Maple для студентов физиков. Часть 1. Учебное пособие

Глава 9. Программирование: логика, циклы, процедуры

Vec1:=Vector(<a1,...,an>); Vec2:=Vector(1..n,[a1,...,an]); Matrix(n,m,[a11,a12,...,anm]]); Matrix(n,m,symbol=a); Matrix(<<a11,a21,a31>|<a12,a22,a32>>); Matrix(n,m,fill=1); Matrix([[a11,a12],[a21,a22],[a31,a32]]);

f:=(x,y)->expr; Matrix(n,m,(i,j)->f(i,j)); Matrix([[a11,...],..,[an1,...]]);

Sequences, lists, sets (Последовательности, листы, наборы) – это группы выражений. Maple сохраняет порядок и повторение в последовательностяхилистах(sequences иlists) инесохраняетвнаборах(sets). Порядок в наборах (sets) можно изменять в течение сессии Maple. table (таблица) – группа выражений, представленная в табличной форме. Каждый имеет индекс (целое или любое выражение) и значе-

ние (см. ?table).

array (массив) – таблица с целочисленным диапазоном индексов (см. ?Array). В Maple массивы могут быть любой размерности (зависит от памяти).

Vector (вектор) одномерный массив с положительным диапазоном целых индексов (см. ?vector, ?Vector).

matrix (матрица) двумерный массив с положительным диапазоном целых индексов (см. ?matrix, ?Matrix).

a:=5; b:=7; Rangel:=a..b; S1:=x,y,z,a,b,c; LS1:=[S1]; SS1:={S1};

L1:=[sin(x),cos(x),sin(2*x),cos(2*x)]; Set1:={x,y,z}; A1:=Array(-l..3); All:=array(-l..3); A2:=Array(l..4,[1,2,3,4]);

Основные операции со структурами данных:

Создание пустых структур, NULL, : =, [ ] .

Seq1:=NULL;

List1:=NULL; List2:=NULL; List3:=[]; Set1:={}; Set2:=NULL; Tab1:=table(); Array1:=Array(-10..10); Vec1:=Vector(10); Matrix1:=Matrix(10,10);

Связанные структуры, | |, op, [ ], cat. k:=1; Seq1:=seq(i,i=1..9);

201

Maple для студентов физиков

List1:=[Seq1];

a||Seq1; «Seq1»||(1..9); k||(1..9); cat(a,Seq1); op([List1,List1]); cat(Seq1,Seq1);

Извлечение i-го элемента из структуры, [ ], op, select,has. Seq1:=seq(i^2,i=1..9); List1:=[Seq1]; Set1:={Seq1}; Array1:=Array(1..9,1..9,[List1,0,List1,0,List1,List1]);

i:=5; j:=2; List1[i]; op(i,List1); Array1[i,j]; op(i,Set1);

element:=9; select(has,Set1,element);

Определение числа элементов в структуре, nops. List1:=[x,y,z]; Set1:={op(List1)}; nops(List1); nops(Set1);

Создание структуры, op, [ ]. Seq1:=x||(1..9); List1:=[Seq1]; Set1:={Seq1}; n:=nops(List1);

List2:=[Seq1,Seq1];

n1:=2; n2:=5; List3:=[op(n1..n2,List1)]; List4:=List1[n1..n2]; Seq2:=op([(n1..n2)],List2); Set2:={op(n1..n2,Set1)}; Set3:=Set1[n1..n2]; Seq3:=op([(n1..n2)],Set1);

Здесь n1 ≤ n2 ≤ n и n – число элементов List1.

Замена i-го элемента структуры, : =, [ ] subsop, subs, evalm. Seq1:=x[i] $ i=1..9; List1:=[Seq1]; i:=5; j:=2; val:=20; List1[i]:=val;

evaln(List1)=List1; List2:=subsop(i=val+1,List1); A:=Matrix(1..i,1..i,symbol=s); A1:=subs(s[i,j]=cos(a+b),A);

Вставка элемента или нескольких элементов в структуру,

[ ], op.

n1:=2; n2:=5; Seq1:=x[i] $ i=1..9; List1:=[Seq1]; List2:=[op(List1),A1]; List3:=[A1,op(List1)];

List4:=[op(n1..n2,List1),A1,A2,A3,A4,op(List2)];

202

Глава 9. Программирование: логика, циклы, процедуры

Создание структуры согласно формуле или обладающей особы-

ми свойствами, например, нуль, равенство, разреженность, симметричность, диагональность и т. п.

f:=x->cos(x); n:=0; m:=3; List1:=[seq(f(i*t),i=n..m)]; Set1:=map(x->x"2,{x,y,z}); List2:=[op(Set1)]; Matrix1:=Matrix(m,m,(i,j)->i+j); Vector1:=Vector(m,i->i"2); with(LinearAlgebra): ZeroMatrix(m,m); IdentityMatrix(m,m);

Операции с sets, matrices:

объединение или пересечение sets, удаление элементов из sets, сумма , разность умножение, деление, скалярное умножение матриц, union, intersect, minus, remove, has, evalm, &*.

