Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ и синтез дискретных систем. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

10
8
6
4
2
0
-2	0	5	10	15	20	25	30
-4
-6
-8
-10
				Re

Рис. 4.2. Годограф устойчивой системы

устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой, если годограф вектора W (z) , соответствующий дискретной передаточной функции разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до 2π/Td , не охватывает точку на плоскости z с координатами (–1, j0).

4.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Проблема качества в ДС аналогична проблеме качества в непрерывных системах. Под качеством управления в ДС понимается форма переходного процесса, которая при качественном управлении должна отвечать заданным функциям или функционалам. Формирование критериев качества производится на подготовительной стадии проектирования путём сочетания формализованных методов и творческой деятельности проектировщика.

Критерии качества можно непосредственно задать в виде динамических характеристик выходных координат системы при типовых воздействиях или с помощью обобщённого функционала, определяемого всеми переменными системы управления. В первом случае показатели качества делятся на прямые и косвенные. Прямыми показателями качества называют числовые показатели, которые определяют по переходной характеристике. Косвенные показатели качества определяют свойства дискретной системы управления по отношению к характеристикам самой системы или формы переходного процесса, которые непосредственно не видны на графике, а получаются в результате вычислений.

4.4.ПРЯМЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Вкачестве примера рассмотрим график переходного процесса (рис. 4.3) при подаче на объект единичного воздействия 1[k] . Если имеют-

ся дискретные отсчёты переходной характеристики, то можно её построить,

соединяя плавной кривой значения отсчётов. Переходную характеристику можно рассчитать по модели дискретной системы. Так, например, если известна передаточная характеристика W (z) и учитывая, что входной сигнал

X (z) = Z [1[k]] =	z	, можно найти z-образ выходного процесса
X (z) = Z [1[k]] =	z −1	, можно найти z-образ выходного процесса
		Y (z) = W (z)	z	.	(4.12)
		Y (z) = W (z)		.	(4.12)
			z −1

Проводя обратное z-преобразование по одному из методов раздела 2 находится дискретный переходной процесс y[k ] .

На основании графика на рис. 4.3 рассмотрим основные показатели качества управления.

Время регулирования tр определяет минимальное время, по истече-

нии которого отклонение переходной характеристики от установившегося значения y(∞) не превышает заданной величины . Выбор значения определяется требованиями к точности системы управления и обычно принимают = (0,02...0,1)y(∞) .

Перерегулирование σ характеризует максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения, выраженное в процентах к установившемуся значению:

σ =	ym − y(∞)
			100%.	(4.13)
	y(∞)

Время нарастания tн показывает,		как быстро выходная		величина

достигает значения, равного 90% установившейся величины y(∞) .

y(t)

y(∞)

0 1 2

k k+1

Рис. 4.3. Переходная характеристика

4.5. КОСВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

Для оценки качества ДС используются следующие косвенные показатели: корневые, частотные и суммарные (аналог интегральных для непрерывных систем).

Корневым показателем качества является степень устойчивости h* , которая определяется следующим образом:

		h = min(- ln	p		),		(4.14)
		h = min(- ln	p		),		(4.14)
		i	i
		i
где	pi –	корни характеристического уравнения.				Степень устойчивости
является косвенной мерой быстродействия системы.
	Суммарная квадратичная ошибка определяется выражением
		∞			∞
		J * = ∑(e[i] - e∞ )2 =		∑eп[i]2 ,			(4.15)
		i =0		i=0
где	eп[i]	– переходная составляющая ошибки;				e[i] –	текущая ошибка

на i -м шаге; e∞ – установившаяся ошибка.

Частотные показатели определяют запас устойчивости по амплитуде

изапас устойчивости по фазе.

4.6.ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Вустановившемся режиме считается, что переходной процесс закончен, а выходной сигнал системы более не изменяется с течением времени

при входном сигнале x(t ) = B ×1(t) , z-образ которого	X (z) = B	z		. При
		z -1

этом наиболее полной характеристикой качества является установившаяся ошибка e∞ . Если дискретные значения функции в установившемся режи-

ме существуют, то они могут быть найдены путём следующего предельного перехода


e(¥) = e	= lim	z -1	E(z) = lim	z -1	W (z)B	z	= BW (1). (4.16)
e(¥) = e	= lim		E(z) = lim		W (z)B		= BW (1). (4.16)
∞	z →1 z		z→1 z		e	z -1		e
	z →1 z		z→1 z			z -1

Если ошибка, определяемая (4.16), не равна нулю, то ДС называют статической, в противном случае система относится к классу астатических. Из выражения (4.16) следует, что передаточная функция ошибки We (z) равна нулю в точке z = 1 .

