Maple для студентов физиков. Часть 1. Учебное пособие

Глава 2. Начало работы

Примените Maple для получения этого результата. Подсказки:

Есть несколько источников ошибок.

(1)Вы можете грубо напутать, применив знаки % при решении. Если так получится, то перейдите в

Tools->Options->Display->Output Display и выберите 2-D Math Notation вместо Typeset Notation.

(2)Даже без знаков % вы все еще получаете RootOf. Вы можете заставить Maple решать эти квадратные уравнения, используя команду allvalues. Найдите ее в online help и посмотрите, как она работает, а затем следуйте примеру ниже:

>eq1:=2*x+y^2=5;eq2:=x+3*y=3;

>s:=solve({eq1,eq2},{x,y});

>allvalues(s);

Даже после того как вы это сделаете, ваш ответ не будет выглядеть так же, как в задаче выше.

Чтобы приблизиться к нему, примените команду simplify(...,symbolic);. В этой команде ... означает выражение, которое вы пытаетесь упростить.

Решение дифференциальных уравнений

Пусть вам нужны два общих решения ДУ второго порядка

f'' + xf' + f = 0

где символ ' означает дифференцирование по x. Примените команду dsolve для решения ДУ:

>restart;

>dsolve(diff(f(x),x$2)+x*diff(f(x),x)+f(x)=0);

Переменная _C1 – это произвольный множитель первого общего решения и _C2 – это множитель второго. Оно содержит функцию erf(x), с которой вы пока не встречались (но придется). Решению ДУ посвящена Глава 8.

51

Maple для студентов физиков

Задача 1.19

Найти решение ДУ d y(x) x y(x) . После того, как Maple находит dx

общее решение, найдите значения произвольных констант из условия, что y(0) = 1 путем замены в решении x на 0, замены y на 1, и решении получившегося уравнения относительно _C1. Поставьте в тексте над и внутри группы комментарий к тому, что вы делаете.

В предыдущей задаче пришлось немного поработать, чтобы получить правильные начальные условия. Maple может это сделать сам:

>Eq:=diff(f(x),x$2)+x*diff(f(x),x)+f(x)=0;

>dsolve({Eq,f(0)=1,D(f)(0)=2},f(x));

Подробнее об этом – в главе 8.

Работа с матрицами и решение систем линейных уравнений

В Maple есть целый пакет посвященный матрицам, векторам, линейной алгебре (cм. главу 6).

Рассмотрим небольшой пример решения системы линейных уравнений:

x + 2y + 3z = 6 4x + 5y + 6z = 15

7x + 8y + 10z = 25,

которая построена так, что решением будет [x,y,z] = [1,1,1]. Maple решит эту задачу так: сначала с помощью команды with(LinearAlgebra) надо подключить пакет линейной алгебры. Затем с помощью команды Matrix загрузить матрицу, с помощью команды Vector загрузить вектор правых частей и, последнее, решить систему с помощью команды

LinearSolve.

52

Глава 2. Начало работы

>restart;

>with(LinearAlgebra);

(Если не нужен вывод на экран – ставьте : после выражения)

>A:=Matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]);

>b:=Vector([6,15,25]);

>c:=LinearSolve(A,b);

Задача 1.20

Jack вдвое старше, чем Jill. Сумма возрастов Jill и Jack равна возрасту Joan. Сумма трех возрастов равна 48. Определить возраст каждого. Решите задачу, изменяя приведенный выше пример. Прокомментируйте свои действия между командами Vector и LinearSolve.

Алгебраические действия

Это очень большая тема и одна из причин возникновения Maple. В главе 10 описаны алгебраические команды, которые вы будете применять в этом курсе. Используйте главу 10 в качестве справочника во всех случаях, когда вид ответа вас не устраивает. Затратьте несколько минут и просмотрите «по диагонали» главу 10 до раздела, посвященного матрицам. Пока не стоит вникать во все подробности. Просто ознакомитесь с возможностям, чтобы впоследствии знать, где искать ответ на интересующий вас вопрос. Затем вернитесь в это место и выполните задачу.

Задача 1.21

Используйте команды Maple для упрощения выражения

Вставьте комментарии к тому, что вы делаете (внутри и вне группы). И, в завершение, рассмотрим команды Maple для работы со слу-

чайными числами.

53

Maple для студентов физиков

Функции генерирования случайных чисел и переменных

randomizeO: k:=rand(a..b): k(); with(Statistics): X:=RandomVariable(Normal(a,b));

with(RandomTools): Generate(float(range=(a..b),digits=n)); AddFlavor(x=rand(a..b); SetState(state=value); with(LinearAlgebra): M:=RandomMatrix(n,n,generator=a..b, outputoptions=[shape=triangular[upper]]);

Выполните команды:

iquo(25,3);

irem(25,3); type(x^3*y+sqrt(y)*y,'polynom');

RandomTools[Generate](float(range=(2..9),digits=10)); with(combinat): fibonacci(10000); time(%);

54

Глава 3. ГРАФИКА

Эта глава посвящена методам построения графиков и их применению в физических задачах.

Рассматриваемые темы и задачи

Функции Maple и их опции

55

Maple для студентов физиков

Создание 2D (x-y) графиков

Простейший график – это 2-d, или x-y график. Maple легко рисует и функции и выражения , но синтаксис команд разный и зависит от того, что именно рисуется: функция или выражение.

x 1

Вот график рационального выражения x 1 от x = –5 до x = 0.

Первым делом присваиваем это выражение переменной g и затем рисуем ее.

Учтите, что g – это выражение, а не функция, поэтому для того,

чтобы ее нарисовать нельзя использовать обозначение g(x).

>restart;

>g:=(x+1)/(x-1);

>plot(g,x=-5..0);

Тот же самый график можно получить, используя Maple для представления функций: (в функции намеренно оставлены два аргумента, чтобы вы видели, как построить ее график)

> f:=(x,y)->(x+y)/(x-y);

56

Глава 3. Графика

Чтобы сделать график с осью х, просто задавайте у значения в списке аргументов (у = 1 воспроизводит предыдущий график)

> plot(f(x,1),x=-5..0);

Нарисуем график в большем диапазоне. Заметьте, что вы можете просто ввести выражение внутрь команды plot, без присвоения его переменной.

> plot((x+1)/(x-1),x=-5..5);

Это не единственный график, который нам нужен. Проблема в том, что наша функция сингулярна при х = 1, поэтому Maple пытается показать нам большой диапазон по оси у. Поэтому мы ограничим диапазон по вертикали:

> plot((x+1)/(x-1),x=-5..5,-5..5);

Теперь это выглядит корректнее, но неправильно смотрится вертикальная линия при х = 1.

Maple просто соединяет точки, включая в график скачок от – до. Линию можно вычистить специальной опцией.

Опций много и, чтобы вполне овладеть графикой Maple, их надо знать. Поэтому напишем запрос:

>?plot[options]

инайдем, что нам нужна discont=true, которая говорит, чтобы Maple искал разрыв (duscontinuty) на графике и отключал рисование от точки к точке.

>plot((x+1)/(x-1),x=-5..5,-5..5,discont=true);

Поищемчто-тоболееэкзотическое, ипостроимдвекривыхнаодном графике, выделив их двумя разными цветами. Запрос для цвета:

> ?plot[color]

Можно взять стандартные цвета, можно выбрать какие-то другие. Например, для публикаций лучше, чтобы линии были потолще :

>plot([(x+1)/(x-1),cos(x)],x=-5..5,-5..5,discont=true,color=[navy,tan],thic kness=2);

57

Maple для студентов физиков

Вкоманде список функций помещается в квадратные скобку [ ],

авнутри их функции перечисляются через запятую. Опции, применяемые к отдельным кривым тоже помещаются в квадратные скобку [ ], а внутри их перечисляются через запятую (см. опцию color).

Предупреждение: Maple не всегда следует вашему порядку цветов.

Пример:

Пусть надо нарисовать график движения гармонического осцил-

лятора с затуханием, формула для которого имеет вид e t cos(t) ,

100

от t = 0 до t = 600.

