Алгоритмы управления движениями точки и робота-манипулятора. Учебное пособие

Если скорости точки М в текущий момент времени ti найдены, то из этих соотношений можно численным интегрированием методом Эйлера определить ее текущие координаты:

Уравнения угловых движений звеньев манипулятора

Если предположить, что мощности двигателей в шарнирах О и А достаточно для обеспечения любых угловых скоростей звеньев механизма, то можно утверждать, что угловые движения звеньев манипулятора однозначно определяются движением точки М и кинематическими связями, налагаемыми в точке О.

Рассмотрим звено 1 (см. рис. 2.1). Выбираем полюс в точке О. Тогда скорость точки А находим по векторной формуле [5]:

Отсюда находим

VAx VOx 1 OAsin 1 VOx 1l1y ,

(2.8)

VAy VOy 1 OAcos 1 VOy 1l1x .

Здесь введены обозначения проекций длины стержня 1:

Рассмотрим звено 2 (см. рис. 2.1). Выбираем полюс в точке А. Тогда скорость точки М находим по векторной формуле

31

Отсюда находим

VMx VAx 2 AM sin 2 VAx 2l2 y ,

(2.10)

VMy VAy 2 AM cos 2 VAy 2l2 x .

Здесь введены обозначения проекций длины стержня 2:

В разделе «Динамика» нам потребуется скорость центра тяжести звена – точки С2 (см. рис. 2.1). Найдем ее аналогично скорости точки М:

Тогда скорости точек будут определяться следующими формулами:

– для первого звена

VAx VOx 1l1y 1l1y ,

(2.14)

VAy VOy 1l1x 1l1x ;

32

– для второго звена

VMx VAx 2l2 y 1l1y 2l2 y ,

VMy VAy 2l2x 1l1x 2l2x ,

(2.15)

VC2 x VAx 2lC 2 y 1l1y 2lC2 y , VC2 y VAy 2lC2x 1l1x 2lC2x .

Предполагая, что скорости точки М уже найдены из уравнений (2.6), перепишем первые два уравнения (2.15) в следующем виде:

1 l1y 2 l2 y VMx ,

(2.16)

1 l1x 2 l2 x VMy .

Решая эту систему двух уравнений, после несложных преобразований получим

1 (VMxl2x VMyl2 y ) / (l1xl2 y l1yl2x ),

2 (VMxl1x VMyl1y ) / (l1xl2 y l1yl2x ).

(2.17)

К перечисленным уравнениям добавляем дифференциальные зависимости

и получаем систему дифференциальных уравнений в форме Коши. Если угловые скорости в текущий момент времени ti найдены, то из этих соотношений можно численным интегрированием методом Эйлера определить текущие значения углов:

Определение параметра управления

В выражении (2.5) была введена положительная константа k :

33

Определим ее для координаты x:

VMx VDx k(xD xM ),

dxM dxD k(xD xM ), dt dt

dtd (xD xM ) k(xD xM ),

d( x) k x. dt

Аналогичное уравнение получится для координаты y:

34

Сравнивая зависимости (2.20) и (2.21) при t = τ z( ) z(0)e k ,

z( ) z(0) ,

находим

Параметр управления k, определяющий скорость схвата М по формулам (2.6), должен быть величиной положительной, так как величина δ много меньше единицы. Чем меньше относительная погрешность сближения δ (2.21), тем больше параметр k, определяющий скорость точки М. Например, для τ = 10 с получаем:

2.1.3. Алгоритм численного решения на ЭВМ задачи кинематики

1.Задать исходные данные

1.1.Положение и скорость детали. Задать функции:

35

Вычислить начальные положение и скорость детали:

1.2. Начальные положение и скорости звеньев и точек манипулятора:

1.4. Два параметры управления – время погони и относительная погрешность рассогласования координат в конце погони:

3. Цикл по времени. Для очередного шага t = ti = ti – 1 + t вычислить следующее.

3.1. Новое положение и скорость детали: xD (t) fDx (t), yD (t) fDy (t) ,

36

3.4. Внутренние константы – проекции отрезков при старых углах:

3.5. Угловые скорости и новые углы звеньев из (2.17) и (2.18):

1 (VMxl2x VMyl2 y ) / (l1xl2 y l1yl2x ),2 (VMxl1x VMyl1y ) / (l1xl2 y l1yl2x ),

1 10 1 t, 2 20 2 t .

3.6.Выдать (нарисовать) текущие результаты (отладка программы): t, (xD yD ), (xM yM ), ( 1 2 ), ( x y r), (VDx VDy ), (VMx VMy ), ( 1 2 ).

3.7.Оценка окончания:

если t > или = τ, то выйти из цикла на 4, иначе продолжить цикл.

3.8. Определить предыдущие значения для ti – 1:

xM 0 xM , yM 0 yM , 10 1, 20 2 .

3.9.Перейти на 3 для нового шага по времени.

4.Завершить программу.

37

2.2.ДИНАМИКА

2.2.1.Постановка задачи динамики

Для упрощения задачи считаем, что манипулятор работает в горизонтальной плоскости. В этом случае собственный вес не влияет на динамику механизма. Управление манипулятором осуществляется двумя двигателями в шарнирах О и А (см. рис. 2.1).

Требуется из условия мягкого касания схватом М детали D определить управляющие моменты, развиваемые двигателями в шарнирах О и А, как функции времени, а также определить необходимую мощность этих двигателей.

Решать поставленную задачу можно разными способами. Учитывая то обстоятельство, что в литературе по робототехнике [3] чаще используется метод уравнений Лагранжа второго рода, а в теории механизмов и машин – метод кинетостатики [4, 5], будем решать эту задачу двумя методами. Если результаты будут одинаковыми, то это будет служить доказательством отсутствия ошибок в проделанных выкладках.

2.2.2. Уравнения Лагранжа

Уравнение Лагранжа второго рода имеет вид

38

тогда

Здесь ( 1 , 2 ), ( 1 , 2 ) – абсолютные угловые скорости и ускорения;2 , 2 – относительные угловые скорость и ускорение.

Рис. 2.3

Для вычисления левых частей двух уравнений (2.23) определим кинетическую энергию механизма. Звено 1 совершает вращательное движение, звено 2 – плоское движение. Кинетическая энергия звеньев определяется через абсолютные скорости выражениями

39

Преобразуем скобку во втором слагаемом

(l1xlC 2x l1ylC2 y ) (l1 cos 1 lC2 cos 2 l1 sin 1 lC2 sin 2

l1lC 2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) l1lC2 cos( 1 2 ) l1lC2 cos 2

иперепишем скорость в виде

VC22 VC22x VC22 y 12l12 2 1 2 (l1lC2 cos 2 ) 22lC22 .

Подставим скорость точки С2 в кинетическую энергию второго звена

T2 12 m2 12l12 2 1 2 (l1lC2 cos 2 ) 22lC 22 12 IC2 22 .

Кинетическая энергия двух звеньев

40