4.7. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК

Проанализируем, как влияет ошибка ДС при воздействии на неё некоторого произвольного входного сигнала, который относительно медленно изменяется с течением времени. В этом случае ошибка будет являться динамической величиной, которую характеризуют коэффициенты ошибок. Рассмотрим математическую запись ошибки в виде

E(z) = We (z)X (z),

или, переходя к оригиналам, по теореме о свёртке

k	∞	[i]x[k − i].
e[k ]= ∑ we	[k − i]x[i] = ∑we	[i]x[k − i].	(4.17)
i=−∞	i=0

Входному дискретному процессу x[i] соответствует непрерывный процесс x(t), который, в общем случае, имеет кусочно-непрерывные производные. Разложим функцию x(t – τ) в ряд Тейлора в окрестности точки t:

∞

x(t − τ) = ∑(−1)l

l =0

x(l )(t)	τl , x(l )(t ) =	d l x(t)	.	(4.18)
l!
		dtl

Произведём дискретизацию по

времени,

приняв t = kTd ,

τ = iTd ,

Td = 1 , получим

∞

(l )

[k]

x[k − i]= ∑(−1)l

il .

(4.19)

l =0

Подставляем (4.19) в (4.17):

∞

(l )

[k]

e[k]= ∑we [i]∑(−1)l

il .

i=0

l =0

Поменяв порядок суммировании, получим

∞

w [i]il

∞

e[k]= ∑x(l )[k](−1)l

∑

= ∑x(l )[k]Cl ,

(4.20)

l =0

i=0

l =0

где

∞ w

[i]il

Cl = (−1)

∑

, l = 0, 1, 2, ... .

(4.21)

i =0

Коэффициенты Cl называют коэффициентами ошибки, они характеризуют качество системы в установившемся режиме. Так, коэффициент C0 называют коэффициентом позиционной ошибки, C1 – коэффициентом скоростной ошибки, а C2 – коэффициентом ошибки по ускорению.

Вычисление коэффициентов ошибок проще всего проводить не по импульсной характеристике ошибки we[i] , а по её передаточной функции

We (z) , используя соотношения

C =	1	W		(z)	, l = 0, 1, 2, ... .				(4.22)
	1

l	l!		0l		z =1
l			0l		z =1

W0l (z) определяется по рекуррентной формуле
W00 (z) = We (z), W0l (z) = Td z						dW0,l −1	(z)
								, l = 0, 1, 2, ... .	(4.23)
						dz		, l = 0, 1, 2, ... .	(4.23)
						dz

Из формулы (4.22) следует, что коэффициент позиционной ошибки C0 = We (1) . Остальные коэффициенты ошибок будут находиться диффе-

ренцированием передаточной функции ошибки We (z) .

Практическая значимость коэффициентов ошибки состоит в анализе статической ошибки системы при постоянных внешних воздействиях. Если статическая ошибка отлична от нуля, то система называется статической, в противном случае – астатической.

Система является астатической и обладает астатизмом r-го порядка, если первые r коэффициентов равны нулю, а (r +1)-й коэффициент ошибки отличен от нуля:

C0 = C1 = ... = Cr −1 = 0, Cr ¹ 0.

В соответствии с формулами (4.22), (4.23) следует, что первые r коэффициентов будут равны нулю, а (r +1)-й коэффициент ошибки не равен нулю при условии

W00 (1) = We (1) = 0,
W01(1) =			dW00 (1)			= 0, K,
W01(1) =				dz		= 0, K,
				dz
W0r	(1) =			dW0(r −1)		(1)	= 0,
W0r	(1) =				dz		= 0,
					dz
W0(r +1)		(1) =			dW0r (1)		¹ 0.	(4.24)
W0(r +1)		(1) =			dz		¹ 0.	(4.24)
					dz

Выразим рекуррентные производные (4.23) через передаточную функцию ошибки We (z) :

W01(z) = Tz dWe (z) , dz

W02 (z) = Tz

dW (z)

dW (z )

d 2W (z)

+ Tz

= Tz T

dW (z)

(z)

= T

2 z

+ z2

W (z) = Tz

dW (z)

d 2W (z)

3W (z)

= T

3 z

+ 3z2

+ z3

, (4.25)

…

(z )

dW (z )

d rW (z)

= T r z

+ ... + zr

Откуда видно, что выражение (4.24) возможно, если

z = 1 является

нулем кратности r передаточной функции We (z) :

We (z) = (z -1)r We0 (z ), We

0 (1) ¹ 0.

