Анализ данных в материаловедении. Часть 2. Регрессионный анализ. Учебное пособие

s, МПа: 7,5; 7,9; 8,9; 10,0; 10,6; 11,2; 11,9; 12,3; 13,6; 13,7; 14,1; 15,8; 18,8; 21,6; 22,9; 23,2; 24,3; 25,7; 27,2; 29,2; 29,9; 30,5; 33,1; 34,3; 35,5;

37,6; 41,2; 43,2.

Решение. Параметр v0 в обеих моделях имеет двойное назначе- ние – он придает правильную физическую размерность правой части уравнения и одновременно является нормировочным, масштабным параметром. Представим его как v0 = v b0 , где v =1 см/с, а b0 – пер- вый безразмерный коэффициент регрессии. Параметр s0 экспонен- циальной модели имеет такое же двойное назначение. Представим его как s0 = s b1 , где s =1 МПа , а коэффициент b1 – второй без- размерный коэффициент регрессии экспоненциальной модели. Па- раметр s0 степенной модели имеет только размерное назначение, поэтому будем считать s0 =1 МПа . Второй безразмерный коэффи- циент регрессии степенной модели – показатель степени m =b1 . Та- ким образом, имеем две регрессионные модели: экспоненциальную v =b0 exp(b1s) и степенную v =b0sb1 , в которых безразмерные пере- менные v и s имеют те же числовые значения, что и размерные ис- ходные данные. Обе модели после логарифмирования и введения новых переменных приводятся к линейным регрессионным моделям. Экспоненциальная модель –

Разместим упорядоченные по возрастанию значения напряжения в ячейках С5:C32, а значения скорости дислокации в ячейках D5:D32 (табл. 9.1). Вычислим логарифмы исходных переменных в интервале ячеек C5:F32 функцией “=LN(C5)”. В ячейках C34:F34 рассчитаем функцией “=СРЗНАЧ(C5:C32)” средние значения переменных, в диапазоне C35:F35 – их стандартные отклонения – “=СТАНДОТКЛОН(C5:C32)”. В ячейке С36 подсчитаем число дан-

ных – “=СЧЁТ(C5:C32)”.

Коэффициенты регрессии и статистические характеристики моде- лей рассчитаем функцией ЛИНЕЙН. Для экспоненциальной модели выделим интервал ячеек C41:D44 (табл. 9.2), вызовем функцию ЛИНЕЙН, заполним поля ее аргументов: «Известные значения у» – F5:F32, «Известные значения х» – C5:C32, поле «Конст» оставим не- заполненным, в поле «Статистика» записываем 1. Далее вместо «OK» одновременно нажимаем клавиши Ctrl+Shift+Enter. Для расче-

61

та характеристик степенной функции аналогичным образом занесем в интервал ячеек F41:G44 функцию “ЛИНЕЙН(F5:F32;E5:E32;;1)”.

62

Затем в ячейках С46:D46 и F46:G46 рассчитаем формулой “=C41/C42” t-критерии коэффициентов регрессии. В ячейках С47:D47 вычислим уровни значимости t-критериев коэффициентов

экспоненциальной модели формулой

“=СТЬЮДРАСП(ABS(C46);$D$44;2)”, а в ячейках F47:G47 уровни значимости t-критериев коэффициентов степенной модели формулой

“=СТЬЮДРАСП(ABS(F46);$G$44;2)”. Далее в ячейках С49 и F49

рассчитаем множественные коэффициенты корреляции функциями “=КОРЕНЬ(C43)” и “=КОРЕНЬ(F43)” соответственно, в ячейках С50 и F50 – ч.с.с. дисперсии модели: “=СЧЁТ(C41:D41)-1” и “=СЧЁТ(F41:G41)-1”, в ячейках С51 и F51 – уровни значимости F- критериев значимости регрессии – “=FРАСП(C44;C50;D44)” и

“=FРАСП(F44;F50;G44)”.

