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Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебное пособие

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☆

25

4

3

S

 

S

26

4

3

S

6

3

S

 

 

S

6

3

S

 

2

3

S

4 2

S

29

 

S

4

3

S

 

6

3

S

2

3

S

ǺȗȇȉȔȌȔȏȌ ȒȏȔȏȏ Ȕȇ ȖȒȕȘȑȕȘșȏ

Ʌɢɧɢɟɣ ɜ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɟɨɦɟɬɪɢɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɦɟɫɬɨ ɬɨ ɱɟɤ ɨɛɴɟɞɢɧɟɧɧɵɯ ɤɚɤɢɦ-ɥɢɛɨ ɨɛɳɢɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɉɭɫɬɶ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɡɚɞɚɧɚ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɥɢɧɢɹ l Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

f x y

(1.2.1)

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɥɢɧɢɢ l ɟɫɥɢɷɬɨɦɭɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵx ɢy ɥɸɛɨɣɬɨɱɤɢ ɥɟɠɚɳɟɣ ɧɚ ɥɢɧɢɢ l ɢ ɧɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɧɢ ɨɞɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɧɟ ɥɟɠɚɳɟɣ ɧɚ ɥɢɧɢɢ l.

ɉɪɢɦɟɪ ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɪɚɞɢɭɫɚ R ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ A x y ɉɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɷɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɬɨɱɟɤ M ɩɥɨɫɤɨ ɫɬɢ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɞɨ ɬɨɱɤɢ A ɪɚɜɧɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ ɪɚɞɢɭɫɚ R:

 

AM

R.

(1.2.2)

ɉɭɫɬɶ M x y – ɬɨɱɤɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɪɚɫ

ɫɬɨɹɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɬɨɱɤɚɦɢ

 

(x x )2 ( y y )2 R .

 

ȼɨɡɜɨɞɹ ɷɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ

 

(x x )2 ( y y )2 R2 .

(1.2.3)

ɉɭɫɬɶ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ ɥɢɧɢɢ f x y – ɫɬɟɩɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ

 

Axn Byn Cxn 1y Dxn 2 y2 Ex Fy G

(1.2.4)

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɥɢɧɢɢ ɧɚɢɛɨɥɶɲɭɸ ɫɭɦ ɦɚɪɧɭɸ ɫɬɟɩɟɧɶ n ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ x ɢ y ɜɯɨɞɹɬ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɩɨɪɹɞɨɤ ɥɢɧɢɢ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɵɛɨɪɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɤɨɨɪ ɞɢɧɚɬ > @

11

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɩɨɜɢɞɭɜɵɜɟɞɟɧɧɨɝɨɜɵɲɟɭɪɚɜɧɟɧɢɹɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɹɫɧɨ ɱɬɨ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɪɢɜɨɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ

Ɂɚɞɚɧɢɟ ʋ

ɉɪɨɜɟɪɢɬɶ ɥɟɠɚɬ ɥɢ ɬɨɱɤɢ A B C ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɰɟɧ ɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ M ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ R 5.

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɵ ɨɬ ɬɨɱɟɤ

A ɢ B

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜɬɪɨɟ ɞɚɥɶɲɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A ɱɟɦ ɨɬ ɬɨɱɤɢ B

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜɞɜɨɟ ɛɥɢɠɟ ɤ ɬɨɱɤɟ

A ɱɟɦ ɤ ɬɨɱɤɟ B

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɵ ɜɬɨɪɨɝɨ ɢ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɵɯ ɭɝɥɨɜ

ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɟɫɬɚ ɬɨɱɟɤ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɧɵɯ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A ɢ ɨɬ ɨɫɢ Ox.

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɤɚɠɞɚɹ ɬɨɱɤɚ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜɞɜɨɟ ɞɚɥɶɲɟ ɨɬ ɨɫɢ Ox ɱɟɦ ɨɬ ɨɫɢ Oy.

ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɟɫɬɚ ɬɨɱɟɤ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɧɵɯ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A ɢ ɨɬ ɨɫɢ Oy.

ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɟɫɬɚ ɬɨɱɟɤ ɪɚɜɧɨɭɞɚɥɟɧɧɵɯ ɨɬ ɬɨɱɤɢ A ɢ ɨɬ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ

Ɂɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɢɧɢɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜɞɜɨɟ ɛɥɢɠɟ ɤ ɬɨɱɤɟ

A ɱɟɦ ɤ ɬɨɱɤɟ B

ɇɚɩɢɫɚɬɶɭɪɚɜɧɟɧɢɟɤɪɢɜɨɣ ɪɚɡɧɨɫɬɶɤɜɚɞɪɚɬɨɜɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣɨɬ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɨ ɬɨɱɟɤ A ɢ B ɪɚɜɧɚ

ɇɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɪɢɜɨɣ ɫɭɦɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɣ ɨɬ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɢ ɤɨɬɨɪɨɣ ɞɨ ɬɨɱɟɤ A ɢ B ɪɚɜɧɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ x2 y2 x y ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɨɤɪɭɠ ɧɨɫɬɶ

Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ x2 y2 x ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶȾɨɤɚɡɚɬɶ ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ x2 y2 y ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶɁɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ M ɩɪɨɯɨ

ɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ AɁɚɩɢɫɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɨɣ ɬɨɱɤɢ A ɢ B

ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɧɰɚɦɢ ɞɢɚɦɟɬɪɚɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1)x2 xy 2) x2 xy

19.ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1)x2 y2 2) xy

12

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1)y2 2) y2 y

21.ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) x2 y xy y 2) y x .

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) x y ; 2) y x

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) x y 2) y x 1.

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) y x 2 ; 2) x2 y2 16.

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) x2 y2 2) x 2 y 2

ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɥɢɧɢɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

1) x 2 y2 2) x2 y 2

Ⱦɚɧɵ ɥɢɧɢɢ

1) x y 2) x y 3) x2 y2

4) x2 y2 x 5) x2 y2 x y

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɤɚɤɢɟ ɢɡ ɧɢɯ ɩɪɨɯɨɞɹɬ ɱɟɪɟɡ ɧɚɱɚɥɨ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬȾɚɧɵ ɥɢɧɢɢ

1) x2 y2 49; 2) (x 3)2 ( y 4)2 25;

3) (x 3)2 ( y 2)2 49; 4) (x 5)2 ( y 4)2 9.

ɇɚɣɬɢ ɬɨɱɤɢ ɢɯ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɫ ɨɫɶɸ Ox.

29.Ⱦɚɧɵ ɥɢɧɢɢ

1)x2 y2 x y 2) x2 y2 x y

3) x2 y2 x y

ɇɚɣɬɢ ɬɨɱɤɢ ɢɯ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɫ ɨɫɶɸ Oy.ɇɚɣɬɢ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɥɢɧɢɣ

1) x2 y2 x y

2) x2 y2 x y x2 y2

ǶȗȦȓȇȦ Ȕȇ ȖȒȕȘȑȕȘșȏ

ɉɭɫɬɶ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɡɚɞɚɧɚ ɞɟɤɚɪɬɨɜɚ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɢ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɹɦɚɹ l .

13

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɭɝɥɨɦ ɧɚɤɥɨɧɚ ɩɪɹɦɨɣ l ɤ ɨɫɢ Ox ɭɝɨɥ B ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɣ ɧɭɠɧɨ ɩɨɜɟɪɧɭɬɶ ɷɬɭ ɨɫɶ ɞɨ ɫɨɜɩɚɞɟɧɢɹ ɫ ɩɪɹɦɨɣ l Ɍɚɧ ɝɟɧɫ ɷɬɨɝɨ ɭɝɥɚ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɩɪɹɦɨɣ k tgB.

ɍɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɞɥɹ ɥɸɛɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɧɟ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ Oy.

ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɩɪɹɦɨɣ l ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ k ɢ ɬɨɱɤɚ ɟɟ ɩɟɪɟɫɟɱɟ ɧɢɹ ɫ ɨɫɶɸ Oy B b) ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ

ǷȏȘ

ɉɭɫɬɶ M x y – ɬɨɱɤɚ ɩɪɹɦɨɣ l Ɉɩɭɫɬɢɦ ɢɡ ɬɨɱɤɢ M ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪ (MP) ɧɚ ɨɫɶ Ox ɚ ɢɡ ɬɨɱɤɢ B – ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪ BS ɧɚ ɩɪɹɦɭɸ (MP) ɫɦ ɪɢɫ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɣ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤ BSM ɍɝɨɥ ·MBS B

ɫɥɟɞɨɜɚ

ɬɟɥɶɧɨ

 

 

SM

 

 

tgB.

