Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

Ɇɚɬɪɢɰɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɬɟɦ ɨɱɟɜɢɞɧɵɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɱɬɨ ɫɭɦɦɵ ɜɟ ɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɩɨ ɜɫɟɦ ɫɬɨɥɛɰɚɦ ɢ ɫɬɪɨɤɚɦ ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɢɫɬɟɦɭ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X Y ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɧɨɜɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ Z X Y ɡɧɚɱɟɧɢɹ ± ɷɬɨ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɫɭɦ ɦɵ xk yl ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɤɚɠɞɨɣ ɬɚɤɨɣ ɫɭɦɦɟ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ pkl p X xk Y yl Ⱦɪɭ ɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Z X Y ɢɦɟɟɦ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɢɞɚ

k n l m

ɉɨɞɨɛɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ Z X Y ɉɟɪɜɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɪɹɞɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ xkyl ɪɚɫɩɨɥɨ ɠɟɧɧɵɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ ɚ ɜɬɨɪɚɹ ɫɬɪɨɤɚ ± ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɪkl ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Z ɋX ɝɞɟ ɋ– ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɨɬɥɢɱɧɚɹ ɨɬ ɧɭɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɫɹ ɪɹɞɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɞɚɱɭ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɵɯ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟ ɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟ ɥɢɱɢɧ

Теорема 1. ɂɦɟɸɬ ɦɟɫɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ

M CX CM X

D CX C D X

Теорема 2. ɂɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ

M X Y M X M Y ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɢ Y ± ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ ɬɨ

D X Y D X D Y

71

ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ Ⱦɋȼ Z O X P Y ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ

M OX PY OM X PM Y

D OX PY O D X P D Y

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɩɟɪɜɨɣ ɬɟɨɪɟɦɵ ɱɢɬɚɬɟɥɸ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɫɚɦɨ ɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɬɟɨɪɟɦɵ ɦɵ ɧɟ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦ

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ ɉɨɧɹɬɢɟ ɥɢɧɟɣɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɢ ɩɨɩɚɪɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɥɭɱɚɣ ɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɢɬɶ ɧɚ ɥɸɛɨɟ ɢɯ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɟɫɥɢ

X O X O X On Xn

ɬɨ

M X O M X O M X OnM Xn

ɢ

D X O D X O D X OnD Xn

ПРИМЕР. ɇɚɥɨɝɨɜɨɣ ɫɥɭɠɛɨɣ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɤɨɧɬɪɨɥɶ ɬɪɟɯ ɜɢɞɨɜ ɩɪɟɞɩɪɢɧɢɦɚɬɟɥɶɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɉɨ ɩɟɪɜɨɦɭ ɜɢɞɭ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬ ɧɨɫɬɶ ɫɨɤɪɵɬɢɹ ɞɨɯɨɞɨɜ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɩɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ± ɩɨ ɬɪɟɬɶɟɦɭ ± ɋɪɟɞɫɬɜɚ ɨɬ ɲɬɪɚɮɨɜ ɡɚ ɫɨɤɪɵɬɢɟ ɞɨɯɨɞɨɜ ɩɨɫɬɭɩɚɸɬ ɜ ɛɸɞɠɟɬ ɪɟɝɢɨɧɚ ɋɱɢɬɚɹ ɱɬɨ ɜɫɟ ɮɚɤɬɵ ɫɨɤɪɵɬɢɹ ɜɵɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɫɪɟɞɧɢɣ ɞɨɯɨɞ ɪɟɝɢɨɧɚɥɶ ɧɨɝɨ ɛɸɞɠɟɬɚ ɨɬ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫɪɟɞɫɬɜ ɟɫɥɢ ɫɭɦɦɚ ɧɚɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɲɬɪɚɮɚ ɩɨ ɤɚɠɞɨɦɭ ɜɢɞɭ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɢ ɆɊɈɌ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɡɦɟɪɚ ɨɩɥɚɬɵ ɬɪɭɞɚ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ ɏ ±ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɧɵ ɩɨɥɭɱɚɟɦɨɦɭ ɞɨɯɨɞɭ ɛɸɞɠɟɬɚ ɨɬ ɲɬɪɚɮɨɜ ɩɨ ɜɫɟɦ ɬɪɺɦ ɜɢɞɚɦ ɞɟɹɬɟɥɶ ɧɨɫɬɢ əɫɧɨ ɱɬɨ ɫɪɟɞɧɢɣ ɞɨɯɨɞ ɪɟɝɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɛɸɞɠɟɬɚ ɟɫɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X Ɂɧɚɱɟɧɢɹ X ɫɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɢɡ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɏ ɏ ɏ ɝɞɟ ɤɚɠ ɞɚɹ ɢɡ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɬɪɺɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɭɦɦɚɪɧɵɯ ɲɬɪɚɮɨɜ ɩɨ ɫɨ ɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɤɚɬɟɝɨɪɢɹɦ ɩɪɟɞɩɪɢɧɢɦɚɬɟɥɶɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶ ɧɨ X X X X ȼ ɫɜɨɸ ɨɱɟɪɟɞɶ Xk OkKk k ɝɞɟ Kk ± ɢɧɞɢɤɚɬɨɪ ɫɨɛɵɬɢɹ ɫɨɤɪɵɬɢɹ ɞɨɯɨɞɚ ɩɨ k ± ɨɣ ɤɚɬɟɝɨɪɢɢ ɚ Ok ± ɫɭɦɦɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɧɚɥɚɝɚɟɦɨɝɨ ɲɬɪɚɮɚ Ɂɧɚɱɢɬ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɩ

