Анализ данных в материаловедении. Часть 2. Регрессионный анализ. Учебное пособие

6.3. Регрессионный анализ в программе EXCEL

Программа Excel предлагает несколько функций для расчета па- раметров регрессионных моделей. Пусть наблюдаемые значения не-

зависимой переменной x1, x2 , ..., xn записаны в интервале ячеек А1:Аn, а значения зависимой переменной y1, y2 , ..., yn – в ячейках

В1:Вn.

Функция КВАДРОТКЛ(А1:Аn) рассчитывает сумму квадратов отклонений множества величин x1, x2 , ..., xn от их среднего x .

Функция СУММКВРАЗН(А1:Аn;В1:Вn) рассчитывает сумму квадратов разностей xi − yi .

Функция ОТРЕЗОК(В1:Вn;А1:Аn) вычисляет свободный член b0 линейной модели Y = b0 + b1X.

Функция НАКЛОН(В1:Вn;А1:Аn) вычисляет коэффициент b1 той же линейной модели.

Функция СТОШYX(В1:Вn;А1:Аn) рассчитывает остаточное стан-

дартное отклонение se (6.6) линейной модели Y = b0 + b1X.

Функция ПРЕДСКАЗ(х;В1:Вn;А1:Аn) рассчитывает предсказан-

ЛИНЕЙН дополнительно вычисляет характеристики модели: оста- точное стандартное отклонение se (6.6), ч.с.с. остаточной дисперсии νe (6.5), множественный коэффициент детерминации R2 (6.7), F- критерий значимости регрессии (6.9), стандартные ошибки коэффи-

дополнительно вычисляет те же статистические характеристики мо- дели, что и функция ЛИНЕЙН.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ для произвольных значений аргументов

11

Можно также построить точечный график в координатах X – Y,

щелкнуть правой кнопкой мыши по одной из точек и в открывшемся контекстном меню выбрать «Добавить линию тренда». В открыв- шемся окне выбрать вид уравнения регрессии: линейное, полиноми- альное, экспоненциальное, логарифмическое, степенное. На графике добавится кривая регрессии. Дополнительно можно вывести на гра- фик само уравнение регрессии и значение множественного коэффи- циента детерминации R2.

12

7. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

7.1. Линейная модель

Пусть имеется n наблюдений фактора Х и зависимой переменной

Выбирая эту модель, исследователь проверяет гипотезу о том, что

между зависимой и независимой переменными существует линейная связь.

Для нахождения МНК оценок b0 и b1 необходимо минимизировать

сумму квадратов

n

S2 = å(yi - b0 - b1xi )2 ,

i=1

решив для этого систему

Вычислив производные и проведя преобразования, получим систему линейных относительно b0 и b1 уравнений

Решение системы (7.2) удобно представить в следующем виде^

13

n

å(xi - x)( yi - y)

или

b1 = sy rxy , sx

где sx и sy – выборочные стандартные отклонения (1.10) наблюдений хi и yi, а rxy – их выборочный парный коэффициент корреляции (5.4), и

b0 = y - b1x .

Остаточное стандартное отклонение линейной модели

а стандартные ошибки коэффициентов регрессии

14

Пример 7.1. Измерены значения предела прочности σB (МПа)

нержавеющей стали в зависимости от диаметра заготовки d (мм). По- строить линейную регрессионную модель, оценить качество модели. Исходные данные приведены в табл. 7.1.

Решение

Предварительно рассчитаем в ячейках С18:D18 средние значения свойства и фактора функцией “=СРЗНАЧ(C5:C16)”, в ячейках С19:D19 – стандартные отклонения: “ =СТАНДОТКЛОН(C5:C16)”. В ячейке С20 – количество данных: “=СЧЁТ(C5:C16)”.

Для расчета коэффициентов регрессии и характеристик модели вос- пользуемся функцией ЛИНЕЙН. Функция “ЛИНЕЙН(C5:C16;D5:D16;;1)” вводится в диапазон ячеек C23:D26 (табл. 7.2) как формула массива. Выделим диапазон ячеек C23:D26, далее из меню «Вставка» вызовем функцию ЛИНЕЙН и заполним поля ее аргументов: «Известные зна- чения у» – С5:С16, «Известные значения х» – D5:D16, поле «Конст» оставляем незаполненным, в поле «Статистика» записываем 1. Далее вместо «OK» одновременно нажимаем клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Функция ЛИНЕЙН возвращает:

15

коэффициент регрессии b1 – ячейка С23, коэффициент регрессии b0 – ячейка D23,

стандартные ошибки коэффициентов регрессии sbj (6.13) – ячейки

C24:D24,

множественный коэффициент детерминации R2 (6.7) – ячейка С25, остаточное стандартное отклонение se (6.6) – ячейка D25, F-критерий значимости регрессии (6.9) – ячейка С26,

число степеней свободы остаточной дисперсии νe (6.5) – ячейка

D26.