(1.3.1)

 

 

 

BS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜ ɞɥɢɧɵ ɤɚɬɟɬɨɜ

 

BS

 

x

 

SM

 

y b ɢ tgB k ɩɨɥɭ

 

 

 

 

ɱɚɟɦ

 

 

 

y b

k

 

 

 

 

 

 

 

x

 

ɢɥɢ

 

 

y kx b.

(1.3.2)

ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧ ɬɨɦ

ɉɭɫɬɶ ɩɪɹɦɚɹ l ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɚ ɨɫɢ Oy Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɜ ɜɢɞɟ

x a.

(1.3.3)

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɥɸɛɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢ ɫɚɧɨ ɥɢɛɨ ɜ ɜɢɞɟ ɥɢɛɨ ɜ ɜɢɞɟ Ɉɛɚ ɷɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɭɪɚɜ ɧɟɧɢɹɦɢ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɚɹ – ɷɬɨ ɤɪɢɜɚɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨ ɪɹɞɤɚ

14

ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ M1 M2 ɉɭɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɟɤ M1 M2 ɞɨɥɠɧɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɢɫɤɨɦɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ

£¦5 k ¸1 b

¦

¤

¦¦¥ 1 k ¸( 2) b

Ɋɟɲɚɹ ɷɬɭ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɚɯɨɞɢɦ k b ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

y 2x 3.

ȼɵɲɟ ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɱɬɨ ɥɸɛɭɸ ɩɪɹɦɭɸ ɦɨɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɟɪ ɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɱɬɨ ɥɸɛɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɞɜɭɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɟɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɛɳɢɣ ɜɢɞ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ

Ax By C

(1.3.4)

Ɂɞɟɫɶ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ A ɢB ɧɟɦɨɝɭɬ ɪɚɜɧɹɬɶɫɹ ɧɭɥɸ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɉɭɫɬɶ B v ɬɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ

y BA x CB .

Ɇɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ ɡɞɟɫɶ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ k BA ɫɜɨɛɨɞɧɵɣ ɱɥɟɧ b CB . Ɍ ɟ ɩɪɢ B v ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ

ɩɟɪɟɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɉɭɫɬɶ B ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

Ax C

ɢɥɢ

x CA.

Ɇɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɢɞɚ ɝɞɟ a CA. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɪɢ

B ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɟɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ Oy. ȼɢɞɢɦ ɱɬɨ ɥɸɛɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɡɚɞɚɟɬ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɩɪɹɦɭɸ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɳɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɩɪɹɦɨɣ. ɉɭɫɬɶ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ k ɢɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɬɨɱɤɚ M x y ɩɪɹ

ɦɨɣ l Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɜɢɞɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢ ɰɢɟɧɬɨɦ ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɫɜɨɛɨɞɧɵɣ ɱɥɟɧ b ɩɨɤɚ ɧɟɢɡɜɟɫɬɟɧ

y kx b.

(1.3.2)

15

Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ M ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɷɬɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ

 

y kx b.

(1.3.5)

ȼɵɱɢɬɚɹ ɢɡ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ ɩɨɥɭɱɚɟɦ

 

y y k(x x ).

(1.3.6)

ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɟɫɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɨ ɬɨɱɤɟ ɢ ɭɝɥɨɜɨɦɭ ɤɨɷɮɮɢɰɢ

ɟɧɬɭ

 

ɉɭɫɬɶ ɬɟɩɟɪɶ ɢɡɜɟɫɬɧɨ ɞɜɟ ɬɨɱɤɢ ɩɪɹɦɨɣ l: M x y

ɢ M1 x1 y1

Ɍ ɤ M x y – ɬɨɱɤɚ ɩɪɹɦɨɣ ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ

ɜ ɜɢɞɟ ɫ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɵɦ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ k Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ M1 x1 y1 ɞɨɥɠɧɵ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɷɬɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ

y y k(x x ).

 

Ɋɚɡɞɟɥɢɜ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɧɚ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɨ ɞɜɭɦ

ɬɨɱɤɚɦ

 

 

 

 

 

x x

 

y y

 

 

 

 

 

.

 

 

x x

y y

 

 

 

 

 

 

ɉɪɢɦɟɪ ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ M1 M2 ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɟɤ ɜ ɮɨɪɦɭɥɭ ɩɨɥɭ

ɱɚɟɦ

 

 

 

 

x 2

 

y 2

.

1 2

 

1 2

 

ɍɩɪɨɳɚɹ ɷɬɨ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɧɚɯɨɞɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ y x.