M X M X X X O M K O M K O M K

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢɧɞɢɤɚɬɨɪɚ ɪɚɜɧɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɨɬɜɟɬ

КОНТРОЛЬНЫЙ МОДУЛЬ

ɌȿɈɊȿɌɂɑȿɋɄɂȿ ɍɉɊȺɀɇȿɇɂə

ɉɨɫɬɨɹɧɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ C ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɞɢɫɤɪɟɬɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣ ɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɩɪɢɧɢɦɚɸɳɭɸ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ C ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɪ Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ M C ɢ D C

ɉɭɫɬɶ C ± ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ C z Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢ ɧɭ CX ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɤɚɤ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɫɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ Cɯk ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɜɟɪɨɹɬ ɧɨɫɬɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɛɭɞɭɬ ɪɚɜɧɵ pk p X xk k ɉɭɫɬɶ ɞɚɥɟɟ

ɏ ± ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɇɋȼ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɭɸ ɫɥɭɱɚɣɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ CX ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɤɚɤ ɜɟ ɥɢɱɢɧɭ ɫɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ Cx ɝɞɟ ɯ ± ɥɸɛɨɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ f ɯ ɬɨɣ ɠɟ ɱɬɨ ɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɜɟɥɢɱɢ ɧɵ ɏ ȼ ɨɛɨɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɬ ɟ ɜ ɫɥɭɱɚɹɯ Ⱦɋȼ ɢ ɇɋȼ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ

Ɇ ɋɏ ɋɆ ɏ ɢ D ɋɏ ɋ ' ;

Ɋɚɞɢɭɫ ɏ ɤɪɭɝɚ ɢɡɦɟɪɟɧ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɋɱɢɬɚɹ ɏ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɣ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ >a b@ ɧɚɣɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɞɥɢɧɵ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ

ȼɨɡɦɨɠɧɨ ɥɢ ɱɬɨɛɵ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɵɥɚ ɪɚɜɧɚ ɧɚ ɩɪɨɦɟ ɠɭɬɤɟ ± "

Ɇɨɠɟɬ ɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɪɢɧɹɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨɟ "Ɇɨɠɟɬ ɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ F x e _x_ ɛɵɬɶ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɤɚɤɨɝɨ ɥɢɛɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟ

ɥɟɧɢɹ" Ɇɨɠɟɬ ɥɢ ɜɨɨɛɳɟ ɱɟɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɛɵɬɶ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɤɚɤɨɝɨ ɥɢɛɨ ɪɚɫɩɪɟ ɞɟɥɟɧɢɹ"

ȿɫɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x ± ɱɟɬɧɚ ɬɨ ɱɟɦɭ ɪɚɜɟɧ ɧɟɫɨɛɫɬɜɟɧ

