Рис. 2.4. Отображение p-плоскости в z-плоскость

где ωd – круговая частота дискретизации. При изменении ω от −∞ до ∞ в z-плоскости будут отображаться концентрические окружности с радиусом z = eσTd . Так как Td > 0 , то для этого радиуса справедливы следующие соотношения

z = 1 при σ = 0; z < 1 при σ < 0; z > 1 при σ > 0,

из которых следует, что мнимая ось р-плоскости переходит в окружность единичного радиуса в z-плоскости, левая сторона p-плоскости отображается внутрь единичного круга z-плоскости, а правая сторона p-плоскости – на внешнюю сторону единичной окружности z-плоскости (рис. 2.4).

2.6. ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Обратное z-преобразование Z −1 позволяет восстанавливать дискретную последовательность по её z-образу:

x(k ) = Z −1[X (z)].

Умея проводить обратное z-преобразование, можно выразить исходные дискретные последовательности в виде степенных рядов, провести с ними необходимые алгебраические вычисления с целью получения z- образа выходного сигнала, и затем преобразовать их в дискретную последовательность.

Если z-образ имеет вид степенного ряда, то обратное z-преобразование находится путём определения коэффициентов у операторов задержки z −n .

28

Если z-образ имеет вид степенного ряда, то обратное z-преобразование находится путём определения коэффициентов у операторов задержки z −n

X (z) = 2z−0 + 1z−1 − 5z−3 K , тогда x(k ) = {2, 1, 0, − 5, K} .

Z-образ дискретной системы обычно имеет дробно-рациональный вид

нахождение обратного z-преобразования которого может быть выполнено одним из методов:

1)метод разложения в степенной ряд;

2)метод разложения на элементарные дроби;

3)метод вычетов.

Метод разложения в степенной ряд является довольно простым и пригодным для расчёта на ЭВМ. Суть его заключается в делении столбиком числителя на знаменатель, а частное будет содержать степенной ряд, обратное z-преобразование которого найти можно без труда.

0 + 3,5z– 1 – 6z– 2

–3,5z– 1 – 0,875z– 2 + 1,75z– 3

…

Откуда x(k) = {0,5, 0,875, −1,28125,K} .

Деление в столбик довольно громоздко, поэтому более удобный вариант его проведения – рекурсивное вычисление новых коэффициентов степенного ряда на основе уже рассчитанных

x(0) = b0 a0 ,

x(1) = (b1 − x(0)a1 )a0 , x(2) = (b2 − x(1)a1 − x(0)a2 )a0 ,

x(k − i) = 0 при (k − i) < 0.

29

Фрагмент программы, реализующий рекурсивное вычисление обратного z-преобразования, приведён на языке C.

for(i=0; i < =nd; i++)

{

if (i < =N) b=B[i]; else b=0; if (i < =M) m=i;

x[i]=0;

for(j=1; j < =m; j++) x[i]+=A[j]*x[i-j]; x[i]=(b-x[i])/A[0];

}

В листинге программы nd – количество точек данных обратного z-преобразования; N – порядок многочлена числителя; M – порядок многочлена знаменателя.

Метод разложения на элементарные дроби подразумевает представить дробно-рациональное выражение (2.24) суммой простых дробей. Для каждой простой дроби по таблицам z-преобразования находится подходящая функция обратного z-преобразования. Разложение на простые дроби особенно полезно при проектировании структуры дискретной системы, которая представляется последовательным соединением отдельных простых звеньев. Если полюсы (2.24) первого порядка и N = M , то

30

Обращаясь к табл. 2.3, можно найти соответствие z-образов временным последовательностям в строках 1 и 16, с учётом которых

x(n) = -2,5d(n)+ 2 ×1,542 ×0,7071n cos (1,393n - 0,2351).

31

Так как z-образ X (z) соответствует примеру разложения в степенной ряд, можно проверить полученный результат, вычислив значение x(n)

для n = 0, 1, 2, … ( табл. 2.4). Сравнивая полученные значения с рассчитанными ранее, можно убедиться в идентичности результатов.

С увеличением сложности X (z) метод разложения на элементарные

дроби становится довольно трудоёмким.

Метод вычетов основан на вычислении контурного интеграла

пользуя теорему Коши о вычетах для рациональных многочленов, контурный интеграл (2.29) представляется суммой вычетов функции

2x(2) = 3,084 ×0,70712 cos (1,393× 2 - 0,2351) = -1,28125

3x(3) = 3,084 ×0,70713 cos (1,393×3 - 0,2351) = -0,7578

32

Полюсы X (z) комплексно сопряжённые и равны: