Maple для студентов физиков. Часть 1. Учебное пособие

Глава 7. Решение уравнений

solve и fsolve можно применять для решения нелинейных систем, т. е. систем уравнений, в которых перемененные – квадраты, кубы, синусы, экспоненты и т. п. Например, вот набор двух нелинейных уравнений

>restart;

>E1:=x^2-y=5;E2:=x-y^2=-13;

Вначале попробуем применить команду solve:

> s:=solve({E1,E2},{x,y});

Чтобы получить уравнение для х, Maple исключил у из Е2 с помощью Е1. Затем он факторизовал это квадратное уравнение, выдал ответ (x,y) = (3,4) и свел оставшуюся часть задачи к кубической. Если завершить задачу командой evalf, получим

> evalf(s);

Но если нарисовать кубическую часть в RootOf (для оценки положения корней), то увидите, что есть еще два решения. Где же они? Попробуйте применить fsolve, и получите:

> s:=fsolve({E1,E2},{x,y});

что еще хуже, так как дает один корень. Для поиска корней можно задавать примерно правильные числа в качестве подсказок для fsolve:

> s:=fsolve({E1,E2},{x=2.9,y=4.1});

Есть способ заставить Maple дать все 4 корня. Просто повторяйте процедуру, но с заменой всех целых чисел на числа с плавающей точкой:

>restart;

>E1:=x^2.-y=5.;E2:=x-y^2.=-13.;

>s:=solve({E1,E2},{x,y});

Из этого – урок: будьте изобретательны и пробуйте разные пути решения задачи и, возможно, один сработает.

В Maple есть другой полезный инструмент для случая, когда у вас есть два нелинейных уравнения с двумя неизвестными. Точно так, как

151

Maple для студентов физиков

в задачах с одной переменной было полезно сначала строить график, чтобы посмотреть, где есть решения, то в данном случае двумерные графики помогут искать корни двух неизвестных. Применяется команда построения графиков implicitplot, которая берет уравнение с двумя переменными, вроде такого: x2 – y = 5 и строит определяющую их кривую в плоскости x, y (учтите, что для добавления команды графики надо вначале загрузить пакет графики: with(plots)):

>with(plots):

>implicitplot(x^2-y=5,x=-3..3,y=-6..3);

Чтобы применить это для графического поиска решений двух уравнений, просто постройте оба уравнения на одном графике и посмотрите, где две кривые пересекают друг друга:

> implicitplot({x^2-y=5,x-y^2=-13},x=-14..4,y=-6..5,numpoints=5000);

Из картинки ясно, что две параболы взаимодействуют в четырех местах, поэтому должно быть четыре решения. Окно вашего графика должно быть достаточно большим, чтобы увидеть всю картинку. Вот что получится, если окно графика слишком мало:

> implicitplot({x^2-y=5,x-y^2=-13},x=-3..3,y=-5..3,numpoints=5000);

Если у вас есть три нелинейных уравнения с тремя переменными implicitplot3d может сделать нечто подборное (см. Maple help).

Задача 6.5

Найдите все решения (Re и Im) набора уравнений

y2 – x2 = –2

x – y3 = 3.

Прежде чем решать, примените implicitplot для построения картинки, которая поможет определить количество корней, которые придется искать.

Вот еще нелинейный набор для проверки Maple.

>restart;

>E1:=cos(x)+y-sqrt(z)=-.191748502;E2:=x*y*z=3;E3:=x+y+2*z=8;

152

Глава 7. Решение уравнений

Вначале попробуем solve

> solve({E1,E2,E3},{x,y,z});

Maple на мгновение задумается, но ничего не произойдет. Теперь попробуем fsolve с диапазонами для каждой переменной:

> fsolve({E1,E2,E3},{x,y,z},{x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3});

похоже на то, что (x,y,z)=(1,1,3) достаточно близко к решению. Предупреждаю, что в трех и более измерениях Maple может ошибиться и работать, несмотря на то что: (a) вы знаете, что здесь есть решение и

(b) вы говорите, где искать примерное значение.

Для лучшего понимания, где следует искать решение, можно при-

менить implicitplot3d:

>with(plots):

>implicitplot3d({E1,E2,E3},x=-5..5,y=-5..5,z=0..5);

Щелкните на рисунке и покрутите его, чтобы разглядеть подробнее. После этого рекомендую перерисовать график так, чтобы он был вблизи известного решения: [x,y,z] = [1,1,3]:

>implicitplot3d({E1,E2,E3},x=.5..1.5,y=.5..1.5,z=2.5..3.5,grid=[20,20,20]);

Всередине графика все три поверхности E1, E2, и E3 пересекаются в точке. Это и есть то, что вы искали с помощью implicitplot3d, но вообще-то сложно рассмотреть, что происходит в трех измерениях.