Set1:=map(x->x"2,{x,y,z});

Set2:=map(x->cos(x),{x,y,t}); Set3:=Set1 union Set2; Set3:=Set1 intersect Set2; Set3:=Set1 minus Set2; Set2:=remove(has,Setl,A1); M1:=Matrix(3,3,symbol=a); M2:=Matrix(3,3,symbol=b); Mat3:=M1.M2; Mat4:=evalm(M1&*M2);

Применение функции к каждому элементу structure, map, apply, applyop.

Setl:={a||(1..9)}; func:=x->cos(x); Set2:=map(x->x”2,Setl); Set2:=map(func,Setl); apply(f,op(Setl)); applyop(func,{2,3},Setl);

203

Глава 10. СИМВОЛЬНАЯ АЛГЕБРА

Эту главу можно использовать как справочник символьной математики Maple. Например, если нужно улучшить

внешний вид получившегося результата.

Рассматриваемые в главе вопросы/задачи

204

Глава 10. Символьная алгебра

Упоминаемые в главе команды Maple

Выполнив работы предыдущих глав, вы овладели основами работы в Maple: дифференцированием, интегрированием, решением уравнений, дифференциальных уравнений и др. Эти знания понадобятся как первая ступень в овладении системой символьных вычислений.

205

Maple для студентов физиков

Для дальнейшего, возможно, понадобятся месяцы или даже более, но эти усилия никогда не пропадут зря. Maple, в отличие от человека, никогда не пропустит знак минус или множитель 2, но только вы можете задать нужный «красивый» стиль представления результатов.

В этой главе перечислены команды, которые нужны для хорошей работы в Maple.

copy and paste

Maple почти никогда не даст вам в точности то, что вы хотите, поэтому вам придется всегда работать с какими-то ручными алгебраическими выкладками. Однако возможности редактирования, (применяя обычные копирование-вставку ctrl-c и ctrl-v) позволяют удобно сочетать возможности рабочего листа Maple и алгебраических выкладок «вручную».

expand

Примеры того, что может expand (разложить)

>a:=(x-1)^2*(x+2);

>expand(a);

>b:=cos(x+y);

>expand(b);

>c:=exp(x-y);

>expand(c);

>d:=ln(x/(1+x^2));

>assume(x,real);expand(d);

>e:=tan(x-y);

>expand(e);

Эта команда – вторая половина универсальной мепловской пары, применяемой для алгебраических упрощений. Вторая – это simplify(expand(%)).

Есливрезультатерасчетовполучаетсяалгебраическоевыражение, которое требует помощи, то пробуйте применять эту комбинацию.

combine

Это команда, обратная expand. Обе они знают тригонометрические равенства, но не столь много, как хотелось бы.

206

Глава 10. Символьная алгебра

>restart;

>a:=cos(x+y);

>expand(a);

>combine(%);

>b:=exp(x-y);

>expand(b);

>combine(%);

>c:=ln(x/(1+x^2));

>assume(x,real);expand(c);

>combine(%);

>restart;

>a:=tan(x-y);

>expand(a);

>combine(%);

Иногда это не работает. Попытаемся применить expand и simplify и посмотрим, что получится.

> expand(%);simplify(%);

Иногда вы не понимаете, чего хотите.

simplify

Maple пытается угадать, что вы хотите сделать этой командой, причем не всегда успешно. Нужно творчески обходиться с этой и с другими обсуждаемыми здесь командами, чтобы получить именно то, что вы хотите. Хорошо скомбинировать expand, simplify и combine. И не забывайте, что можно изменять форму представления с помощью вставки-копирования:

>restart;

>a:=cos(x)^2+sin(x)^2;

>simplify(a);

>b:=(x^2-2*x+1)/(x-1);

>simplify(b);

>c:=cos(x)^2-sin(x)^2;

>simplify(c);