ɧɵɣ ɢɧɬɟɝɪɚɥ ³ f x dx "

f

Ɇɨɠɟɬ ɥɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɛɵɬɶ ɧɟɱɟɬɧɨɣ"Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ f x e ax bx c ɝɞɟ a ! b ɢ ɫ ± ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚ

ɞɚɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɥɭɠɢɬ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ E ɏ ɝɞɟ E ± ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɚ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɇɚɣɬɢ ɜɵɪɚɡɢɬɶ ɱɟɪɟɡ a b ɢ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɜɟɥɢɱɢɧɵ E ɏ

73

ɁȺȾȺɑɂ ȾɅə ɋȺɆɈɋɌɈəɌȿɅɖɇɈȽɈ Ɋȿɒȿɇɂə

ɇɚ ɯɢɦɢɱɟɫɤɨɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɟɜɵɲɟɧɢɢ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨ ɞɨɩɭɫɬɢ ɦɨɣ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ ɉȾɄ ɜ ɜɨɡɞɭɯɟ ɜɪɟɞɧɵɯ ɜɟɳɟɫɬɜ ɞɨɥɠɧɵ ɫɪɚɛɨɬɚɬɶ ɬɪɢ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɪɚɛɨɬɚɸɳɢɯ ɫɢɝɧɚɥɢɡɚɬɨɪɚ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɬɤɚɡɚ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɩɪɟɜɵɲɟɧɢɹ ɉȾɄ ɪɚɜɧɚ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɫɢɝ ɧɚɥɢɡɚɬɨɪɨɜ ɧɟ ɫɪɚɛɨɬɚɜɲɢɯ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɨɬɤɚ ɠɟɬ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɨɞɧɨɝɨ ɫɢɝɧɚɥɢɡɚɬɨɪɚ

Ɍɪɨɟ ɛɚɫɤɟɬɛɨɥɢɫɬɨɜ ɧɚ ɬɪɟɧɢɪɨɜɤɟ ɢɡɞɚɥɟɤɚ ɛɪɨɫɚɸɬ ɦɹɱ ɜ ɤɨɪɡɢɧɭ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɭɫɩɟɲɧɨɝɨ ɛɪɨɫɤɚ ɞɥɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɫɩɨɪɬɫɦɟɧɚ ɞɥɹ ɜɬɨɪɨɝɨ ɢ ɞɥɹ ɬɪɟɬɶɟɝɨ ± ɩɨ ɉɭɫɬɶ ɏ – ɱɢɫɥɨ ɩɨɩɚɞɚɧɢɣ ɜ ɤɨɪɡɢɧɭ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɤɨɝɞɚ ɤɚɠɞɵɣ ɫɞɟɥɚɥ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɛɪɨɫɤɭ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɏ ɧɚɣɬɢ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɟɟ ɝɪɚɮɢɤ

ȼ ɩɚɱɤɟ ɢɡ ɬɟɚɬɪɚɥɶɧɵɯ ɛɢɥɟɬɨɜ ɬɪɢ ɛɢɥɟɬɚ ± ɧɚ ɩɪɟɦɶɟɪɭ ɇɚɭɞɚɱɭ ɜɡɹɬɵ ɛɢɥɟɬɚ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ± ɱɢɫɥɚ ɛɢɥɟɬɨɜ ɧɚ ɩɪɟɦɶɟɪɭ ɫɪɟɞɢ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɢɡ ɜɡɹɬɵɯ ɛɢɥɟɬɨɜ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɧɚ ɩɪɟɦɶɟɪɭ

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɫɬɪɟɥɨɤ ɩɨɩɚɞɟɬ ɜ ɦɢɲɟɧɶ ɩɪɢ ɨɞɧɨɦ ɜɵɫɬɪɟɥɟ ɪɚɜɧɚ ɋɬɪɟɥɤɭ ɜɵɞɚɸɬɫɹ ɩɚɬɪɨɧɵ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ ɩɨɤɚ ɨɧ ɧɟ ɩɨɩɚɞɟɬ ɜ ɩɟɪɜɵɣ ɪɚɡ ɜ ɦɢɲɟɧɶ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ± ɱɢɫɥɚ ɩɚ ɬɪɨɧɨɜ ɜɵɞɚɧɧɵɯ ɫɬɪɟɥɤɭ

ɇɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɢɫɩɵɬɵɜɚɟɬɫɹ ɷɧɟɪɝɨɛɥɨɤɚ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɬɤɚɡɚ ɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɧɢɯ ɫɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭ ɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ ± ɱɢɫɥɚ ɨɬɤɚɡɚɜɲɢɯ ɛɥɨɤɨɜ ɇɚɣɬɢ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢ ɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ȼɵɱɢɫɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɫɨɛɵɬɢɣ

D X ɛ X

Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɢɦɟɟɬ ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟ ɧɢɹ x ɢ x ɩɪɢɱɟɦ x x ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɏ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ x ɪɚɜ ɧɚ ɇɚɣɬɢ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɏ ɡɧɚɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ M X ɢ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ V X

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɧɚ ɜɫɟɣ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɨɫɢ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟ

ɥɟɧɢɹ F x arctg x ɇɚɣɬɢ

S

D ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɏ ɩɪɢɦɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɡɚ ɤɥɸɱɟɧɧɨɟ ɜ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɟ >± @

ɛ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ f x

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɡɚɞɚɧɚ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

74

ɇɚɣɬɢ

ɚ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɮɭɧɤɰɢɸ f x ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

ɛ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɜ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X ɝ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ X ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥ

ɉɥɨɬɧɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢ ɱɢɧɵ ɏ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

­ x d

f x °®Q ɯ [ d

°¯ x !

ɇɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ Q ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨ ɫɨ ɫɪɟɞɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɱɟɫɤɢɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ V ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɞɜɚɠɞɵ ɜ ɬɪɟɯ ɢɫɩɵ ɬɚɧɢɹɯ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɏ ɨɬ ɟɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɦɟɧɶɲɟ

ɇɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ ɧɢɹ I x VLQ [ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ S ɢ I x ɜɧɟ ɷɬɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɩɪɢ ɬɪɟɯ ɨɩɵɬɚɯ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɏ ɞɜɚɠɞɵ ɩɨɩɚɞɟɬ ɜ ɢɧɬɟɪ ɜɚɥ S S

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

I x ax x± ɩɪɢ x > @ I x ɩɪɢ x > @

ɇɚɣɬɢ

ɚ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ a ɛ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɡɚɞɚɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

I x ɯ ɩɪɢ x > ɫ@ I x ɩɪɢ x > ɫ@

ɇɚɣɬɢ

ɚ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɫ ɛ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ P X

ɇɟɤɨɬɨɪɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɨɞɱɢɧɹɟɬɫɹ ɡɚɤɨɧɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɚɫ ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ ɇɚɣɬɢ ɜɟɪɨɹɬ

75

ɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɨɬɞɟɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɡɚɤɥɸɱɟɧɨ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ ɞɨ Ɉɬɜɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ

Ⱦɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ; ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɬɪɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɱɟɧɢɟ ɯ ɫ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɪ ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɱɬɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ M ɏ ɪɚɜɧɨ ɇɚɣɬɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ D X p

ɋɉȿɐɂȺɅɖɇɕȿ ɊȺɋɉɊȿȾȿɅȿɇɂə ɄɈɆɉɅȿɄɋɇɕȿ ɁȺȾȺɇɂə

ɉɪɢ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɢ ɤɚɞɪɨɜɨɝɨ ɪɟɡɟɪɜɚ ɧɚ ɭɩɪɚɜɥɟɧɱɟɫɤɢɟ ɞɨɥɠɧɨɫɬɢ ɩɪɨɜɨɞɹɬ ɫɨɛɟɫɟɞɨɜɚɧɢɟ ɫ ɤɚɧɞɢɞɚɬɚɦɢ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ ɱɬɨ ɤɚɠɞɵɣ ɞɚɧɧɵɣ ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹɦ ɤ ɭɩɪɚɜɥɟɧɱɟɫɤɨɣ ɞɨɥɠɧɨɫɬɢ ɪɚɜ

ɧɚ Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ

ɚ ɜɫɟ ɤɚɧɞɢɞɚɬɵ ɜɨɣɞɭɬ ɜ ɤɚɞɪɨɜɵɣ ɪɟɡɟɪɜ ɛ ɧɢ ɨɞɢɧ ɢɡ ɧɢɯ ɧɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬ ɩɪɟɞɴɹɜɥɹɟɦɵɦ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹɦ ɜ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɷɬɢɦ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹɦ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɢɬ ɋ ɤɚɤɢɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɤɚɧɞɢɞɚɬɨɜ ɧɚɞɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɛɟɫɟɞɭ ɱɬɨɛɵ ɫɪɟɞɧɟɟ

