Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгоритмы управления движениями точки и робота-манипулятора. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Для составления уравнений Лагранжа (2.23) энергию необходимо записать в независимых скоростях ω1, ωψ2 (2.25). Для этого учтем соотношения (2.27). Тогда

			T						1 (I			012			) 2							(I			m12					cos					2	) (													) 1 (I							A2				)(									)2
									2			012							1						m12										2		1				1							2					2			A2							1			2
									2																																												2
	1 (I					012				) 2			(I						m12				cos							2	)( 2												2		)			1 (I			A2			)( 2								2					2							)
		2				012					1								m12											2			1				1						2					2			A2					1								1 2							2
		2																																														2
			2																																			2
1					(I			012					2I			m12						cos					2		I			A2		)				2				(I				A2		) (									)(I					m12		cos				2		I			A2		).
1					(I								2I									cos							I					)								(I						) (									)(I							cos						I					).
		2																																			2															1		2
		2																																			2
В окончательном виде энергия принимает вид

																						T				2													2Im12 cos 2 )
																						T						1		(I012 I A2									2Im12 cos 2 )
																											2
																					2
																						2		(I				A2			) (								)(I						A2			I	m12				cos						2		) .										(2.32)
																								(I							) (								)(I									I					cos								) .										(2.32)
																						2														1		2
																						2
		Составим первое уравнение Лагранжа:
																															d			T							T						Q1 .																								(2.33)

																															dt			q						q
																																				1									1
		Левая часть первого уравнения находится из кинетической энер-
гии (2.32):
	T						T										(I			012			I				A2			2I				m12			cos							2		) 0									(I		A2					I		m12	cos						2	),
																	(I						I							2I							cos									) 0									(I							I			cos							),
	q1						1							1																																						2
	q1						1
	d			T										(I								I							2I							cos								)						(I					I								cos				)
	dt			q										(I								I		A2					2I				m12			cos								)						(I		A2			I			m12					cos				)
	dt			q									1					012						A2									m12								2							2				A2						m12								2
						1

1[0 0 2Im12 ( sin 2 ) 2 ] 2[0 Im12 ( sin 2 ) 2 ]

1(I012 IA2 2Im12 cos 2 ) 2 (IA2 Im12 cos 2 )

	[2I	m12	sin	2	] 2	[I	m12	sin	2	],
1 2		m12		2	2		m12		2

T T 0 .q1 1

В результате левая часть первого уравнения примет следующий вид:

cos

)

m12

012

[2I

m12

sin

] 2

m12

sin

1 2

Составим второе уравнение Лагранжа

Q2 .

Im12 cos 2 )

(2.34)

(2.35)

Определим левую часть второго уравнения из кинетической энер-

гии (2.32):

T				T					(I		A2	)			(I	A2	I	m12	cos				),
q									(I			)			(I		I		cos				),
q	2							2						1								2
	2				2
d T							(I			)			(I			I		cos			)			(0)
								A2						A2			m12
dt		q
dt		q				2						1								2			2
			2

1(0 Im12 ( sin 2 ) 2 )

2 (IA2 ) 1(IA2 Im12 cos 2 ) 1(Im12 sin 2 2 )

2 (IA2 ) 1(IA2 Im12 cos 2 ) 1 2 (Im12 sin 2 ),

m12

sin

)

m12

sin

) .

В результате левая часть второго уравнения примет вид

cos

)

sin

)

m12

		2 (I			m12		sin			2		)					(I		m12	sin			2	)
			1		m12					2				1	2				m12				2
								d					T			T

								dt					q			q		2
													2					2
	(I	A2	I	m12		cos			2		)				(I	A2		) 2			(I	m12			sin	2	) .	(2.36)
1		A2		m12					2				2			A2				1		m12				2
Определим правые части уравнений Лагранжа. Для этого зададим
возможные перемещения: сначала q1																1 ,				q2			2 0					(рис. 2.4),
затем q1 1		0 ,		q2			2						(рис. 2.5). Из выражений для возмож-

ных работ определим обобщенные силы:

	A1 Q1 q1 M01 1			Q1 M01,
	A2 Q2 q2 M A2 2			Q2 M A2 .
		M				M
		M
	M A2	const		M A2
	M A1			M A1
				M A1	A
	A				A
	A
O			O	const
O			O
	M 01
	M 01			M 01
	Рис. 2.4			Рис. 2.5

В результате уравнения Лагранжа (2.33) и (2.35) принимают следующий вид:

