɤɚɡɚɬɟɥɶ ɨɫɬɚɧɨɜɢɬɫɹ ɧɚ ɨɬɦɟɬɤɟ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɩɨɥɨɜɢɧɟ ɲɤɚɥɵ ɩɪɢɛɨɪɚ

ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ ɢ ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ F x ɫɨɜ

ɩɚɥɚ ɫ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ ɭɫɬɚɧɨ ɜɢɬɶ

63

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ Ⱥ ± ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɭɤɚɡɚɬɟɥɹ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɩɨ

ɥɨɜɢɧɟ ɲɤɚɥɵ ɩɪɢɛɨɪɚ ɗɬɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɭ a b X d b

ɬɚɤ ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵɱɢɫɥɟɧɚ ɜ ɜɢɞɟ ɫɦ

7. Понятие о моментах распределения

Ɉɛɨɛɳɟɧɢɟɦ ɩɨɧɹɬɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɫɥɭɱɚɣ ɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɥɭɠɚɬ ɩɨɧɹɬɢɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟ ɥɟɧɢɹ Ⱦɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɨɧɢ ɜɜɨɞɹɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɜ ɜɢɞɟ

ɚ ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɤɚɤ

Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ ɢɦɟɸɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ

Q M X P P D X P Q Q

ɋɜɹɡɶ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɬɨɥɶɤɨ ɱɬɨ ɨɬɦɟɱɟɧɧɚɹ ɞɥɹ Q Q P ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɚ ɢ ɧɚ ɦɨɦɟɧɬɵ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ

Ɍɚɤ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ

P Q QQ Q P Q QQ Q Q Q

ɢ ɬ ɞ

Ɉɫɬɚɧɨɜɢɦɫɹ ɧɚ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɢ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɧɟɱɺɬɧɨɝɨ ɩɨ ɪɹɞɤɚ ȿɫɥɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɯk N ɜ ɪɹɞɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢ ɧɵ ɏ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɬɨ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɜɫɟ ɬɚɤɢɟ ɦɨɦɟɧɬɵ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ ȿɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɩɨɷɬɨɦɭ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ©ɫɤɨɲɟɧɧɨɫɬɢª ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɛɪɚɬɶ ɤɚɤɨɣ ɥɢɛɨ ɢɡ ɧɟɱɟɬɧɵɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɬɪɟɬɢɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ

Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɚɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɛɟɡɪɚɡɦɟɪɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢ

P ɢɦɟɟɬ ɪɚɡɦɟɪɧɨɫɬɶ ɤɭɛɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ȿɫɥɢ Sk ! ɬɨ ɩɪɟɨɛɥɚɞɚɸɬ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɨɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɟɫɥɢ Sk ± ɬɨ ɨɬ ɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ

Ɇɨɦɟɧɬɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɬɟɫɧɨ ɫɜɹɡɚɧɵ ɫ ɢɡɭɱɚɟɦɵɦ ɧɢɠɟ ɧɨɪɦɚɥɶ ɧɵɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɬɨɱɧɟɟ ɫ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɣ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟ ɦɨɣ ɂɧɬɟɪɟɫ ɤ ɦɨɦɟɧɬɚɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵɡɜɚɧ ɬɚɤɠɟ ɪɹɞɨɦ ɫɨɜɪɟɦɟɧ ɧɵɯ ɧɚɭɱɧɵɯ ɡɚɞɚɱ Ɉɞɧɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɡɚɞɚɱɚ ɜɨɫɫɬɚɧɨɜɥɟɧɢɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɦɨ ɦɟɧɬɨɜ ^Ql` l ȼ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɜɪɟɦɹ ɪɚɡɪɚɛɨɬɚɧɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɦɟɬɨ ɞɢɤɚ ɨɫɧɨɜɚɧɧɚɹ ɧɚ ɬɟɨɪɢɢ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɢ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹɯ ɮɭɧɤ ɰɢɣ ɜ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɩɨ ɫɢɫɬɟɦɟ ɬɚɤɢɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɜ ɨɞɧɚɤɨ ɞɚɠɟ ɞɥɹ ɩɟɪɜɢɱɧɨɝɨ ɨɡɧɚɤɨɦɥɟɧɢɹ ɫ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɬɟɦɚɬɢɤɨɣ ɱɢɬɚɬɟɥɸ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɫɧɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɢɡɭɱɢɬɶ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɭɸ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɭ

8. Нормальное распределение

ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ a ɢ ı! ɟɫɥɢ ɟɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

V S

Ɏɭɧɤɰɢɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɦɨɠɟɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɧɚ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ ɢ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧ ɧɨɫɬɢ ɉɪɨɜɟɪɢɦ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɧɟɫɨɛ ɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɗɣɥɟɪɚ ± ɉɭɚɫɫɨɧɚ

ɱɬɨ ɢ ɭɬɜɟɪɠɞɚɥɨɫɶ

65

ɬɨ ɝɨɜɨɪɹɬ ɱɬɨ ɢɦɟɟɬɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɟɝɨ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɮɭɧɤɰɢɟɣ Ʌɚɩɥɚɫɚ M ɯ ɜɜɟɞɺɧɧɨɣ ɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟ ɪɚɧɟɟ

