Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Анализ и синтез дискретных систем. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

2.2. Расчёт реакции системы по аналитическому решению

t	y(t) = 1 - 0,5 × (-1,5)t

0	0,5

1	1,75

2	–0,125

3	2,6875
4	–1,53125
5	4,796875

2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА

Преобразование Лапласа для непрерывных систем позволяло перейти от дифференциального уравнения n-го порядка к степенному ряду n-го порядка, что существенно упрощало анализ и синтез непрерывных систем. Для дискретных систем естественным продолжением, таким образом, будет переход от разностного уравнения к аналогичному степенному ряду.

В случае дискретных систем значение дискретного сигнала во вре-

∞

мени можно представить как fd (t) = f (t) ∑ δ(t − kTd ) . Тогда преобразо-

k =−∞

вание Лапласа этого сигнала будет

∞	∞	∞
Fd (p) = ∫ f	(t ) ∑ δ(t − kTd )e− pt dt =	∑ f (kTd )e− pkTd ,	(2.14)
t =0	k =−∞	k =−∞
где p = σ + jω – комплексное число.
Введя обозначение
	e pTd = z ,		(2.15)
выражение (2.14) можно привести к виду
	∞
Fd (z) = Z [ f (kTd )]= ∑ f (kTd )z −k ,			(2.16)

k =−∞

откуда следует, что дискретный процесс можно выразить в виде степенного ряда путём замены переменных (2.15), что по аналогии с непрерывными системами означает переход от конечно-разностных уравнений n-го порядка к степенному ряду n-го порядка. Выражение (2.16) получило название z-преобразования и играет такую же роль для дискретных систем, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. Z-преобразование определено для тех z, при которых ряд (2.16) сходится. Значения z, при которых Fd (z) = ±∞ называются полюсами.

Если действительная часть комплексного числа σ = 0 , то z = e jωTd и ряд (2.16) запишется как дискретное преобразование Фурье, которое связывает спектр дискретного сигнала с его отсчётами

∞
S (w) = Fd (e jωTd )= ∑ f (kTd )e	− jωkTd .	(2.17)

k =−∞

2.4.ПРИМЕРЫ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1.Дискретная дельта-функция

x(k ) = 1, k = 0 ;
0, k ¹ 0;
∞
X (z) = ∑ x(k )z −k	= 1× z −0 = 1 .		(2.18)
k =−∞
Область сходимости этой функции –	вся комплексная плоскость.
2. Дискретный единичный скачок
x(k ) = 1, k ³ 0;
0, k < 0;
∞	∞
X (z) = ∑ x(k )z −k = ∑z		−k .	(2.19)
k =−∞	k =0

Ряд (2.19) является суммой геометрической прогрессии, первый член которой равен 1× z−0 = 1 , которая сходится при значении её знаменателя z −1 < 1 , что соответствует z > 1 , тогда

X (z) =			1	.		(2.20)
X (z) =		1- z−1		.		(2.20)
3. Экспоненциальная функция
		k	, k ³ 0;
x(k ) = a			, k ³ 0;
	0, k < 0;
					−1z)−k .
∞			∞
X (z) = ∑ ak z −k			= ∑(a			(2.21)
k =−∞			k =0

Ряд (2.21) представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем az −1 , который сходится при az −1 < 1 ,

или z > a :

X (z) =	1
X (z) =	1- az−1 .	(2.22)

Для большого числа дискретных сигналов результаты z-преобра- зования сведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

№ п/п

Дискретная

Результат

Область

последовательность x(n), n ³ 0

z-преобразования X(z)

сходимости

kδ(n)

z > 1

z −1

z > 1

(z −1)2

kn2

kz(z + 1)

z > 1

(z −1)3

ke–an

z > e–a

z − e−a

–an

kze−a

–a

kne

z > e

(z − e−a )2

–an

z(1− e−a )

–a

1 – e

z > e

z2 − z(1+ e−a ) + e−a

cos(an)

z(z − cos a)

z > 1

z2 − 2z cos a + 1

sin(an)

z sin a

z > 1

z2 − 2z cos a + 1

e–an sin(an)

ze−a sin a

z > e–a

2 − 2ze−a cos a + e−2a

–an

ze−a (ze−a − cos a )

–a

e cos(an)

z > e

2 − 2ze−a cos a + e−2a

ch(an)

(z2 − z ch a)

z > ch a

z2 − 2z ch a +1

sh(an)

z sh a

z > sh a

z2 − 2z ch a + 1

kan

z > a

z − a

knan

kaz

z > a

(z − a)2

n cos(n pa

+ ca )

e jca

e− jca

z −

e jpa

z −

e− jpa

2.5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

1. Линейность. Если Z [x1 (i)] = X1 (z ) и Z [x2 (i)]= X 2 (z) , то

Z [ax1 (i)+ bx2 (i)] = aX1 (z)+ bX 2 (z).

2. Задержка на n-тактов. Если y(i) = x(i - n), то

∞		∞	∞	−(i−n) =
Y (z) = ∑ y(i)z	−i =	∑ x(i - n)z	−i = z−n ∑ x(i - n)z	−(i−n) =
i =−∞		i =−∞	i = −∞

∞

= z −n ∑ x( j)z − j = z−n X (z).

j=−∞

Откуда следует, что при задержке (некоторой последовательности на

n-тактов необходимо умножить её z-преобразование на z −n , который называется оператором задержки на n-тактов.

∞

3. Свёртка сигналов. Пусть y(i) = h(i) Ä x(i) = ∑ h(k )x(i - k ) является

k =−∞

свёрткой двух бесконечных дискретных последовательностей, тогда

Y (z) =

∞

y(i)z−i

∞

∑

h(k )x(i - k )z−i =

i =−∞

i= −∞ k =−∞

∞

h(k )x(i

- k )z−k z

−(i −k )

∑

i =−∞ k = −∞

(2.23)

∞

x(i - k )z

∑

h(k )z−k

−(i −k ) =

k = −∞

i= −∞

∞

= X (z) ∑ h(k )z−k = X (z)H (z).

k =−∞

То есть z-преобразование свёртки двух дискретных процессов равно произведению их z-преобразований. Это уравнение играет большую роль

втеории дискретных систем.

4.Дифференцирование. Если X (z) = Z [x(k )] , то z-образ последова-

тельности kx(k) можно найти, продифференцировав X (z):

Z [kx(k )]= -z dX (z).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]