Алгоритмы управления движениями точки и робота-манипулятора. Учебное пособие

Делим одно уравнение на другое:

Обозначим VM K , тогда

VD

Интегрируем последнее уравнение, используя начальные условия, и получаем

ходит при развороте вектора скорости точки М на угол , т.е. точка М догоняет цель и попадает в хвост.

Пример 4. Жесткое касание

Пусть цель движется с постоянной скоростью VD 1238 м/c на по-

стоянной высоте H = 10 000 м. Начальная абцисса обнаружения цели xD = 5000 м. Точка М выпускается из начала системы координат с

постоянной по модулю скоростью VM 1500 м/c.

21

На рис. 1.12 показана траектория точки М. Аналогично, как и в предыдущем методе, силу Р, обеспечивающую полученную зависимость скорости точки М, найдем из уравнения движения

1.3. МЕТОД НАВЕДЕНИЯ ПО ЛУЧУ

ются на одной линии. Рассмотрим случай,

Окогда точка О неподвижна, а точки M и D

движутся. Получим кинематические урав-M

нения метода.

Уравнения движения

Поместим начало координат в точку О и считаем ее неподвижной. В этом методе вектор r | | rM , направлен вдоль rM . Угол, опреде-

22

Здесь

d , dt

23

Свяжем угол со временем. Для этого подставим выражение для rD в (1.24). Получим дифференциальное уравнение для :

Разделим обе части последнего уравнения на ddt , с учетом (1.25) получим

Получили уравнение, связывающее и . Разрешим это уравнение относительно dd :

24

Уравнение (1.29) можно непосредственно решить численно: задавая , вычислить .

Таким образом, задавая 1, 2 ,... , по формуле (1.29) находим соответствующее значение . Далее по формуле

rM VM H sin( ) VD sin2

находим модуль радиуса-вектора, определяющего положение точки М, а по формуле

rD sinH

вычисляем модуль радиуса-вектора, определяющего положение цели.

25

Пример 5. Жесткое касание

Пусть цель движется с постоянной скоростью VD 1238 м/с на по-

стоянной высоте H = 10 000 м. Начальная абсцисса обнаружения цели xD = 5000 м. Точка М выпускается из начала системы координат с по-

стоянной скоростью VM 1500 м/c. На рис. 1.14 показана траектория

Сравнивая методы наведения по времени движения точки М до встречи с целью, отметим, что меньше времени надо по методу параллельного сближения – 7 с, при наведении по лучу – 9 с, по методу погони – 10 с.

Для вычисления силы Р, необходимой для полученной зависимости скорости точки М, используем уравнение движения (1.20).

26

с движущейся деталью D. Деталь движется по произвольной траектории, задаваемой координатным способом. Начальное неподвижное положение манипулятора задано углами поворота звеньев φ10, φ20, положение детали D0 – координатами xD(0), yD(0). К моменту времени t = τ требуется достичь совмещения точек М и D с относительной погрешностью δ, которая определяется [5] через рассогласование их перемещений:

x( ) y( ) .

x(0) y(0)

Для решения поставленной задачи необходимо:

1)составить уравнение движения точки М, а также уравнения угловых движений звеньев механизма;

2)выбрать параметр управления, обеспечивающий за время τ

сближение точек М и D с заданной погрешностью δ;

3) составить алгоритм численного интегрирования методом Эйлера уравнений движения на интервале времени τ.

2.1.2. Уравнения движений

Уравнения движения детали D

Деталь движется по произвольной траектории, задаваемой координатным способом:

Тогда скорости находятся через производные от координат:

Например, если деталь движется по прямой с постоянной скоростью под углом α к оси x, то ее скорости и координаты определяются явно:

28

Уравнения движения схвата М

Введем радиусы-векторы точек М и D (рис. 2.2):

Y rM

rD

O X

Рис. 2.2

29

В качестве стратегии управления движением точки М примем два положения:

– во-первых, вектор относительной скорости должен быть направлен по вектору рассогласования r на точку D;

– во-вторых, по модулю вектор относительной скорости должен уменьшаться по мере приближения к точке D, чтобы в момент захвата обеспечить мягкое касание с нулевой относительной скоростью.

Для этого можно ввести линейную связь между относительной скоростью и рассогласованием, что равносильно линейной комбинации рассогласований и их производных:

Здесь положительная константа k размерностью (1/с) является параметром управления и пока не определена. В более общем случае можно было бы ввести два параметра управления – отдельно по каждому направлению kx и ky, но тогда вектор относительной скорости будет направлен не по вектору рассогласования.

Из (2.4) и (2.5) можем определить скорости точки М:

ния k определен далее, там же даны его количественные оценки в зависимости от требуемой погрешности δ.

Добавим к скоростям их связи с координатами и получим уравне-

30