Анализ данных в материаловедении. Часть 2. Регрессионный анализ. Учебное пособие

Далее рассчитаем значения ортогональных полиномов qik (табл. 8.2). В ячейках Е40:F40 повторим степень ортогонального по- линома формулой “=E4”. В ячейках Е41:Е54 запишем значения нуле- вого ортогонального полинома qi0, которые все равны единице. В строках 56–58 проведем промежуточные вычисления, необходимые для расчета коэффициентов g и h (8.8) и коэффициентов регрессии

41

В ячейке E59 вычислим значения коэффициента g (8.8) формулой “=−E57/E56”. Далее из соотношения (8.7) рассчитаем в ячейках F41:F54 значения qi1 первого ортогонального полинома формулой

“=($C5+E$59)*E41+E$60*D41”. (Здесь использовано свойство фор-

мул Excel интерпретировать пустые ячейки как число 0.) Далее ско- пируем формулы из интервала Е56:Е59 в интервал F56:F59. Наконец,

в ячейке F60 формулой “=−F56/E56” рассчитаем коэффициент h (8.8).

Теперь по формуле (8.1) рассчитаем коэффициенты регрессии (табл. 8.3). В ячейку С23 запишем функцией “=СЧЁТ(C5:C18)” коли- чество данных. В ячейках E24:F24 продублируем степень ортого- нального полинома – она же индекс коэффициента регрессии – “=E4”. В ячейках E26:F26 вычислим по (8.1) коэффициенты регрес- сии uj модели (8.4) формулой “=E58/E56”.

Далее рассчитаем значения регрессионной модели (см. табл. 8.1).

формулу “=$E$26”. Модель ортогональных полиномов (8.4) степени k получается из предыдущей модели степени k–1 прибавлением к ней

42

(см. табл. 8.2), поэтому модель первой степени получается из модели нулевой степени в ячейках F5:F18 формулой “=E5+F$26*F41”. В ячейки А5:А18 запишем формулу, сохраняющую в них последнюю рассчитанную модель: “=СМЕЩ(B5;0;СЧЁТ(C5:Z5);1;1)”. Это нужно для построения графика последней рассчитанной модели.

Следующим шагом рассчитаем остатки ei = yi -Yi , где Yi – пред-

сказанные моделью (8.4) значения (табл. 8.4). В ячейках E63:F63 продублируем степень модели: “=E4”. В диапазоне ячеек E64:F77 вычислим остатки формулой “=$D5-E5”. Далее рассчитаем характе- ристики остатков. Среднее значение в ячейках E79:F79 – “=СРЗНАЧ(E64:E77)”, стандартное отклонение остатков в ячейках

43

E80:F80 – “=СТАНДОТКЛОН(E64:E77)”, минимальный стандарти- зованный остаток в ячейках E82:F82 – “=МИН(E64:E77)/E80”, мак- симальный стандартизованный остаток в ячейках E83:F83 – “=МАКС(E64:E77)/E80”. В ячейки А64:А77 и А79:А80 функцией

“=СМЕЩ(D64;0;СЧЁТ(E64:Z64);1;1)” запишем остатки последней рассчитанной модели. Далее, как и в предыдущих задачах, в диапа- зоне В64:В77 рассчитаем ранги остатков – “=РАНГ(A64;A$64:A$77;1)” и в ячейках С64:С77 квантили нормаль- ного распределения – “=НОРМОБР((3*B64-1)/

/(3*$C$23+1);$A$79;$A$80)/$A$80”.

После расчета остатков определим статистические характеристи- ки модели (см. табл. 8.3). В ячейках E25:F25 рассчитаем число сте-

пенней свободы остаточной дисперсии (6.5) как n- nr , где nr – число

коэффициентов регрессии: “=$C$23−СЧЁТ($E26:E26)”. В ячейку С25 занесем формулу, сохраняющую ч.с.с. остаточной дисперсии по- следней модели: “=СМЕЩ(D25;0;СЧЁТ(E25:Z25);1;1)”. Это нужно для вычисления уровней значимости t-критериев коэффициентов регрессии. В ячейках E31:F31 рассчитаем остаточное стандартное отклонение (6.6) функцией “=КОРЕНЬ(СУММКВ(E64:E77)/E25)”, а в ячейку С31 занесем формулу, сохраняющую остаточное стандарт- ное отклонение последней модели, необходимое для расчета стан- дартных ошибок коэффициентов регрессии: “=СМЕЩ(D31;0;СЧЁТ(E31:Z31);1;1)”. В ячейках E27:F27 рассчита-

ем стандартные ошибки коэффициентов регрессии (8.2): “=$C$31/КОРЕНЬ(E56)”. Далее в ячейках Е28:F28 рассчитаем t- критерии коэффициентов регрессии – “=E26/E27”, и в ячейках Е29:F29 – их уровни значимости: “=СТЬЮДРАСП(ABS(E28);$C$25;2)”. Затем в ячейке F33 вычислим F-критерий значимости регрессии –

“=(КВАДРОТКЛ(F5:F18)/(СЧЁТ($E26:F26)-1)/F31^2)”. Здесь функ-

ция СЧЁТ($E26:F26)-1 подсчитывает число степеней свободы дис-

“=FРАСП(F33;СЧЁТ($E26:F26)-1;F25)”. Также в ячейке F36 рассчи-

таем множественный коэффициент корреляции R формулой “=КОРРЕЛ($D5:$D19;F5:F19)” (как коэффициент корреляции между наблюдаемыми и предсказанными значениями свойства), а в ячейке F37 – множественный коэффициент детерминации – “=F36^2”.