Далее вычислим предсказанные значения и величины остатков (табл. 9.3). В ячейках Н5:Н32 – значения lnv, предсказанные экспо- ненциальной моделью (9.5) – “=$D$41+$C$41*C5”, а в ячейках М5:М32 – значения, предсказанные степенной моделью (9.6) – “=$G$41+$F$41*E5”. В ячейках I5:I32 – остатки экспоненциальной модели –“=F5-H5”, а в ячейках N5:N32 – остатки степенной модели – “=F5-M5”. В ячейках I34 и N34 рассчитаем средние значения остат- ков, а в ячейках I35 и N35 – стандартные отклонения остатков. В диапазонах ячеек J5:J32 и O5:O32 рассчитаем функциями

“=РАНГ(I5;I$5:I$32;1)” и “=РАНГ(N5;N$5:N$32;1)” ранги остатков, в

диапазонах K5:K32 и Р5:Р32 – квантили нормального распределения

– “=НОРМОБР((3*J5-1)/(3*$C$36+1);I$34;I$35)/I$35” и “=НОРМОБР((3*O5-1)/(3*$C$36+1);N$34;N$35)/N$35”.

63

Далее в ячейках С53 и С54 (см. табл. 9.2) рассчитаем минимальный и

максимальный стандартизованные остатки экспоненциальной модели функциями “=МИН(I5:I32)/I35” и “=МАКС(I5:I32)/I35” соответственно, а в ячейках F53 и F54 – минимальный и максимальный стандартизован- ные остатки степенной модели: “=МИН(N5:N32)/N35”,

“=МАКС(N5:N32)/N35”.

Рассчитаем также дополнительные характеристики моделей для их последующего сравнения. Исходные данные упорядочены по воз- растанию напряжения s. Поэтому остатки моделей также упорядоче- ны по возрастанию s. В упорядоченном ряду остатков можно рассчи- тать коэффициент корреляции между соседними остатками (он назы- вается коэффициентом сериальной корреляции с единичным сдви- гом). Если этот коэффициент близок к нулю, то соседние остатки не коррелированны и, скорее всего, образуют случайную последова- тельность. Если же значение коэффициента значительно отличаются от нуля, то остатки изменяются закономерно. Коэффициент сериаль- ной корреляции остатков экспоненциальной модели (9.5) вычисляет-

64

ся в ячейке С56 функцией “=КОРРЕЛ(I5:I31;I6:I32)”, а степенной модели (9.6) – в ячейке F56 функцией “=КОРРЕЛ(N5:N31;N6:N32)”.

Второй характеристикой служит отношение остаточных диспер-

сий

Fe = se2 (экспоненциальная модель) .

Если различие остаточных дисперсий значимо, то степенная модель с

меньшей остаточной дисперсией заведомо лучше экспоненциальной модели с большей остаточной дисперсией. Здесь проверяется гипоте- за о равенстве дисперсий против альтернативной гипотезы о том, что дисперсия в числителе больше дисперсии в знаменателе, поэтому критерий односторонний. Отношение дисперсий Fe рассчитывается в ячейке С58 формулой “=D43^2/G43^2”, а уровень значимости вы- числяется в ячейке С59 функцией “=FРАСП(C58;D44;G44)”.

Наконец, в ячейках D60 и G60 рассчитаем для информации коэф- фициенты исходных моделей b0 функциями “=EXP(D41)” и

“=EXP(G41)”.

Для удобства сравнения будем строить графики зависимостей от предсказанных моделями (9.5), (9.6) значений lnv, а не от s или lns, имеющих разные масштабы. Построим графики зависимостей наблюдаемых значений lnv от предсказанных моделями значений lnv (рис. 9.1), зависимости остатков от предсказанных значений lnv (рис. 9.2) и нормальные вероятностные графики остатков

(рис. 9.3).