Задача 6.6

См. вторую часть Пособия.

Задача 6.7

Пусть гладкая функция y(x) представлена тремя точками (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). В качестве приближения этой функции, предположите, что эти три точки определяют параболу вида y(x) = a + bx + cx2, для чего есть три аппроксимирующих уравнения для нахождения коэффициентов параболы a, b, c. Постройте эти три уравнения и используйте solve, чтобы найти формулы для a, b, и c, и затем определите выражение Maple для параболы.

153

Maple для студентов физиков

Оно выглядит сложно, но для равноотстоящих точек оно выглядит вполне приемлемо. Положите: x2 = x1 + h и x3 = x1 + 2h и упростите выражения для a, b, c.

Раз у вас есть приближенная форма для функции, вы можете ее по-разному использовать:

(a) Оцените площадь под кривой между x1 и x3 путем интегрирования параболы между этими двумя пределами. Получится правило Симпсона.

Чтобы посмотреть, как функционирует этот приближенный инте-

грал, задайтеx1=0, x2=0.5, x3=1.0 иy1=cos(x1), y2=cos(x2), y3=cos(x3), при этом ваша приближенная площадь будет близка к 10 cos(x)dx sin(1) .

(b)оцените производную функции y(x) в средней точке х2 путем дифференцирования параболы и вычисления значения производной

вx=x2. Эта формула называется формулой центральных разностей для первой производной. Проверьте ее точность при x2=0.5, используя x1=0.4 и x3=.6 с функцией y(x) = ex.

(c)Оцените вторую производную функции y(x) в x2 путем дифференцирования формулы для параболы еще раз. Это центральная вторая производная для равноотстоящих точек. Проверьте ее точность, как в части (b).

Эти формулы дифференцирования и интегрирования понадобятся вам в курсе физики.

154

Глава 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения – это язык физики. Maple поможет вам их решать.

Рассматриваемые в главе вопросы/задачи

Разделы:

Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения второго порядка Системы дифференциальных уравнений

155

Maple для студентов физиков

Численное решение дифференциальных уравнений Стрельба (дополнительная тема)

Как дифференциальное уравнение создает кривую? Нелинейная динамика и хаос (дополнительная тема)

Упоминаемые в главе команды Maple

Дифференциальные уравнения первого порядка

В этой части Maple рассматривает ДУ как обыкновенные, используя команду diff.

Замечание: многие задачи физики основаны на ДУ в частных производных. Для этого есть специальный пакет Physics, который разработан для решения таких ДУ. Описанию работы с этим пакетом посвящено отдельное учебное пособие.

Начнем с запроса к Maple: решить ДУ радиоактивного распада. Если скорость распада атомов в образце равна g (размерность 1/сек), то уравнение для определения числа все еще остающихся в об-

разце радиоактивных атомов:

>restart;

>E1:=diff(N(t),t)=-g*N(t);

добавим начальное условие: в момент времени t = 0 в образце было N0 радиоактивных атомов.

Задача – найти функцию N(t). Maple решает эту задачу с помощью команды dsolve.

> dsolve(E1,N(t));

156

Глава 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Как и ожидалось, решением является спадающая экспонента. Поскольку мы еще не задали начальное условие, то в начале будет неизвестная константа. Ее значение найти несложно: при t = 0 экспонента = 1, поэтому константа _C1 = N0. Но dsolve может принимать начальные условия и сделает эту небольшую работу за вас. Для этого замените первый аргумент dsolve набором, который содержит E1 и начальное условие, как ниже (см. запрос ?dsolve,initial_conditions).

> dsolve({E1,N(0)=No},N(t));

Получим график этого решения. Для этого зададим Maple значения N0 и g:

> No := 5;g:=3;

Затем сделаем то, что может странно выглядеть. Из решения, полученного dsolve берем правую часть выражения и передаем в график. Для этого напишем:

plot(

затемостановимся, примениммышьдлявыделениявыражениявправой части написанного выше N(t)=... и вставим его внутрь. Но это неудобно, лучше воспользоваться возможностью Maple дать вам доступ к найденному решению. Один из способов – присвоить решение переменной

> S1:=dsolve({E1,N(0)=No},N(t));

Теперь на решение можно сослаться по имени S1, а также можно сослаться на само решение с помощью rhs(S1). Делается это так:

> plot(rhs(S1),t=0..3);

Заметьте, что команда rhs собирает правую часть уравнения. Легко догадаться, что делает команда lhs.