В ячейках С28:D28 рассчитаем t-критерии коэффициентов регрессии (6.14) формулой “=C23/C24”, в ячейках С29:D29 – уровни значимости t-

критериев (риски α(t)) функцией “=СТЬЮДРАСП(ABS(C28);$D$26;2)”.

Далее в ячейке С31 рассчитаем множественный коэффициент корреляции R (6.8) формулой “=КОРЕНЬ(C25)”, в ячейке С32 рассчитаем число степеней

свободы дисперсии модели νr (6.11) функцией “=C20-D26-1”. Ч.с.с νr необ- ходимо для расчета уровня значимости F-критерия значимости регрессии. Наконец, в ячейке С33 вычислим функцией “=FРАСП(C26;C32;D26)” уро- вень значимости α(F) (6.12) F-критерия значимостирегрессии.

Далее в ячейках Е5:Е16 рассчитаем предсказанные линейной мо- делью (7.3) значения Yi формулой “=$D$23+$C$23*D5” и в ячейках

16

F5:F16 вычислим остатки ei (6.15) формулой “=C5-E5” (табл. 7.3).

Следующие два столбца табл. 7.3 нужны для построения нормально- го вероятностного графика. В ячейках G5:G16 функцией “=РАНГ(F5;F$5:F$16;1)” вычислим ранг остатка, а в ячейках Н5:Н16 рассчитаем квантили нормального распределения (6.16) функцией

“=НОРМОБР((3*G5-1)/(3*$C$20+1); $F$18;$F$19)/$F$19”, предвари-

тельно вычислив в ячейке F18 среднее значение остатков функцией “=СРЗНАЧ(F5:F16)” а в ячейке F19 – стандартное отклонение остат- ков (6.17) функцией “=СТАНДОТКЛОН(F5:F16)”.

Окончательно в ячейках С35 и С36 (см. табл. 7.2) рассчитаем ми-

нимальный и максимальный стандартизованные остатки функциями

“=МИН(F5:F16)/F19” и “=МАКС(F5:F16)/F19” соответственно. Так-

же построим точечный график зависимости предела прочности от диаметра заготовки с нанесенной на него прямой регрессии (рис. 7.1). Для анализа остатков построим график зависимости остат-

17

Рис. 7.2. Зависимость фактор – остатки

Анализ результатов. Построена линейная регрессионная модель зависимости предела прочности нержавеющей стали от диаметра за- готовки:

σB = 846,0- 51,0d .

18

Рис. 7.3. Нормальный вероятностный график остатков

Коэффициент корреляции между наблюдаемыми и предсказанными моделью значениями R = 0,705. Модель описывает зависимость зна- чимо лучше, чем среднее σВ . Коэффициент регрессии b1 = 51,0 зна- чимо отличается от нуля. Зависимость остатков от значений факто- ра – случайная; видимые закономерности отсутствуют. Максималь- ные и минимальные значения остатков не являются выбросами. Точ-

ки на нормальном вероятностном графике остатков не отклоняются систематически от прямой. Гипотеза нормального распределения остатков не отвергается, метод наименьших квадратов применен корректно.

Замечание. В линейной модели (7.3) значимость коэффициента регрессии b1 автоматически означает значимость регрессии, поэтому уровень значимости t-критерия коэффициента b1 и уровень значимо- сти F-критерия значимости регрессии совпадают.

Задание для самостоятельной работы

Удалить из рабочего листа строку с минимальным значением фак- тора, убедиться, что это наблюдение не является влияющим. Анало- гично проверить наблюдение с максимальным значением фактора.

19

7.2. Общая модель линейной регрессии

Модель линейной регрессии в общем виде

Y =β0 +β1 f1(X ) +β2 f2 (X ) + ... +βp fp (X ) ,

где оцениваемые коэффициенты регрессии β0 ,β1, ...,βp не являются аргументами ни одной из базисных функций f j (X ) . Оценки b0 , b1, ..., bp коэффициентов β0 ,β1, ...,βp получаются, как и для ли- нейной модели, из условия минимума суммы квадратов отклоне-

ний (6.2)

20