Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ и синтез дискретных систем. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Если для матрицы A существует матрица A−1 , то для выражения (3.30)

Td	Td
Г = ∫Ф(l )Bdl = ∫e Al Bdl = A−1[eATd − I]B,		(3.32)
0	0

где I – единичная матрица.

Помимо рассмотренных воздействий, на объект могут поступать сигналы с различными типами модуляции (наиболее распространённая – ши- ротно-импульсная модуляция (ШИМ)), для которых при переходе к пространству состояния в дискретном времени требуется найти матрицу Г путём решения интеграла (3.29) при заданном типе входного воздействия и известном периоде дискретизации.

3.1. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА

Основной сложностью при получении модели непрерывной системы в пространстве состояний дискретного времени является вычисление матричной экспоненты и её интегрирование. Существует множество способов её нахождения, из которых далее рассматриваются наиболее распространённые на практике.

Наиболее простейший метод заключается в разложении матричной экспоненты в ряд

	∞		( AT )i		,
Ф = ∑			d

	i=0		i!			(3.33)
	∞			i

Г = A−1	∑	( ATd )			− I B.

			i!
	i =0

Вычисленное значение будет тем точнее, чем больше i , а при i = 1

Ф = I + ATd ,

(3.34)

что по сути представляет собой простейший метод решения дифференциальных уравнений по Эйлеру.

Более точно матричная экспонента может быть вычислена с использованием преобразования Лапласа, теоремы Гамильтона-Кэли и др. Вычисление матричной экспоненты с помощью преобразования Лапласа заключается в нахождении её образа

L [e ATd ] = (sI − A)−1.

(3.35)

Вычисляя затем обратное преобразование элементов полученной матрицы, находят искомую матричную экспоненту.

Теорема Гамильтона-Кэли наиболее часто используются для практических случаев, которая заключается в том, что любую функцию квадратной матрицы

f (A) = d0 I + d1 A + K + dn −1 An −1

можно вычислить через характеристический полином f (λi ) = d0 + d1λi + K+ dn−1λin−1,

где λi , i = 1,n – корни характеристического уравнения матрицы A

det(λI − A) = 0.

Пример. Вычислить матричную экспоненту для

0	1	0

A = 0	0	1	.
0	0	− 0,1

1. Используем разложение в степенной ряд для i = 2 .

1	0	0		0		T	0			0	0,5T	2
									0
			+			d		+			d		2
							d					d
	1	0			0	0				0				=
Ф = 0							T		0		− 0,05T
0	0	1		0		0	− 0,1T		0	0	0,005T		2
							d					d

1	T	0,5T 2
	d	d
		Td − 0,05Td	2
= 0	1	Td − 0,05Td	2	.
0	0	1− 0,1T + 0,005T		2
		d	d

(3.36)

(3.37)

2. С использованием преобразования Лапласа находится образ матричной экспоненты:

		s	−1	0	−1
AT	−1			−1
L [e d ]= (sI − A)		= 0 s		−1		=
		0	0	s + 0,1

		s(s + 0,1)		(s + 0,1)
1				s(s + 0,1)
=			0
	s2 (s + 0,1)
			0	0

		1/s		1/s2
1
1
s			0	1/s
s		=	0	1/s
s	2
s			0	0
			0	0

1 s2 (s + 0,1) 1

s(s + 0,1)		.
1
1

	s + 0,1
	s + 0,1

Вычисляя обратное преобразование элементов полученной матрицы, находим:

1	T		-10 × (10 - T			-10e−0,1Td )
	d				d
				10(1- e−0,1Td )
Ф = 0	1						.
	0			e	−0,1Td
0
3. С использованием теоремы Гамильтона-Кэли находятся корни ха-
рактеристического уравнения
det(lI - A) =		l	-1	0		= l2 (l + 0,1) = 0.

		0	l	-1
		0	0	l + 0,1

Откуда l1 = l2 = 0; l3 = -0,1 .

Для матрицы третьего порядка

		eATd = d		I + d A + d		2	A2.
			0	1		2
Коэффициенты d0 , d1, d2			определяются из уравнения
	e0Td		1	0	0		d
	e	0T		0	0			0	,
	e	d	= 1	0	0		d1		,
e−0,1Td			1	- 0,1	0,01 d
								2

откуда сразу находится d0 = 1 . Так как коэффициент d1																этого уравнения
может				быть			произвольным,					то	принимается			d1 = Td .	Тогда
d	2	= 100(e−0,1Td				+ 0,1T			-1) . Окончательно получим
	2							d
				1 0		0	0		1	0		0	0	1	(e−0,1Td + 0,1T		-1)=
eATd =				0	1	0	+ 0		0	1 T		+ 0	0	- 0,1 100 ×	(e−0,1Td + 0,1T		-1)=
											d					d
				0	0	1	0		0	- 0,1		0	0	0,01

							−0,1Td
		1	Td		100 × (e		−0,1Td		+ 0,1Td -1)
		1	Td		100 × (e				+ 0,1Td -1)
						10(1- e−0,1Td )
= 0				1		10(1- e−0,1Td )					.
				0			e	−0,1Td
		0		0			e

3.2. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ

Применяя линейные преобразования вида

xt = Tx,

(3.38)

можно получать различные формы представления моделей линейных объектов управления в пространстве состояний. Такие формы стандартизируют представление объекта в пространстве состояний, что позволяет описать их меньшим числом параметров, а также облегчает обнаружение некоторых свойств объекта или системы. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые разностные уравнения (3.38) или часть фазовых координат не участвует в формировании вектора выходного сигнала y[k]. В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором – полностью наблюдаемой.