Другой путь – нарисовать результаты. Для этого Maple нужна переменная с именем N(t), которую можно использовать в качестве выражения в команде plot. Синтаксис: assign(S1);.

> assign(S1);

и затем мы можем использовать

157

Maple для студентов физиков

> plot(N(t),t=0..3);

Естественный вопрос – что стало с N? Посмотрите:

> N;

в ней ничего нет.

Проблема в том, что Maple сделал что-то для него естественное, но странное для нас.

Он достаточно точно взял результат для S1, что есть N(t) = 5е(–3t) и «отфильтровал», создав выражение, названное N(t).

Посмотрите на t:

> N(t);

имеет смысл продифференцировать его

> diff(N(t),t);

Имеет смысл решить для случая, когда он = 1

> solve(N(t)=1,t);

Но вы легко увидите, что это не функция, которой вы можете задавать значения, сделав так:

>N(5);

Иесли вы попытаетесь дать t значение, а затем вычислить выражение N(t), ничего не получится, но разрушится N(t):

>t:=3;

>evalf(N(t));

>solve(N(t)=1,t);

Проблема, кажется, в том, что символ N(t), который появился без присваивания – это смесь выражения и функции, поэтому, если вы хотите использовать assign вместо rhs, и зачастую так делать кажется естественным, но будьте очень внимательны с присваиванием значений тому, что появится в выражении. Также учтите, что вы не можете снова вернуться к dsolve с другим начальным условием, потому что N(t) разрушено. Теперь следует применить restart.

158

Глава 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения

> S1:=dsolve({E1,N(0)=3},N(t));

>

Это выглядит настолько неприятно, что, возможно, вы никогда не захотите применять assign. Но assign создает график. Другие команды выглядят настолько проще, чем с rhs, что не имеет смысла упоминать ее. Но не планируйте использовать только ее; часто самым безопасным является использование rhs.

В конце отметим, что в командах plot, solve и в дифференцировании то, что в вызове N(t) выглядит как использование функции N, на самом деле является использованием выражения expression (или нечто вроде выражения с именем N(t)). Если это запутывает, посмотрите разницу между выражением и функцией в Главе 3.

Задача 7.1

Дифференциальное уравнение для тока i(t) в контуре, содержащем батарею ε, сопротивление R, и индуктивность L:

зя применять в другом смысле.)

Решите это ДУ для тока и нарисуйте результат, если в начальный момент времени ток = 0, L = 0.001 H, R = 100Ω, и ε = 6V.

Задача 7.2

Задача о взрывном росте.

Пусть у вас есть некий процесс, в котором скорость роста величины у пропорциональна степени y, например, y2 или y3.

Примените Maple к этим двум случаям, решив ДУ вида

y yp .t

В обоих случаях (p = 2 и p = 3) начальное условие y(0) = 1. Нарисуйте решение в достаточно большом временном интервале,

чтобы вы могли увидеть «взрыв».

159

Maple для студентов физиков

Задача 7.3

Рассмотрим относительно безвредное ДУ первого порядка

y sin(xy) при y(0) = 1.

x

Попросите Maple решить его и посмотрите, что случится. Попытайтесь решить его в разделе, посвященном численному ре-

шению ДУ.

Некоторые полезные опции dsolve.

implicit: если у вас есть ДУ для y(x), но думаете, что решение может быть проще, если y(x) не решать явно, примените опцию implicit:

>eq:=diff(y(x),x)=sin(y(x))/cos(x);

«Явное решение»

>dsolve(eq);

«Неявное решение»

> dsolve(eq,implicit);

Учтите, что мы не имеем решения в виде y(x) = чему-то, а вместо этого имеем уравнение, содержащее y(x), которое все еще надо решать.

parametric: иногда комбинированная опция implicit, parametric сможет дать вам красивое решение вместо жуткого:

>eq:=diff(y(x),x)^2-diff(y(x),x)+y(x);

>dsolve(eq);

>dsolve(eq,implicit,parametric);

Вэтом решении _T это параметр, изменение которого дает оба – у и х, а, следовательно, дает (неявно и параметрически) y(x). Попробуйте применить этот метод, если вам вернулось решение с декларацией

RootOf.

Дифференциальные уравнения второго порядка

ДУ второго порядка часто встречаются в физике: закон Ньютона,

уравнение Шредингера, диффузия...

160