44

На последнем этапе рассчитаем для информации коэффициенты ортогональных полиномов a(jk) и приведем в модели (8.4) подобные

слагаемые, т.е. рассчитаем коэффициенты bj уравнения (8.3)

(табл. 8.5). В строке 87 в ячейках E87:F87 продублируем степень по- линома “=E4”. В столбец В поместим индекс коэффициента: в ячейке В89 – “0”, в ячейках В90:В99 – “=B89+1”. В столбцах E, F, … будем

рассчитывать коэффициенты a(jk) ортогональных полиномов.

В ячейке Е89 – “1”; это коэффициент a0(0) нулевого ортогонального полинома. В ячейках Е90:Е99 – “0”. В столбце F рассчитаем по фор- муле (8.9) коэффициенты a0(1) и a1(1) первого ортогонального полино-

ма. В ячейках F89:F99 формула “=E89*E$59+E88+D89*E$60”. По-

следний не нулевой коэффициент в столбце – число 1 – коэффициент при старшей степени ортогонального полинома. Наконец, в столбце C в ячейках С89:С99 рассчитаем по формуле (8.10) коэффициенты bj уравнения (8.3) функцией “=СУММПРОИЗВ(E89:Z89;E$26:Z$26)”

Таблица 8.5

Теперь для расчета модели второй степени достаточно целиком ско- пировать формулы из столбца F в столбец G, третьей степени – в стол- бец H и т.д. Для примера в табл. 8.6 приведены коэффициенты регрес- сии и статистические характеристики модели четвертой степени.

45

Чтобы исключить любой из ортогональных полиномов из модели, достаточно удалить формулу расчета коэффициента регрессии uj из соответствующей ячейки, оставив эту ячейку незаполненной. В табл. 8.7 приведены характеристики модели

δ= u0 + u1Q1(t) + u2Q2 (t) + u4Q4 (t)

46

с отсутствующим наименее значимым ортогональным полиномом третьей степени, а на рис. 8.1 – ее график. (Линия регрессии на гра- фике построена по данным интервала A5:A18. Для графиков остат- ков надо использовать ряд данных А64:А77.) Хотя остаточное стан- дартное отклонение этой модели наименьшее, коэффициент u4 при

ортогональном полиноме четвертой степени незначимо отличается от нуля (с риском α(t) = 0,199) . Полином Q4 (X ) правильнее исклю-

чить из модели. Тогда наилучшей становится квадратичная модель. Статистические характеристики этой модели приведены в табл. 8.8.

Остаточное стандартное отклонение квадратичной модели близко к минимальному, все коэффициентами регрессии значимы. Она также проще для истолкования, чем полином четвертой степени.

47

Рис. 8.1. Полиномиальная модель четвертой степени зависимости

относительного удлинения от продолжительности нагрева

Анализ результатов. С использованием ортогональных полино-

мов построена регрессионная модель зависимости относительного удлинения δ от продолжительности нагрева t. Определено, что для

описания зависимости наиболее подходит квадратичная модель

δ= 22,679 + 0,249(-12,286 + t)- 0,097(147,709- 24,689t + t2 ) .

Регрессия квадратичной моделью значима, все коэффициенты рег- рессии значимо отличаются от нуля.

48

После приведения подобных слагаемых уравнение модели в фор-

ме (8.3)

δ= 5,280 + 2,645t - 0,097t2 .

Поскольку ни один из ортогональных полиномов не исключался из квадратичной модели, то последнее уравнение совпадает с уравнени-

49

ем регрессии, полученным в примере 7.2. Также совпадают все ста- тистические характеристики моделей. Одинаковыми будут и графики модели (см. рис. 7.4), графики зависимости остатков от значений фактора (см. рис. 7.5) и нормальные вероятностные графики остатков

(см. рис. 7.6).

Задание для самостоятельной работы

Вычислить F-критерий отношения остаточных дисперсий квадра- тичной модели (см. табл. 8.8) и модели четвертой степени (см. табл. 8.7). Рассчитать его уровень значимости. Убедиться, что оста- точные дисперсии моделей отличаются незначимо.

8.3.Ортогональные тригонометрические функции

Вряде экспериментов фактор, от которого зависит свойство, из- меняется с постоянным шагом. Так работают приборы, фиксирую-

щие количество импульсов в зависимости от дискретных значений параметра, или сканирующие поверхность с постоянным шагом по координате, или измеряющие свойство через одинаковые промежут- ки времени. В этом случае целью регрессионного анализа может

быть не расчет коэффициентов специально подобранной функции регрессии, а построение гладкой кривой, в которой содержится вся полезная информация, полученная в эксперименте, но отсутствуют случайные ошибки, вызванные случайным характером измеряемой величины. Регрессионный анализ выступает здесь как специальная процедура сглаживания, освобождающая полезный сигнал от слу- чайного шума.

Как пример таких данных, на рис. 8.2 представлена последова- тельность измерений интенсивности рентгеновского излучения (ко- личества квантов, детектированных в единицу времени) после отде- ления линейного фона. Фактический аргумент здесь – возрастающий

спостоянным шагом угол съемки, но для целей анализа он заменен номером последовательного значения угла – номером точки съемки.

Очевидно, что зависимость интенсивности излучения от угла съемки описывается колоколообразной функцией. Можно предло-

определены по данным эксперимента, то графики функций внешне

50