(4.26)

Продифференцируем (4.26) r

раз:

dWe (z)

= r(z -1)r −1W

0 (z)+ (z -1)r

dWe0 (z)

d 2We (z)

= r(r -1)(z -1)r −2W

0 (z)+ 2r(z -1)r −1

dWe0 (z)

+ (z -1)r

d 2We0 (z)

dz2

…

d kWe (z)

= k!(z -1)r −k W

0 (z )+ R(z),

(4.27)

dzk

…

d rWe

(z)

(z)+ R(z),

dzr

= r!We

где R(z)

= 0.

(4.28)

z =1

Подставим выражение (4.27) в (4.22) с учётом формул (4.25) и (4.27):

(z)

T k k!(z -1)r −k W

0 (z)

(4.29)

z =1

Откуда с учётом (4.26) окончательно получим формулу для расчёта первых r + 1 коэффициентов ошибки астатической системы с астатизмом r-го порядка

e(t )

y )

Задзад

Wрег((zz))

W (z

(t)

Рег

WОO(z)

(

WОСOС(z)

Рис. 4.4. Структурная схема системы управления

Ck = T k (z -1)r −k

W (z)

T kW (z)

, k = 0, 1, ..., r. (4.30)

(z -1)r

z =1

(z -1)k

z =1

Передаточная функция ошибки имеет вид

We (z) =

(4.31)

+W (z)

где W (z) – передаточная функция разомкнутой системы. Тогда с учётом

(4.26) передаточная функция W (z)		должна иметь вид
W (z) =	W 0 (z)	, W 0 (1) ¹ 0,W 0 (1) < ¥.	(4.32)
	(z -1)r

Пусть дискретная система состоит из регулятора, объекта и цепи обратной связи и показана на рис. 4.4. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W (z) = Wрег (z)WO (z)WОС(z).

Система будет астатической, если Wрег (z) , WО(z) или WОС(z) вклю-

чают множитель	1	, который есть z-преобразование от интегрирующе-

	z -1

го звена 1 . Таким образом, система будет астатической, если передаточ- p

ная функция разомкнутой дискретной системы содержит множитель	1
	z −1

или непрерывная часть содержит интегрирующее звено. Порядок астатизма системы равняется сумме общего количества интегрирующих звеньев в непрерывной части и показателю степени выражения (z −1) в

знаменателе дискретных звеньев.

5. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Синтез ДС сводится к выбору управляющего устройства, которое образует с объектом управления некую структуру, позволяющую получить систему с желаемыми характеристиками, под которыми понимаются интересующие разработчика определённые показатели качества. Таким образом, перед разработчиками ставятся задачи синтеза функциональной структуры ДС (приборный синтез) и синтеза корректирующего устройства.

Приборный синтез состоит в выборе элементов и структуры регулятора, обеспечивающего принцип действия системы. При этом должны обеспечиваться технические условия их нормальной работы при совместном включении. Обычно разработчик на данном этапе использует сведения о параметрах протекающих процессов, физической природе переменных измерения и управления, а также имеющихся технических средствах. Полученные на этом этапе объект или часть ДС называют неизменяемой системой. Этот этап проектирования не имеет пока строгой математической основы и относится к области инженерного искусства.

Корректирующий синтез подразумевает введение таких добавочных устройств, которые улучшат качество работы неизменяемой системы и при этом не нарушат принципиальной работоспособности устройства. Из теории непрерывных систем управления известно, что коррекция может быть последовательная, параллельная, коррекция за счёт введения обратной связи и смешанная. С математических позиций все они эквивалентны, так как корректирующему контуру одного типа может быть сопоставлен корректирующий контур другого типа.

Важнейшим этапом проектирования ДС является разработка цифровых законов управления непрерывными объектами. Для решения этой задачи предложено три подхода: 1) переоборудование, которое сводится к замене непрерывного регулятора его дискретной моделью в результате аппроксимации; 2) дискретизация объекта путём построения дискретной модели непрерывного объекта и последующий синтез регулятора методами теории дискретных систем; 3) прямой синтез цифрового регулятора для непрерывного объекта без каких-либо упрощений и аппроксимаций.

Первые два подхода являются приближёнными и фактически предполагают замену одной задачи другой с целью применить известные результаты теории стационарных (непрерывных или дискретных) систем. В первом подходе игнорируется наличие цифровой части (импульсного элемента, дискретного регулятора и экстраполятора) с помощью дискретного преобразования Лапласа и используются методы синтеза непрерывных систем. При этом иногда дискретизация полученного аналогового регулятора не позволяет добиться желаемого эффекта. При использовании

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]