Пишем:

> plot(exp(-t/100)*cos(t),t=0..600);

иувасвозникаетвпечатление, чточто-тонетак. ВынесказалиMaple (а сам он не догадался), сколько точек на графике, поэтому, если функция на графике дергается как сумасшедшая, нужно кое-что исправить.

Примените опцию numpoints, чтобы увеличить разрешение графика:

> plot(exp(-t/100)*cos(t),t=0..600,numpoints=400);

Пример 2: вам часто понадобится определить свое выражение для графика, применяя знак присвавивания (:=):

> F:=cos(omega*t)^3;

Поскольку оно явно зависит от t, мы сможем построить график

> plot(F,t=0..20);

но это не работает.

Получается пустой график – это Maple сообщает вам об ошибке. Причина ее в том, что пока не имеет значений, Maple график построить не может. Исправим ситуацию, задавая значения t и вычисляя соответствующее F.

> t:=7.;F;

но здесь не имеет значения, хотя и присутствует. Тогда присвоим ему значение:

58

Глава 3. Графика

> omega:=1.;plot(F,t=0..20);

– опять не срабатывает. Ну а в чем же дело теперь?

Проблема тоньше, и вы с ней встретитесь неоднократно, при таком способе построения графика.

Вы могли увидеть причину ошибки, вспомнив, что раньше задавали t значение равное 7. Maple помнит это присваивание и не хочет позволить применять t как текущую переменную на графике.

Чтобы исправить ситуацию, нужно отменить это присваивание командой unassign, аргументом которой будет 't', и затем запустить снова.

> unassign(‘t’);omega:=1;plot(F,t=0..20);

или применить сокращенную версию команды unassign:

> t:=’t’;omega:=1;plot(F,t=0..20);

Читается это так: «присвоить t ей самой (вернуть t собственному имени), стерев любые предыдущие присваивания».

Более «чистый» способ – никогда не делать присваивания с помощью знака :=, а применять команду замены subs, как ниже:

>restart;

>F:=cos(omega*t)^3;

>plot(F,t=0..20);

>subs(t=7.,F);

>plot(subs(omega=1,F),t=0..20);

Команды t = 7 и omega = 1 применяются только внутри команды subs. После этого переменные t и omega остаются неприсвоенными:

> t;omega;

Чтобы строить неплохие графики вам нужно знать как строятся надписи.

Чтобы ввести подписи к осям примняется опция: labels=["x","y"]. Для маленького заголовка – опция title="This is the title".

А если надо ввести текст где-то еще в графике – см. textplot в

Maple help.

Вот несколько примеров.

59

Maple для студентов физиков

> plot(sin(x^2),x=0..2*Pi,labels=["x","y(x)"],title="sin(x^2) function");

Заметьте, что в Maple sin(x^2) не печатался в принятом в математике виде. Хотелось бы знать, как такое сделать на графике. В ограниченномвидедоступныгреческиебуквыпутемзаменышрифтаlabelfont или titlefont на SYMBOL, как ниже (греческий алфавит специально подавлен , так что вы видите, как он кодируется)

>plot(exp(x/6),x=0..2*Pi,labels=["abcdefghijklmnopqrstuvwxyz","y(x)"], title="ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ",labelfont=[SYMBOL],titlefo nt=[SYMBOL]);

Ксожалению, я не знаю, как поставить смесь латинского и греческого алфавитов в знаках и заголовках.

Здесь нужны возможности работы с текстом, как в LaTex или MatLab, где такое возможно.

Обзор основных функций

Графическое представление функций математической физики (обзор).

Задача 2.1

Нарисуйте на одном графике функции sin(x), cos(x) и tan(x) в масштабе по горизонтали от –2π до 2π и по вертикали от –2 до 2. Список функций поместите в команду plot, задав каждой функции свой цвет.

cosh(x).

И наконец, на том же графике нарисуйте функции sinh(x), cosh(x) и tanh(x) и смотрите на них, пока не запомните, как они выглядят.

60