>d:=2*sin(x)*cos(x);

>simplify(d);

>combine(c);combine(d);

207

Maple для студентов физиков

Поиграйте с этими командами, чтобы хорошо овладеть работой с ними. При этом всегда пытайтесь, прежде всего, использовать опцию symbolic:

>restart;

>cc:=sqrt((a^2-b^2))/sqrt(a-b);

>simplify(cc);

>simplify(cc,symbolic);

simplify with side-relations

Вы можете использовать simplify с побочными условиями («боковиками», side-relations) (см. ?simplify/siderels). Они предназначены для того, чтобы сказать Maple о том, какие величины вы хотите использовать, чтобы привести ваши выражения к желаемому виду. Например, предположим, что вы хотите привести выражение cos(x)4 – 3 + cos(x)2 к новому виду, содержащему 2x вместо x путем использования

соотношения cos(x)2 1 cos(2x) . Это делается так: 2

>f:=cos(x)^4-3+cos(x)^2;

>simplify(f,{cos(x)^2 = (1+cos(2*x))/2});

(Обратите внимание, что боковики должны записываться внутри фигурных скобок.) Вы можете думать, что это всего лишь замена (см. команду subs ниже), но для Maple это не то же самое:

> subs(cos(x)^2=(1+cos(2*x))/2,f);

Использование боковиков – это своего рода умная замена, в которой Maple пытается заменить все, что может, используя заданное вами соотношение. Боковик помещается в фигурные скобки, причем можно определить сразу несколько величин в конструкции simplify(ex pression,{side1,side2,side3});

>f:=cos(x)^4+1-cos(x)^2-sin(x)^2+3*sin(x)^6;

>s1:=cos(x)^2=(1+cos(2*x))/2;

>s2:=sin(x)^2=(1-cos(2*x))/2;

>simplify(f,{s1,s2});

208

Глава 10. Символьная алгебра

sort

sort располагает выражения, в особенности полиномиальные, в порядке от высшей степени к низшей

>sort(2-3*x^2-x+x^4);

>sort(1-cos(x)^2+cos(x));

factor

factor пытается записать полиномы как произведение членов:

> factor(x^2-6*x+8);

collect

Это вариант «половины» команды factor. Возможно, что вы видите полный множитель в рамках большего по размерам выражения и вы бы хотели собрать вместе все члены, которые его содержат, как член ln(y) ниже. Делаем так:

>F:=x*ln(y)-5*x + 3*ln(y)+5*exp(y);

>collect(F,ln(y));

Если вы хотите собрать больше, чем один множитель, дайте список множителей в collect, как показано ниже:

>F:=a*x*sin(y)+b*a*x/cos(y);

>collect(F,[x,a]);

solve

Этого мы еще не видели. Команда решает уравнение относительно определенной переменной. Если эта переменная очевидна, поскольку она в уравнении одна, то можно не указывать относительно какой переменной идет решение. Если в уравнении нет знака =, то Maple полагает, что не дописанное = 0.

>solve(x^2-6*x+8);

>solve(ln(y/x)=3,y);solve(ln(y/x)=3,x);

>solve(1-tan(x)^2=-2,x);

209

Maple для студентов физиков

Можете ли вы указать отличия между следующим выражением и тем, что написано выше?

> solve(1-tan(x)^2=-2.,x);

Если вы дали Maple уравнение, не имеющее решения, то он возвратит его вам или не даст ответа. Обратите внимание, что нарисованная ниже функция никогда не становится больше 1.

> plot(1-tan(x)^2,x=-Pi..Pi,-3..3);

так что бесполезно пытаться найти, где она равна 2:

> solve(1-tan(x)^2=2,x);

Maple не может решить его, поэтому он возвращает без ответа.

allvalues

Эта команда может подсказать Maple дать вам ответы вместо того, чтобы оставить решение в форме RootOf, особенно, если вы связали их с evalf:

>eq1:=x^2+2*y=5;eq2:=x-y^5=3;

>s:=solve({eq1,eq2},{x,y});

>evalf((allvalues(s)));

normal

Нормальная форма рациональных функций для общего знаменателя

>normal(1/x + 1/(x+1));

Ачто получится, если вы попытаетесь разложить результат?

>expand(%);

Он раскладывается, но не назад, в исходный вид. Чтобы вернуться к исходному виду, следует применить команду convert.

numer and denom

Maple разрешит вам сослаться непосредственно на числитель или знаменатель дробного выражения, вроде этого:

210