ɱɢɫɥɨ ɬɟɯ ɤɬɨ ɦɨɠɟɬ ɜɨɣɬɢ ɜ ɤɚɞɪɨɜɵɣ ɪɟɡɟɪɜ ɫɨɫɬɚɜɢɥɨ ɱɟɥɨɜɟɤɚ" Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɢɦɟɧɧɨ ɫɬɨɥɶɤɨ ɱɟɥɨɜɟɤ ɜɨɣɞɭɬ ɜ ɤɚɞɪɨɜɵɣ ɪɟɡɟɪɜ"

ȼ ɚɞɦɢɧɢɫɬɪɚɰɢɸ ɫɭɛɴɟɤɬɚ ɊɎ ɟɠɟɦɟɫɹɱɧɨ ɩɨɫɬɭɩɚɟɬ ɩɪɢɦɟɪɧɨ ɬɵɫɹɱɚ ɩɢɫɟɦ ɉɨɞɫɱɢɬɚɧɨ ɱɬɨ ɨɛɵɱɧɨ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɫɨɬɨɦ ɩɢɫɶɦɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɤɨɧɫɬɪɭɤ ɬɢɜɧɨɟ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɟ Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɜ ɨɱɟɪɟɞɧɨɦ ɦɟɫɹɰɟ ɩɨɫɬɭɩɢɬ

ɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɤɨɧɫɬɪɭɤɬɢɜɧɨɟ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɟ ɛ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɹ" ɜ ɧɟ ɦɟɧɟɟ ɞɜɭɯ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɣ"

Ʉɚɤɨɜɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɱɢɫɥɚ ɤɨɧɫɬɪɭɤɬɢɜɧɵɯ ɩɪɟɞɥɨɠɟɧɢɣ"

ȼ ɝɨɪɨɞɟ N ɢɦɟɟɬɫɹ ɮɢɧɚɧɫɨɜɵɯ ɤɨɦɩɚɧɢɣ ɫɪɟɞɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɧɚɯɨɞɹɬ ɫɹ ɧɚ ɝɪɚɧɢ ɛɚɧɤɪɨɬɫɬɜɚ Ʉɥɢɟɧɬ ɜɵɛɢɪɚɟɬ ɞɥɹ ɯɪɚɧɟɧɢɹ ɢ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɫɪɟɞɫɬɜ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɤɨɦɩɚɧɢɢ ɋɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɹɞ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɏ ɜɵɛɪɚɧ ɧɵɯ ɤɨɦɩɚɧɢɣ ɢɦɟɸɳɢɯ ɜɵɫɨɤɢɣ ɪɢɫɤ ɛɚɧɤɪɨɬɫɬɜɚ ɇɚɣɬɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɠɢɞɚɧɢɟ ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ

ɋ ɤɚɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɦɨɠɧɨ ɭɬɜɟɪɠɞɚɬɶ ɱɬɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɢɡ ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɤɨɦɩɚɧɢɣ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɧɚ ɝɪɚɧɢ ɛɚɧɤɪɨɬɫɬɜɚ"

76

Ⱥɡɚɪɬɧɵɣ ɝɪɚɠɞɚɧɢɧ ɩɪɢɨɛɪɟɬɚɟɬ ɥɨɬɟɪɟɣɧɵɟ ɛɢɥɟɬɵ ɞɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɩɟɪ ɜɨɝɨ ɜɵɢɝɪɵɲɚ ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɵɢɝɪɵɲɚ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɪɢɨɛɪɟɬɺɧɧɨɝɨ ɛɢɥɟɬɚ

ɪɚɜɧɚ ɋ ɤɚɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ ɟɦɭ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɩɪɢɨɛɪɟɫɬɢ ɛɢɥɟɬɚ" Ʉɚɤɨɜɨ

ɫɪɟɞɧɟɟ ɱɢɫɥɨ ɛɢɥɟɬɨɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɢɨɛɪɟɫɬɢ ɞɨ ɦɨɦɟɧɬɚ ɩɟɪɜɨɝɨ ɜɵɢɝɪɵɲɚ"