1(I012 IA2 2Im12 cos 2 ) 2 (IA2 Im12 cos 2 )


						[2I		m12	sin		2	] 2			[I		m12		sin		2		] M		01		,
				1	2			m12			2		2				m12				2				01
	(I	A2	I	m12	cos		2	)		(I		A2	) 2			(I		m12		sin		2		) M		A2		.
1		A2		m12			2		2			A2		1				m12				2				A2

Для определения управляющих моментов, обеспечивающих программное движение схвата М для мягкого захвата детали D, перепишем эти уравнения в обратном порядке:

M	01		(I		012		I		A2	2I			m12		cos			2	)				(I	A2	I				m12		cos			2	)
	01	1			012				A2				m12					2				2		A2					m12					2
								[2I		m12		sin				2	] 2			[I	m12		sin				2	],								(2.37)
						1	2			m12						2			2		m12						2
M	A2			(I		A2	I		m12		cos			2	)				(I	A2		) 2 (I				m12				sin		2	).
	A2	1				A2			m12					2			2			A2				1		m12						2

Переведем эти формулы в абсолютные скорости и ускорения с уче-

том (2.27):

M01 1(I012 IA2 2Im12 cos 2 ) ( 2 1)(IA2 Im12 cos 2 )

1( 2 1)[2Im12 sin 2 ] ( 2 1)2[Im12 sin 2 ]

M01 1(I012 IA2 2Im12 cos 2 IA2 Im12 cos 2 )

2 (IA2 Im12 cos 2 ) 12 (2Im12 sin 2 Im12 sin 2 )

22 ( Im12 sin 2 ) 1 2 ( 2Im12 sin 2 2Im12 sin 2 )

M01 1(I012 Im12 cos 2 ) 2 (IA2 Im12 cos 2 )

12 (Im12 sin 2 ) 22 (Im12 sin 2 );

M A2 1(IA2 Im12 cos 2 ) ( 2 1)(IA2 ) 12 (Im12 sin 2 )

1(IA2 Im12 cos 2 IA2 ) 2 (IA2 ) 12 (Im12 sin 2 )

1(Im12 cos 2 ) 2 (IA2 ) 12 (Im12 sin 2 ).

Врезультате всех вычислений получили:

M01 1(I012 Im12 cos 2 ) 2																		(IA2 Im12 cos 2 )								(2.38)
	2		(I		sin				) 2			(I				sin				).						(2.38)
	2		(I	m12	sin			2	) 2			(I	m12			sin			2	).
		1		m12				2			2		m12						2
																										(2.39)
	M	A2	(I			m12	cos			2	)			2	(I		A2	) 2			(I	m12	sin	2	).	(2.39)
		A2		1		m12				2				2			A2			1		m12		2

Мощности двигателей определяются выражениями

N0		M01 1,						(2.40)
N		M			M		( ).
	A		A2			A2
				2			2 1

2.2.3. Уравнения кинетостатики

Разбиваем механизм на звенья и прикладываем к ним внешние и внутренние силы и моменты, а также силы инерции и моменты от сил инерции [4, 5] (см. рис. 2.6).

Звено 1 совершает вращательное движение под действием момента М01. Со стороны звена 2 от двигателя действует реактивный момент МА1. В шарнирах действуют реакции X01, Y01, XA1, YA1. При вращательном движении необходимо приложить момент сил инерции МФ1. Составляем уравнения кинетостатики:

X 0,	X01 X A1 0;
Y 0,	Y01 YA1 0;	(2.41)
M0 0,	M01 M A1 M1Ф X A1l1y YA1l1x 0.

Звено 2 совершает плоско-параллельное движение. Со стороны звена 1 от двигателя действует реактивный момент МА2. В шарнирах действуют реакции XA2, YA2. При плоском движении необходимо приложить силы инерции Ф2х и Ф2y в точке центра тяжести С2 и момент сил инерции МФ2 относительно этой точки. Составляем уравнения кинетостатики:

X 0,	X A2 Ф2 x 0;
Y 0,	YA2 Ф2 y 0;	(2.42)
MC2 0,	M A2 M2Ф X A2lC 2 y YA2lC2 x 0.

