Алгоритмы управления движениями точки и робота-манипулятора. Учебное пособие

вычисляем константы, не зависящие от времени:

2.Формируем цикл по времени: пока r 0,01.

3.Для очередного шага по времени вычислить:новое положение точки D (цель)

xD , yD , Vdx , Vdy , VD ;

угол наклона вектора скорости цели

D arcsin (Vdy / VD ) ;

угол наклона вектора скорости точки М

arcsin ((VD / VM )sin ( D )) ;

проекции скорости точки М

r (xD xМ )2 ( yD yм)2 .

4. Выдать и нарисовать текущие результаты: ( xD , yD ) ( xM , yM ) t r .

11

Пример 1. Жесткая встреча

Уравнения движения цели:

xD 3cos(t / 3) м, yD 3sin(t / 3) м.

Точка М выходит из начала координат xм 0 , yм 0 . На рис. 1.5 показаны траектории движения точки М и цели D до встречи.

Y,м 2.0

1.5

1.0

0.5

Рис. 1.5

Пунктирная линия показывает траекторию цели. Траектории движения точки М: сплошная линия 1 соответствует скорости точки М 1,2 м/c, сплошная линия 2 соответствует скорости точки М 2 м/c. При уменьшении скорости точки М место встречи сдвигается влево и время

до встречи увеличивается. При VM 2 м/c время движения точки М до встречи равно 1,49 с, а при VM 1,2 м/c время равно 2,5 с.

Пример 2. Жесткая встреча

Цель движется с постоянной скоростью VD =1238 м/c на высоте

H = 1000 м. Начальная абсцисса обнаружения цели xН = 5000 м. Точка М выпускается с постоянной скоростью VM = 1500 м/c. На рис. 1.6 по-

казана траектория точки М. Точка М выходит из начала координат с упреждением, а прямая МD остается параллельной себе во все время движения.

12

Рис. 1.6

1.1.3. Уравнения движения мягкого касания

Формулы, представляющие уравнения движения мягкого касания. остаются такими же, как и в случае жесткого касания (раздел 1.1), только необходимо ввести параметр управления k.

Определение параметра управления

В качестве стратегии управления движением точки М примем два положения:

– во-первых, вектор относительной скорости должен быть направлен по вектору рассогласования r на точку D;

– во-вторых, по модулю вектор относительной скорости должен уменьшаться по мере приближения к точке D, чтобы в момент встречи обеспечить мягкое касание с нулевой относительной скоростью.

Введем положительную константу k следующим образом:

Определим ее для координаты x:

VMx VDx k(xD xM ),

dxM dxD k(xD xM ), dt dt

13

dtd (xD xM ) k(xD xM ),

d( x) k x. dt

Аналогичное уравнение получится для координаты y:

Сравнивая зависимости (1.16) и (1.17) при t = τ z( ) z(0)e k ,

z( ) z(0) ,

14

находим

e k

k ln .

Окончательно

Параметр управления k , определяющий скорость точки М по формулам (1.14), должен быть величиной положительной, так как величина δ много меньше единицы. Чем меньше относительная погрешность сближения δ (1.17), тем больше параметр k, определяющий скорость точки М. Например, для τ = 10 с получаем:

0,1 k 101 ln10 0,230,

0,01 k 101 ln100 0,460,

0,001 k 101 ln1000 0,691.

1.1.4.Алгоритм аналитического расчета мягкого касания

1.Задаем исходные данные.

Уравнения движения цели и проекции скорости цели на оси:

Вычислим начальные положение и скорость цели:

15

D0 arcsin(VDy0 / VD0 ) .

Начальное положение точки М и скорость точки:

новое положение и скорость цели D, угол наклона вектора скорости цели к оси x:

16

рассогласование координат и скорость точки М:

VM VMx2 VMy2 .

3. Выдать и нарисовать графики текущих результатов:

t, ( xD , yD ) , ( xM , yM ) , (VDx ,VDy ,VD ) , (VMx ,VMy ,VM ) .

На рис. 1.7 показаны расчетные траектории точки М (линия 1) и цели D (линия 2) до их встречи. Как видно из рис. 1.8, модуль скорости точки М в начальный момент времени получает скачок, а к моменту

приближения к цели ( 1 с ) становится близкой к скорости цели и по модулю, и по направлению.

17

Определив функцию скорости точки М, необходимую для встречи с целью D, можно, задав массу точки М, найти силу, которая обеспечит полученную зависимость скорости точки М. Эту силу Р найдем из уравнения движения точки для данного метода наведения без учета сил сопротивления:

m dVdtM P mg sin .

18

1.2. МЕТОД ПОГОНИ (МЕТОД ТРЕХ ТОЧЕК)

Уравнения движения

В отличие от предыдущего метода в методе погони вектор скорости точки М направлен всегда в цель. Этот метод используется в самонаводящихся снарядах. Заметим, что уравнение (1.5), полученное в разд. 1.1, справедливо для любого метода. В методе погони вектор

Рассмотрим движение в плоскости. Поместим начало системы ко-

19

r ddt VD sin( D ),

dxdt VM cos , (1.19) dydt VM sin .

Начальные условия к системе (1.19) следующие. При t 0 необходимо задать r0 , 0 , V0 , а координаты точки М в начальный момент

можно положить равными нулю ( x0 0, y0 0 ). При этом так же, как

и в предыдущем методе, необходимо задать начальную скорость точки М V0 по величине больше, чем скорость цели.

Система уравнений (1.19) решается численно. Счет заканчивается

при r 0 . На печать выводятся t, xD , yD , VD , xM , yM , VM . Рассмотрим частный случай в методе погони: движение цели с по-

стоянной скоростью на неизменной высоте D , а скорость точки М VM остается постоянной по величине во все время наведения.

Считаем, что начало координат помещено в точку, с которой начинается переход на метод погони. Пусть в этот момент t t0 , r r0 ,

0 . Дифференциальные уравнения в этом случае

d r VD cos VM , dt

r ddt VD sin .

20