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɸ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɩɚɪɚ ɦɟɬɪɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɦɨɝɨ ɢɡɞɟɥɢɹ ɨɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɚ ɂɡɜɟɫɬɧɨ ɱɬɨ ɏ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɧɨɪ ɦɚɥɶɧɨ ɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɨɠɢɞɚɧɢɟɦ M X ɢ ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ D X

Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɱɬɨ ɜ ɬɪɟɯ ɨɩɵɬɚɯ ɚ ɟɺ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɬɤɥɨɧɹɬɫɹ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɧɟ ɦɟɧɟɟ ɱɟɦ ɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɢɧ ɪɚɡ" ɛ ɬɚɤɢɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɛɭɞɭɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɜɫɟ ɬɪɢ ɪɚɡɚ"

77

Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ

1. Статистическое распределение выборки

Ƚɟɧɟɪɚɥɶɧɚɹ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɢ ɜɵɛɨɪɤɚ ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɫɬɨɹɳɟɟ ɢɡ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɧɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɨɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɩɪɢɱɟɦ ɤɚɠɞɵɣ ɨɛɴɟɤɬ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ xi ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ Ɍɚɤɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨ ɤɭɩɧɨɫɬɶɸ ɜ ɫɜɨɸ ɨɱɟɪɟɞɶ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɢɡ n ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɨɣ ɨɛɴɟɦɚ n ɂɡɜɥɟɱɟɧɧɵɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ ɤɚɤ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ȼ ɩɨɞɨɛɧɵɯ ɫɥɭɱɚɹɯ ɝɨɜɨɪɹɬ ɨɛ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟ ɥɟɧɢɢ ɏ

ɉɭɫɬɶ n ɨɛɴɟɤɬɨɜ ɢɡ ɜɵɛɨɪɤɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɯ n ɨɛɴɟɤ ɬɨɜ ± ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɯ nk ± ɨɛɴɟɤɬɨɜ ± ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ xk ɑɢɫɥɚ ɯ ɯ xk ɧɚɡɵɜɚ ɸɬɫɹ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦɢ ɚ ɱɢɫɥɚ n n nk ± ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜɚɪɢɚɧɬ ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɟ ɦɟɠɞɭ ɜɚɪɢɚɧɬɚɦɢ ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦɢ ɢɦ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬ ɫɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟɦ ɜɵɛɨɪɤɢ ɚ ɬɚɛɥɢɰɚ ɜɢɞɚ

ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɵɦ ɪɹɞɨɦ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ

n n nk n

Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɣ xi ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ

w w wk

Ɇɨɞɨɣ Ɇɨɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɚɪɢɚɧɬɭ ɢɦɟɸɳɭɸ ɧɚɢɛɨɥɶɲɭɸ ɱɚɫɬɨɬɭ Ɇɟɞɢɚɧɨɣ ɆH ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜɚɪɢɚɧɬɭ ɤɨɬɨɪɚɹ ɞɟɥɢɬ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɟ ɜɚɪɢɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɪɹɞɚ

78

ɟɫɥɢ ɱɢɫɥɨ ɜɚɪɢɚɧɬ ɧɟɱɟɬɧɨ ɦɟɞɢɚɧɚ ɆH ɪɚɜɧɚ ɫɪɟɞɧɟɦɭ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɞɜɭɯ ɛɥɢɠɚɣɲɢɯ ɤ ©ɫɟɪɟɞɢɧɟª ɜɚɪɢɚɧɬ ɟɫɥɢ ɢɯ ɱɢɫɥɨ ɱɟɬɧɨ Ɋɚɡɦɚɯɨɦ ɜɚɪɶɢ ɪɨɜɚɧɢɹ R ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɦɟɠɞɭ ɧɚɢɛɨɥɶɲɟɣ ɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɣ ɜɚɪɢɚɧɬɨɣ

ȼɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ xB ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɜɫɟɯ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɜ ɜɵɛɨɪɤɟ ɡɧɚɱɟɧɢɣ