ɉɭɫɬɶ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɡɚɞɚɧɵ ɞɜɟ ɩɪɹɦɵɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɜɨɩɪɨɫ ɨɛ ɢɯ ɜɡɚɢɦ ɧɨɦ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɢ

Ⱥ ɉɭɫɬɶ ɞɜɟ ɩɪɹɦɵɟ ɡɚɞɚɧɵ ɨɛɳɢɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

l1 A1x B1y C1

(1.3.9 ɚ

l2 A2x B2 y C2

(1.3.9 ɛ

ȿɫɥɢ ɞɜɟ ɩɪɹɦɵɟ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɬɫɹ ɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɩɪɢ ɧɚɞɥɟɠɚɳɚɹ ɨɛɟɢɦ ɩɪɹɦɵɦ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɬ ɟ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɞɨɥɠɧɚ ɢɦɟɬɶ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɉɭɫɬɶ

% A1B2 A2B1 v

 

ɬɨɝɞɚ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ

 

16

¦

B C B C

 

 

£

1 2

2 1

 

 

¦

 

 

¦x

 

 

 

 

A B

A B

 

 

¦

 

 

¦

1 2

2 1

.

(1.3.11)

¤

A2C1 A1C2

¦

 

 

¦

 

 

 

 

¦y

 

 

 

 

 

 

 

 

¦

A1B2 A2B1

 

 

¥¦

 

 

Ɍɨɱɤɚ M x y ɫ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ – ɬɨɱɤɚ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɩɪɹɦɵɯ l1 l2 ɉɭɫɬɶ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɟ ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ

% A1B2 A2B1

ȿɫɥɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɚ ɛ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɵ

A1 B1 C1

A2 B2 C2

ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɢ ɩɪɹɦɵɟ l1 ɢ l2 ɫɨɜ ɩɚɞɚɸɬ

ȿɫɥɢ % ɧɨ

A1

 

B1

v

C1

 

 

A

 

B

 

C

2

 

 

2

2

 

 

 

ɩɪɹɦɵɟ l1 ɢ l2 ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ ɉɪɢɦɟɪ1. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɡɚɢɦɧɨɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɩɪɹɦɵɯ

l1 x y l2 x y

ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ % ¸ ¸ v ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɵɟ ɩɟɪɟɫɟɤɚ ɸɬɫɹ

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɡɚɢɦɧɨɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɩɪɹɦɵɯ

l1 x y l2 x y

ȼɵɱɢɫɥɹɟɦ % ¸ ¸ Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɧɟ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɵ

 

2

 

 

 

1

v

4.

 

6

3

 

 

 

1

 

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɪɹɦɵɟ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ

 

 

Ȼ ɉɭɫɬɶ ɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɟɫɹ ɩɪɹɦɵɟ ɡɚɞɚɧɵ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

 

l1 :

y k1x b1;

(1.3.12)

l2 :

 

y k2x b2.

 

 

ɇɚɣɞɟɦ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɩɪɹɦɵɦɢ ɉɭɫɬɶ ɩɪɹɦɵɟ l1 ɢ l2 ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɫ ɨɫɶɸ Ox ɭɝɥɵ K1 ɢ K2 ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ

17

Ɍɨɝɞɚ ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɩɪɹɦɵɦɢ ɪɚɜɟɧ K K2 K1 ɢ

tgK tg(K2 K1) tgK2 tgK1 . 1 tgK1tgK2

ǷȏȘ

ȼɫɩɨɦɧɢɦ ɱɬɨ tgK1 k1 tgK2 k2 ɩɨɥɭɱɚɟɦ

 

tgK

k2 k1

.

(1.3.13)

 

1 k k

2

 

 

1

 

 

ɉɭɫɬɶ ɩɪɹɦɵɟ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɵ ɬɨɝɞɚ ɬɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ ɬ ɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɫɬɢ ɩɪɹɦɵɯ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ

 

k2 k1.

(1.3.14)

ɉɭɫɬɶ ɩɪɹɦɵɟ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɵ ɬɨɝɞɚ ɬɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɦɟɠɞɭ ɧɢɦɢ ɧɟ ɫɭ

ɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ

 

 

 

 

 

k1k2

 

 

ɢɥɢ

 

k2

1

.

 

(1.3.15)

 

 

 

k1

 

ɉɪɢɦɟɪ1. ɇɚɣɞɟɦ ɭɝɨɥ K ɦɟɠɞɭ ɩɪɹɦɵɦɢ

l1 : y 2x 1;

 

l2 :

y 3x 5.

ɍɝɥɨɜɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ k1 k2 ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ

tgK

3 2

 

1.

1 ( 3)¸2

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ K Q

18

ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ M ɢ ɩɟɪɩɟɧ ɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣ ɤ ɩɪɹɦɨɣ x y Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɜ ɜɢɞɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ

y 13 x 23.

1

ɍɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ k1 3. ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ

ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨɣɩɪɹɦɨɣ k2 3. ɉɨɮɨɪɦɭɥɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɫ ɭɝɥɨɜɵɦ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ k2 ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɣ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ M :

y 6 3(x 2)

ɢɥɢ

y x

ɉɪɢɦɟɪɁɚɞɚɧɵ ɜɟɪɲɢɧɵ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABC: A B

C

ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɵɯ ɧɚ ɤɨɬɨɪɵɯ ɥɟɠɚɬ ɫɬɨɪɨɧɵ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɧɚɯɨɞɢɦ

(AB):

x 1

 

 

y 1

 

 

 

x 1

 

 

y 1

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(AC):

x

 

 

 

y

x

 

y

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(BC):

x 1

 

y 1

 

 

 

x 1

 

y 1

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɟɞɢɚɧɵ (BM) ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ Ɍɨɱɤɚ M – ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɫɬɨ ɪɨɧɵ >AC@ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɟɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ

M 2 2 2

ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ ɧɚɯɨɞɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ

(BM):

x 1

 

y 1

2x 2

y 1

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɵɫɨɬɵ (AL) ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ɂɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɩɪɹɦɨɣ (BC)

ɧɚɯɨɞɢɦ ɟɟ ɭɝɥɨɜɨɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ kBC

4. Ɉɬɫɸɞɚ

kAL 3 . ɉɨ ɮɨɪ

 

 

 

 

 

3

 

4

ɦɭɥɟ ɡɚɩɢɫɵɜɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɵɫɨɬɵ ɩɨ ɬɨɱɤɟ ɢ ɭɝɥɨɜɨɦɭ ɤɨ ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɭ

19

(AL): y

3

x x y

 

4

 

ɇɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɵ (CN) Ⱦɥɢɧɵ ɫɬɨɪɨɧ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ AC BC Ȼɢɫɫɟɤɬɪɢɫɚ ɞɟɥɢɬ ɫɬɨɪɨɧɭ >AB@ ɜ ɨɬɧɨɲɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɦ ɨɬ

ɧɨɲɟɧɢɸ ɞɜɭɯ ɞɪɭɝɢɯ ɫɬɨɪɨɧ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AN

 

 

 

39.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɚɦ ɧɚɯɨɞɢɦ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɬɨɱɤɢ N:

 

 

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39

 

 

 

x

N

 

 

 

35

 

 

 

y

N

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

39

 

 

 

 

 

39

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɛɢɫɫɟɤɬɪɢɫɵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(CN):

 

 

x 22

 

 

 

y 29

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ɍɩɪɨɳɚɹ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɩɨɥɭɱɚɟɦ

(CN): x y

ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɹɦɚɹ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ l Ax By C ɢ ɬɨɱɤɚ M x y Ɋɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɨɱɤɢ ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

d

 

Ax By C

.

 

(1.3.16)

 

 

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɜ ɥɸɛɨɦ ɢɡ ɭɱɟɛɧɢɤɨɜ > @

 

ɉɪɢɦɟɪ ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɟ ɨɬ ɬɨɱɤɢ M

ɞɨ ɩɪɹɦɨɣ

x y ɉɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

 

 

 

d

 

 

1¸1 2¸3 1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

12 22

 

 

 

 

 

 

ɉɪɢɦɟɪɁɚɞɚɧɵ ɞɜɟ ɩɪɨɬɢɜɨɩɨɥɨɠɧɵɟ ɜɟɪɲɢɧɵ ɤɜɚɞɪɚɬɚ Ⱥ( ɢ ɋ ɇɚɣɞɟɦ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɜɟɪɲɢɧɵ ɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɬɨɪɨɧ ɤɜɚɞɪɚɬɚ

ɉɨ ɬɨɱɤɚɦ A ɢ ɋ ɧɚɣɞɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɢɚɝɨɧɚɥɢ ɤɜɚɞɪɚɬɚ

(AC):

x 1

 

y 2

y

x

13.

 

 

 

 

 

 

 

20

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