							Y			M
								M2Ф		M
								M2Ф
								Ф2 x C2		l2 y
										l2 y
			Y
Y	M1Ф	M A1	Y	A1			M A2	2	Ф	l
Y		M A1		A1	X A1		M A2		Ф	l
					X A1		X A2	2	2 y	C 2 y
1			A		l1y					X
X01 O			A			X	YA2	A		X
X01 O						X	YA2	A
M 01								lC 2 x
Y01		l1x						l2 x
		l1x						l2 x

Рис. 2.6

Врезультате получили систему из шести уравнений (2.41), (2.42),

ккоторым добавляем условия связей для внутренних сил и моментов

X A1 X A2 ,

YA1 YA2 ,

M A1 M A2 .

(2.43)

Здесь силы инерции и моменты сил инерции определяются через абсолютные ускорения

m a

, Ф

2 y

m a

, M Ф I

M Ф I

С2

. (2.44)

2 C 2x

2 C2 y

01 1

Рассмотрим полученную систему из шести уравнений (2.41), (2.42). Исключим из нее внутренние усилия. Для этого из первых двух уравнений (2.41) находим

X A1 X01,

YA1 Y01 .

(2.45)

Тогда из третьего уравнения (2.41) найдем

M	01	M	A2	M Ф X	l	Y l	0 .	(2.46)
	01		A2	1	01 1y	01 1x

Аналогично преобразуем уравнения (2.42):

X A2 Ф2x ,

YA2 Ф2 y ,

(2.47)

M Ф Ф

0 .

(2.48)

2x C2 y

2 y C2 x

Из уравнений (2.45), (2.43) и (2.47) находим

X01 Ф2x ,

Y01 Ф2 y .

Тогда из (2.46)

2 y

0 .

(2.49)

2x 1y

В результате получили два уравнения кинетостатики (2.48) и (2.49):

M Ф

2x C2 y

2 y C 2x

M Ф

2x 1y

2 y

из которых можно определить управляющие моменты в шарнирах О и А:

Ф Ф

(2.50)

2x C2 y

2 y C2x

M Ф Ф

2 x 1y

2 y 1x

В последнюю формулу подставим выражение для момента МА2 (2.50):

M01 M2Ф Ф2xlC2 y Ф2 ylC2x M1Ф Ф2xl1y Ф2 yl1x ,

иокончательно получим

M Ф M Ф Ф

) Ф

2 y

(2.51)

C 2 y

C2 x

В результате получили выражения (2.50) и (2.51) для управляющих моментов, которые зависят только от сил инерции и моментов сил инерции звеньев (2.44).

Определим силы инерции (2.44):

Ф2x m2aC2x ,

Ф2 y m2aC2 y .

Для этого найдем ускорения как производные от скоростей (2.28):

(

) ( l

C2 x

C2x

1 1y

2 C2 y

1 1y

2 C2 y

(

) ( l

C2 y

1 1x

2 C2x

1 1x

2 C2x

Распишем производные, входящие в эти формулы:

1 1,

2 2 ,

)

cos ) l

( sin

sin ) l

1 1

1y 1

cos )

sin

)

1 1

1x 1

cos

)

( sin

)

sin

)

C 2x

C2 y 2

sin

)

cos

)

C 2 y

C 2

C2x 2

Ускорения примут следующий вид:

aC2 x ( 1l1y 2lC2 y ) ( 1l1x 1 2lC2x 2 )

( l

) ( 2l

1 1y

2 C2 y

1 1x

2 C2 x

aC2 y ( 1l1x 2lC2x ) ( 1l1y 1 2lC2 y 2 )

( l

)

( 2l

1 1x

2 C2 x

1 1y

2 C2 y

Тогда силы инерции (2.44) будут вычисляться по формулам

Ф2x m2aC2 x m2 ( 1l1y 2lC2 y ) m2 12l1x

22lC2x ,

(2.52)

Ф2 y m2aC2 y m2 ( 1l1x 2lC2 x ) m2 12l1y 22lC2 y .

Подставим найденные выражения для сил инерции (2.52), а также выражения для моментов от сил инерции (2.44)

M Ф

I ,

M Ф

01 1

в уравнение (2.50):

M A2 IС2 2 m2 1l1y m2 2lC2 y m2 12l1x m2 22lC2x lC2 y

m2 1l1x m2 2lC 2x m2 12l1y m2 22lC 2 y lC 2x .