ɩɪɢɱɟɦ ɜ ɩɟɪɜɨɣ ɫɤɨɛɤɟ ɢɦɟɟɬɫɹ n ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɜɨ ɜɬɨɪɨɣ n ɜ ɩɨɫɥɟɞ ɧɟɣ ± nk ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ ɍɫɬɚɧɨɜɢɦ ɱɬɨ

x w x w xk wk

ȼɨɡɧɢɤɚɟɬ ɜɨɩɪɨɫ ɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɟ ɫɬɟɩɟɧɢ ɪɚɫɫɟɢɜɚ ɧɢɹ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɢɯ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɉɟɪɜɨɟ ɱɬɨ ɟɫɬɟ ɫɬɜɟɧɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ ± ɷɬɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɬɶ ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɚɦɢɯ ɭɤɥɨɧɟ

ɢɥɢ ɱɬɨ ɬɨ ɠɟ ɫɚɦɨɟ

k

n ¦i xi xɜ wL ɨɞɧɚɤɨ ɬɚɤɚɹ ɫɭɦɦɚ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɞɥɹ ɜɫɹɤɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɵ ɛɨɪɤɢ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɨɞɨɛɧɨ ɫɥɭɱɚɸ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ Ⱦɋȼ ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɨɣ ɪɚɫɫɟɹɧɢɹ

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɱɬɨ ɧɭɥɟɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɨɣ ɫɭɦɦɵ ɩɨɥɭɱɚɟɬɫɹ ɡɚ ɫɱɺɬ ɜɡɚɢɦɧɨɝɨ ɩɨɝɚɲɟɧɢɹ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɭɤɥɨɧɟɧɢɣ ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭ ɱɚɟ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ ɩɟɪɟɣɬɢ ɤ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɸ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ

79

ɭɤɥɨɧɟɧɢɣ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɯi ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɢɯ ɫɪɟɞɧɟɣ xB ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɝɨ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ

ɞɢɫɩɟɪɫɢɟɣ D ȼ ɂɬɚɤ ɜɵɛɨɪɨɱɧɚɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜ ɜɢɞɟ

k

DB ¦ xi xȼ wL

i

ɤɨɬɨɪɭɸ ɭɞɨɛɧɟɟ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɦɨɣ ɫɩɨɫɨɛɨɦ ɚɧɚɥɨɝɢɱ ɧɵɦ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɦɭ ɜ ɩ

ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɫɪɟɞɧɢɯ xȼ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɛɥɢɡɤɢɦɢ ɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦɭ ɨɠɢɞɚɧɢɸ Ɇ Ɇ ɏ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ Ɍɨɱɧɨ ɬɚɤ ɠɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɵɛɨɪɨɱɧɵɯ ɞɢɫɩɟɪɫɢɣ DB ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɫ ɪɨɫɬɨɦ ɩ ɛɥɢɡɤɢɦɢ ɤ ɞɢɫɩɟɪɫɢɢ ɤɨɥɢ ɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ V D X Ɍɨɱɧɵɟ ɮɨɪɦɵ ɷɬɢɯ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬ ɩɨɧɹɬɢɟ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɢ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɢ ɜɵɯɨɞɹɬ ɡɚ ɪɚɦɤɢ ɧɚɫɬɨɹɳɟɝɨ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ

2. Статистические оценки параметров распределения

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɱɬɨ ɧɚɫ ɢɧɬɟɪɟɫɭɟɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ T ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɸɳɟɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɪɢɡɧɚɤ ɏ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨ ɤɭɩɧɨɫɬɢ Ɉɰɟɧɤɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ T ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɨɬ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɜ ɜɵɛɨɪɤɚɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɞɚɸɳɢɟ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟ ɧɢɟ ɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ T

Ɍɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ T ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɰɟɧɤɭ ɤɨɬɨɪɚɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɨɞɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɬɚɤ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɬɨɱɟɱɧɨɣ ɨɰɟɧɤɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɠɢɞɚɧɢɹ

PɆ ɏ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɟɫɬɶ ɡɧɚɱɟ

ɧɢɟ ɜɵɛɨɪɨɱɧɨɣ ɫɪɟɞɧɟɣ

ɉɭɫɬɶ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɜɢɞ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F x T ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ

ɩɪɢɡɧɚɤɚ ɏ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɣ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɢ ɧɨ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ

80