Подставляя выражение x = T −1xt в (3.18), получим

		T	−1 &			−1		xt + Bu;
		T		xt = AT				xt + Bu;
								(3.39)
			y = CT −1x + Du.
							t
Умножая первое уравнение (3.39) слева на T:
		&		= TAT	−1		xt + TBu ,
		&
		xt
приходим к стандартной записи в форме (3.18)
				&			+ Btu ;
				xt = At xt			+ Btu ;
								(3.40)
				y = Ct x + Du ,
где A = TAT −1 ,	B = TB ,	C	t	= CT −1 . Аналогичные результаты можно по-
t	t		t

лучить и для ДС в виде (3.30), для которой Фt = TФT −1 и Гt = T Г . Таким образом, можно заключить, что вид матриц A, B, C, Г, Ф зависит от ис-

пользуемого координатного базиса и соответствующим выбором T можно приводить матрицы пространства состояний к единому виду. К тому же канонической форме матрицы в пространстве состояний можно сопоставить определённую структуру системы в соотношении вход-выход. Наиболее часто применяемые канонические формы представлены в табл. 3.1, а соответствующие им структурные схемы изображены на рис. 3.6.

3.1. Канонические формы описания в пространстве состояний

Название			At			Bt	Ct	Примечание
Диагональная каноническаяформа								Все собственные
	λ1			0	b1, d		c1, d	значения λ1, λ2, …, λn
	λ1		0 L	0	b1, d		c1, d	простые и различные
			λ2 L
		0	λ2 L	0	b2, d		c2, d
	M		M O M			M	M
		0 0 L λn			bn, d		cn, d

)

CT = [c

2, s

n, s

]

Вертикальная

сопровождающая (формаканоническая

− an

1, s

0 0

CT B

= [g(1) g(2)Lg(n)]

0 0 L − an −1

1 0 L − an − 2

M O L

0 0 1

− a

An −1B

Каноническаяформа

L 0

управляемости (нормальнаяформа)

bn −1

O M

n − 2

− a

n−1

− a

n −2

L − a

)

= [b

]

Горизонтальная

сопровождающая (формаканоническая

1, B

2, B

n, B

CT B

= [g(1) g(2)Lg(n)]

L 0

CT AB

O M

− a

n−1

− a

n −2

L − a

An −1B

Каноническаяформа наблюдаемости

0 0 L − an

0 0 L − a

n −1

1 0 L − a

n −1

n − 2

M O L

0 0 1

− a

Диагональная		каноническая форма
Вертикальная	сопровождающая		каноническаяформа)
			(
Каноническая форма	управляемости		(нормальная форма)
Горизонтальная	сопровождающая		каноническаяформа)
			(
Каноническая форма		наблюдаемости

u(k)

bn ,d	b	b
	n−1,d	1,d

xn(k+1)	xn(k)	xn−1(k)
	z−1	z−1
	λn	λn−1
	cn,d	c
		n−1,d

z−1 x1(k)

λ1

c1,d

y(k)

y(k )

				c1,s				c2,s		cn,s
u(k)	z−1	x1(k)			z−1	x2(k)			z−1	xn (k)
u(k)	z−1				z−1				z−1
an				an−1					a1
											y(k )
				b1				b1		bn
u(k)	z−1 xn (k)				z−1 xn−1(k)				z−1 x1 (k )
				a1				a		a
								2		n
u(k)
bn,B					b				b
					n−1,B				1,B
		z−1	xn(k)			z−1		xn−1(k)	z−1	x1(k)	y(k)
		z−1				z−1			z−1		y(k)
				a1				a		a
								2		n
u(k)
bn				bn−1					b1
		z−1		x1(k)	z−1		x2(k)		x (k)		y(k )
		z−1			z−1				z−1	n	y(k )
an				an−1					a1

Рис. 3.6. Структурные схемы, соответствующие каноническим формам описания в пространстве состояний

3.3.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ МОДЕЛЕЙ

ВПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Рассмотрим поведение модели ДС в пространстве состояний при отсутствии входного воздействия (автономная система) x[k ] = 0, k ³ 0 , тогда в соответствии с (3.14) и (3.15)

z[k +1] = Ak z[0] = Az[k],

y[k ] = CAk z[0] = Cz[k].

Если для z[0] = z* при любых k ³ 0 имеет место тождество z[k ]= z* , то значение z = z* называют равновесным состоянием автономной ДС и будет выполняться z[k +1]= z[k ]= z* . Тогда

z* = Az*,

		(I - A)z* = 0.	(3.41)
	При условии,	что det (I - A) ¹ 0 , следует, что единственным решени-
ем	(3.41) будет начало координат n-мерного		пространства состояний,
т.е.	z* = 0 . А при	det(I - A) = 0 существуют нетривиальные множества

равновесных состояний, удовлетворяющие условию (3.41). В [10] показано, что ДС с равновесным состоянием асимптотически устойчива, и, следовательно, z[k] ® 0 при k ® ¥ , если выполняется условие

li < 1, i = 1, n,

где li – корни (полюсы) характеристического уравнения det(Il - A) = 0 .

		li
Для случая, когда		li	= 0, i = 1, n , матрица A является нильпотент-
ной, и, следовательно,	найдется такое число m [0, n] , что Am = 0 . Для

такой системы всегда выполнятся

z[n] = An z[0] = 0,

т.е. имеет место следующее положение.

Переходной процесс ДС n-го порядка с нулевыми значениями всех полюсов pi сходится из произвольного начального состояния z[0] к по-

ложению равновесия z* = 0 не более чем за n шагов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]