Анализ результатов. По экспериментальным данным рассчитаны две регрессионные зависимости скорости дислокации v от прило- женного напряжения s – экспоненциальная

В обоих случаях использовалась процедура линеаризации с по- следующим вычислением коэффициентов регрессии линейных моде- лей. Все коэффициенты регрессии значимы. Нормальные вероятно-

стные графики остатков обеих моделей не имеют систематических отклонений точек от прямой линии (см. рис. 9.3). Метод наименьших квадратов в преобразованных переменных применен корректно.

65

б

Рис. 9.1. Наблюдаемые значения lnv в зависимости от предсказанных экспоненциальной (а) и степенной (б) моделями значений lnv

66

а

б

Рис. 9.2. Остатки в зависимости от предсказанных экспоненциальной (а) и степенной (б) моделями значений lnv

67

Рис. 9.3. Нормальные вероятностные графики остатков экспоненциальной (а) и степенной (б) моделей

Остаточное стандартное отклонение степенной модели меньше остаточного стандартного отклонения экспоненциальной, а множест- венный коэффициент корреляции больше. Следовательно, степенная модель ближе к экспериментальным данным, чем экспоненциальная. На графике рис. 9.1, а заметно систематическое отклонение наблю- дений от экспоненциальной модели. Такого отклонения практически нет на графике степенной модели (рис. 9.1, б). Еще более заметна

68

параболическая зависимость остатков от предсказанных экспоненци- альной моделью значений на рис. 9.2, а и отсутствие такой зависимо- сти на рис. 9.2, б. О неслучайном характере изменения остатков экс-

поненциальной модели говорит и относительно высокое значение коэффициента сериальной корреляции остатков r = 0,4015 . В сте-

пенной модели этот коэффициент на порядок меньше, там последо- вательность остатков является случайной. В совокупности это озна- чает, что экспоненциальная модель, в отличие от степенной, не от-

ражает всех закономерностей экспериментальной зависимости и не полностью соответствует экспериментальным данным.

Уровень значимости отношения остаточных дисперсий α(Fe) = = 0,0878 больше общепринятого критического значения 0,05, но все же он достаточно низок. Вероятность ошибиться, принимая гипотезу о различии истинных остаточных дисперсий, не более чем 0,0878.

Хотя решающего подтверждения преимущества степенной моде- ли в виде значимого различия остаточных дисперсий (с уровнем зна- чимости α(Fe ) ≤0,05 ) не получено, по всем исследованным призна- кам степенная модель (9.8) описывает экспериментальную зависи- мость более правдоподобно, чем экспоненциальная (9.7). Поэтому она выбирается как лучшая из двух моделей.

Используя численные методы нелинейной регрессии, можно рас- считать коэффициенты степенной модели без преобразования исход- ных переменных. Сделав это, получим уравнение

Графики зависимостей (9.8) и (9.9) приведены на рис. 9.4. Модель (9.9) заметно отклоняется от экспериментальных данных в области малых скоростей дислокации v. С увеличением приложенного на- пряжения s скорость дислокации возрастает на два порядка. Пропор- ционально скорости возрастает и ошибка ее измерения. Метод наи-

меньших квадратов минимизирует в первую очередь самые большие отклонения модели от наблюдений. Поэтому в интервале больших напряжений (и высоких скоростей) кривая (9.9) проходит по воз- можности близко к экспериментальным точкам, а в интервале низких скоростей, чей суммарный вклад в сумму квадратов отклонений мал, регулярно от них отклоняется. У линеаризованной модели (9.6) ос- татки переменной lnv имеют одинаковый порядок при всех напряже- ниях s (см. рис. 9.2, б). Модель (9.8) одинаково хорошо согласуется с экспериментом во всем интервале приложенного напряжения.

69

Несовершенство модели (9.9) проявляется и на нормальном веро- ятностном графике остатков этой модели (рис. 9.5) как систематиче- ское отклонение точек от прямой линии. Распределение остатков не является нормальным. Само проведение регрессии в исходных пере- менных s – v некорректно.

70