ȼɵɪɚɡɢɦ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɩɟɪɜɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɜ ɫɭɦɦɟ ɟɫɬɶ ©ɩɨɥɨɜɢɧɚ ɨɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹª ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɟɫɬɶ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɨɬ ɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ ɩɪɨɦɟ ɠɭɬɤɭ ɂɬɚɤ ɩɟɪɜɨɟ ɫɥɚɝɚɟɦɨɟ ɜ ɪɚɜɧɨ ò ɚ ɜɬɨɪɨɟ ± ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶ

ɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɜ ɬɨɱɤɟ x a ɱɟɦ ɢ ɞɨɤɚɡɚɧɨ

V

Ƚɪɚɮɢɤɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜ ɥɟɧɵ ɧɚ ɪɢɫ

Ðèñ. 8.1. Плотность и функция нормального распределения

66

Ʉɪɢɜɭɸ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɧɭɸ ɧɚ ɪɢɫ ɚ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɢɥɢ ɝɚɭɫɫɨɜɨɣ ɤɪɢɜɨɣ Ɉɬɦɟɬɢɦ ɱɬɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɨɣ

ȼɵɹɫɧɢɦ ɤɚɤ ɛɭɞɟɬ ɦɟɧɹɬɶɫɹ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɩɪɢ ɢɡɦɟɧɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬ ɪɨɜ ɚ ɢ ı ȿɫɥɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ı ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ ɧɨ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɚ ɬɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɤɪɢɜɚɹ ɫɦɟɳɚɟɬɫɹ ɜɞɨɥɶ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ ɧɟ ɦɟɧɹɹ ɮɨɪɦɵ ȿɫɥɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɚ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ ɧɨ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ı ɬɨ ɦɟɧɹɟɬɫɹ ɨɪɞɢɧɚ ɬɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɤɪɢɜɨɣ V S ɉɪɢ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɢ ı ɬ ɟ ɩɪɢ ɭɦɟɧɶɲɟ

ɧɢɢ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɪɞɢɧɚɬɚ ɬɨɱɤɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬ ɫɹ ɇɨ ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɥɸɛɨɣ ɤɪɢɜɨɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɞɨɥɠɧɚ ɨɫɬɚɜɚɬɶɫɹ ɪɚɜɧɨɣ ɟɞɢɧɢɰɟ ɬɨ ɤɪɢɜɚɹ ɜɵɬɹɝɢɜɚɟɬɫɹ ɜɜɟɪɯ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɫɠɢɦɚɹɫɶ ɫ ɛɨ ɤɨɜ ɉɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ı ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɤɚɪɬɢɧɚ Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚ ɡɨɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ı ± ɮɨɪɦɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɤɪɢɜɨɣ

Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɩɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ D E ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɵ ɱɢɫɥɟɧɚ ɜ ɜɢɞɟ

P D X E ) E a ) D a

) E a ) D a

VV

ɱɬɨ ɢ ɭɬɜɟɪɠɞɚɥɨɫɶ

ɂɡ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɩ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɦɚɥɨɝɨ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɚ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ H ! ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

P _ X a _ H ) H

V

Ⱦɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɡɚɩɢɲɟɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ _ X a _ H ɜ ɪɚɜɧɨɫɢɥɶɧɨɦ ɜɢɞɟ a H X a H Ɍɨɝɞɚ ɜɜɢɞɭ ɧɟɱɟɬɧɨɫɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ Ʌɚɩɥɚɫɚ ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ

67

P a H X a H ) a H a ) a H a

ɱɬɨ ɢ ɬɪɟɛɨɜɚɥɨɫɶ ɞɨɤɚɡɚɬɶ

ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɩɪɢ H V ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ©ɬɪɟɯ ɫɢɝɦª

P _ X a _ H ) H ) |

V

ɋɦɵɫɥ ɟɝɨ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɨ ɱɬɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɏ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɚ ɦɟɧɶɲɟ ɭɬɪɨɟɧɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹV

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ ɫɦɵɫɥ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɚ ɢ V ɩɪɨɹɫɧɹɟɬɫɹ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɢ

ɇɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɢɦɟɟɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ

Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɩɟɪɜɨɟ ɢɡ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɣ ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɧɨɜɚ ɡɚɦɟɧɭ ɩɟ

ɪɟɦɟɧɧɨɣ t x a ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɢ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɧɭɥɸ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ ɩɨ

V

ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɦɭ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ ɨɬ ɧɟɱɟɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɥɭɱɢɦ

ɱɬɨ ɢ ɭɬɜɟɪɠɞɚɥɨɫɶ

ɇɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɟɬɫɹ ɧɚ ɩɪɚɤ ɬɢɤɟ Ɉɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɷɬɨ ɬɟɦ ɱɬɨ ɨɧ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɦ ɡɚɤɨɧɨɦ ɤ ɤɨɬɨ ɪɨɦɭ ɩɪɢɛɥɢɠɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝɢɟ ɡɚɤɨɧɵ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɢ ɜɟɫɶɦɚ ɱɚɫɬɨ ɜɫɬɪɟɱɚɸ ɳɢɯɫɹ ɬɢɩɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɂɦɟɧɧɨ ɟɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɦɦɭ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɜɡɚɢɦɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ

68

X X Xn ɬɨ ɟɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɏ ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɢɡ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟ ɥɢɱɢɧ Xk k n ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɡɧɚɱɟ ɧɢɣ ɩɪɢɧɢɦɚɟɦɵɯ ɨɫɬɚɥɶɧɵɦɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɬɨ ɩɪɢ ɜɟɫɶɦɚ ɨɛɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɛɥɢɡɨɤ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɍɫɥɨɜɢɹɦ ɜɵɪɚɠɟɧɧɵɦ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɯ ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɧɨɪɦɚɥɶɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɫɜɹɳɟɧ ɪɹɞ ɬɟɨ ɪɟɦ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɯ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɣ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɬɟɨɪɟɦɨɣ ɋɦɵɫɥ ɷɬɢɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɫɨ ɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ ɱɬɨ ©ɭɞɟɥɶɧɵɣ ɜɟɫª ɤɚɠɞɨɝɨ ɨɬɞɟɥɶɧɨɝɨ ɫɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɞɨɥɠɟɧ ɫɬɪɟ ɦɢɬɶɫɹ ɤ ɧɭɥɸ ɩɪɢ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɟɫɥɢ ɏ ± ɩɪɨɢɡɜɨɞ ɫɬɜɟɧɧɚɹ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɬɨ ɧɚ ɧɟɺ ɜɥɢɹɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɦɚ ɬɟɪɢɚɥɚ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɫɬɚɧɤɚ ɢɧɫɬɪɭɦɟɧɬɚ ɢ ɬ ɞ ɩɪɢɱɟɦ ɟɫɥɢ ɧɢ ɨɞɧɚ ɢɡ ɷɬɢɯ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɟɣ ɧɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɟɣ ɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɥɢɡɤɢɣ ɤ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ

ПРИМЕР 1. ɇɚɣɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟ ɥɟɧɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ

ПРИМЕР 2. ɇɚ ɮɚɪɦɚɰɟɜɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɚɛɪɢɤɟ ɤɨɧɬɪɨɥɢɪɭɟɬɫɹ ɜɟɫ ɩɪɨɢɡɜɨ ɞɢɦɵɯ ɬɚɛɥɟɬɨɤ ȼɡɜɟɲɢɜɚɧɢɟ ɧɟ ɩɨɞɜɟɪɠɟɧɨ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɲɢɛɤɚɦ ɨɞ ɧɚɤɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɨɲɢɛɤɢ X ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɨɞɱɢɧɟɧɨ ɧɨɪ ɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɫɨ ɫɪɟɞɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ ɪɚɜɧɵɦ ɝ ɇɚɣɬɢ

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ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɜɡɜɟɲɢɜɚɧɢɟ ɛɭɞɟɬ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɨ ɫ ɨɲɢɛɤɨɣ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨ ɞɹɳɟɣ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɫɦ

Ɋɟɲɟɧɢɟ Ɉɲɢɛɨɤ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɬ ɟ ɨɲɢɛɨɤ ɨɞɧɨɝɨ ɡɧɚɤɚ ɧɟɬ ɫɥɟɞɨ ɜɚɬɟɥɶɧɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɨɲɢɛɨɤ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ ɩɨɥɨɠɢ ɬɟɥɶɧɵɟ ɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɲɢɛɨɤ ©ɭɪɚɜɧɨɜɟɲɢɜɚɸɬª ɞɪɭɝ ɞɪɭɝɚ ɂɫɩɨɥɶɡɭɟɦ ɮɨɪɦɭɥɭ

P _ X a _ G ) H

V

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ a ɞɚɥɟɟ V ɢ H ɉɨɥɭɱɢɦ

P _ X _ ) ) |

9. Случайный вектор. Линейная комбинация случайных величин

ȼɜɨɞɹ ɩɨɧɹɬɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y ɢɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɜɟɤ ɬɨɪɚ ɦɵ ɨɝɪɚɧɢɱɢɦɫɹ ɫɥɭɱɚɟɦ ɤɨɝɞɚ ɨɛɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵ ɢ ɩɟɪɟɱɟɧɶ ɡɧɚ ɱɟɧɢɣ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɧɢɯ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧ ɤɨɧɟɱɧɨɣ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ^x x xn` ɢ ^y y yɬ` ɋɥɭɱɚɣɧɵɣ ɜɟɤɬɨɪ Z X Y ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜɫɟɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɩɚɪɚɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xk yl k n l m ɤɚɠ ɞɚɹ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬɫɹ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ pkl p X xk Y yl ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɪɟɱɶ ɢɞɺɬ ɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɢ ɫɨɛɵɬɢɣ X xk ɢ Y yl ɬɨ

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