(2.53)

Учитывая тригонометрические формулы сложения

sin 1 sin 2

cos 1 cos 2

cos( 2 1) cos 2 ,

(2.54)

sin 2 cos 1 cos 2 sin 1

sin( 2

1) sin 2 ,

преобразуем формулу (2.53):

M A2 IС2 2 m2 1 l1ylC2 y m2 2 lC 2 ylC2 y

m 2

l l

m 2

m l l

2 1

1x C2 y

2 2

C2x C 2 y

2 1 1x C2x

m 2 l l

m 2

l l

2x C2x

2 1 1y C2x

2 2

C 2 y C

M A2 2 IС2 m2 lC2 2 y lC2 2x 1m2 (l1ylC2 y l1xlC2x )

2m (l l

)

2m (l

)

1 2 1x C2 y

1y C

2 2

2x C2 y

2 y C2 x

MA2 2 IС2 m2lC2 2

1m2 (l1lC2 sin 1 sin 2 l1lC2 cos 1 cos 2 )

12m2 (l1lC2 cos 1 sin 2 l1lC2 sin 1 cos 2 )

MA2 2 IС2 m2lC2 2

1m2l1lC2 (sin 1 sin 2 cos 1 cos 2 )

12m2l1lC2 (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 );

								M A2 2 IС2 m2lC2 2
			m l l				2	cos(			2	) 2m l l					sin(		2	).					(2.55)
				1 2 1 C			2				2	1	1 2 1 C2						2			1
С учетом обозначений (2.30)											и (2.24)
I	m12	m l l		,	I	012	I		01	m l 2 ,			I	A2	I	C2		m l		2	,		2	2
	m12	2 1 C2				012			01			2 1		A2		C2		2 C2					2	2	1
выражение (2.55) для управляющего момента упрощается:

			M A2 2 (IA2 ) 1(Im12 cos 2 ) 12 (Im12 sin 2 ).																						(2.56)

Аналогичным образом преобразуем выражение (2.51) с учетом формул (2.52):

M01 M1Ф M2Ф

m2 ( 1l1y 2lC2 y ) m2 12l1x 22lC2 x (l1y lC2 y )

m2 ( 1l1x 2lC2x ) m2 12l1y 22lC2 y (l1x lC2x )

M01 M1Ф M2Ф

m l

) m

) m 2

)

2 1 1y

C2 y

2 1 1x

C2 y

m 2

) m l

) m

)

2 2

C 2x

C 2 y

2 1 1x

C2 x

m 2

) m 2

)

2 1 1y

C2 x

2 2

C 2 y

C2 x

M01 M1Ф M2Ф

m2 1[l1y (l1y lC2 y ) l1x (l1x lC2x )] m2 2[lC2 y (l1y lC 2 y )

lC2 x (l1x lC2x )] m2 12[l1x (l1y lC 2 y ) l1y (l1x lC2 x )]

m2 22[lC 2x (l1y lC 2 y ) lC 2 y (l1x lC 2x )]

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

T				T					(I		A2	)			(I	A2	I	m12	cos				),
q									(I			)			(I		I		cos				),
q	2							2						1								2
	2				2
d T							(I			)			(I			I		cos			)			(0)
								A2						A2			m12
dt		q
dt		q				2						1								2			2
			2


						[2I		m12	sin		2	] 2			[I		m12		sin		2		] M		01		,
				1	2			m12			2		2				m12				2				01
	(I	A2	I	m12	cos		2	)		(I		A2	) 2			(I		m12		sin		2		) M		A2		.
1		A2		m12			2		2			A2		1				m12				2				A2

T				T					(I		A2	)			(I	A2	I	m12	cos				),
q									(I			)			(I		I		cos				),
q	2							2						1								2
	2				2
d T							(I			)			(I			I		cos			)			(0)
								A2						A2			m12
dt		q
dt		q				2						1								2			2
			2


						[2I		m12	sin		2	] 2			[I		m12		sin		2		] M		01		,
				1	2			m12			2		2				m12				2				01
	(I	A2	I	m12	cos		2	)		(I		A2	) 2			(I		m12		sin		2		) M		A2		.
1		A2		m12			2		2			A2		1				m12				2				A2

T				T					(I		A2	)			(I	A2	I	m12	cos				),
q									(I			)			(I		I		cos				),
q	2							2						1								2
	2				2
d T							(I			)			(I			I		cos			)			(0)
								A2						A2			m12
dt		q
dt		q				2						1								2			2
			2


						[2I		m12	sin		2	] 2			[I		m12		sin		2		] M		01		,
				1	2			m12			2		2				m12				2				01
	(I	A2	I	m12	cos		2	)		(I		A2	) 2			(I		m12		sin		2		) M		A2		.
1		A2		m12			2		2			A2		1				m12				2				A2