Maple для студентов физиков. Часть 1. Учебное пособие

Глава 5. Комплексные числа и функции

Для y: функция просто осциллирует как косинус и синус, которыми она и является.

Это смешивание экспоненты вместе с синусом и косинусом дает несколько интересных формул, которые вы проверите в следующей задаче.

Задача 4.4

Используйте Maple для проверки следующих функциональных равенств.

Сначала сделайте запрос ?evalc, прочтите его и поищите примеры, а затем примените эту команду для проверки этих равенств.

Описание команды evalc (из справки)

evalc применяется для работы с комплексными выражениями вида sin(a+I*b), путем разделения их на Re и Im части. По возможности вывод результатов evalc делается в канонической форме expr1 + I*expr2.

Основное предположение, заложенное в evalc – что неизвестные переменные представлены в виде действительных величин. Напри-

мер, evalc(Re(a+I*b)) = a и evalc(Im(a+b)) = 0. Более того, evalc также предполагает, что неизвестная функция действительной переменной – тоже действительная функция.

Для переопределения этих, задаваемых по умолчанию, предположений можно применить команду assume. Например, assume(u::complex) говорит evalc, что u не обязательно real. Учтите, что некоторые варианты использования команда assume неявно подразумевают real и только, а другие – нет. Например, assume(u<1) пола-

гает, что u – real, но assume(v^2<1) и assume(abs(v)<1) не подразуме-

вают, что v – real.

Команда evalc отображается на списки, множества, уравнения и отношения. Применение evalc к комплексному ряду тоже будет рядом, коэффициенты которого имеют канонический вид (как выше).

111

Maple для студентов физиков

Когда evalc работает с функцией, разложение которой на Re и Im части неизвестно (как для f(1+I) с неопределенной f), то она пытается представить аргументы в канонической форме.

evalc распознает стандартные функции Re, Im, abs, и conjugate. Когда при обращении к evalc вызываются эти функции, то к ним применяются упомянутые выше предположения.

Например, evalc(abs(a+I*b)) = sqrt(a^2+b^2).

Комплексное выражение можно представить в evalc в виде polar(r,theta), где r – модуль и theta – аргумент выражения.

Полный список функций, известных evalc, см. evalc[functions]. Вызовите справку, чтобы посмотреть примеры.

Задача 4.5

Сделать 3D графики поверхности в комплексной плоскости Re ча-

стей cos(z) и sin(z) и Im части tan(z), где z = x + iy.

Для sin и cos диапазон x -9..9, для y -5..5; для tan: -5..5 и -3..3. По-

смотрите на них...

Для тангенса вам придется иметь дело с сингулярностями. Применитеопциюview ввидеview=-5..5. ЭтопредохранитMaple отпопытокрисовать до бесконечности. Для более тонкой сетки примените grid=[30,30].

Перейдем к степенной функции zp в комплексной плоскости. Для ее изображения легче использовать полярное представление: zp = rpe(ip ). Для целых степеней ее поведение несложно изобразить. Амплитуда увеличивается с ростом , а при изменении полярного угла комплексная экспонента осциллирует быстрее.

Задача 4.6

Создайте 3D графики Re частей функций z2 и z5 в диапазоне -3..3 по х и у для z2 и в меньшем диапазоне для z5.

Для нецелых степеней ситуация сложнее.

Рассмотрим на примере квадратного корня = 1/2. Ниже представлены 3D графики этой функции.

Первый график: амплитуда выглядит как нормальный квадратный корень, повернутый относительно оси, т. е. то, что и ожидалось. Для отрицательных х: с реальной частью графика происходит нечто забавное, а в Im части графика ситуация становится намного хуже.

112

Глава 5. Комплексные числа и функции

plot3d(abs((x+I*y)^(1/2)),x=-1..1,y=-1..1,shading=z,axes=framed,labels= ["x","y","|f|"],orientation=[-60,45],title="Magnitude",grid=[40,40]);

>plot3d(Re((x+I*y)^(1/2)),x=-1..1,y=-1..1,shading=z,axes=framed,labels= ["x","y","Re(f)"],orientation=[-60,35],title="Real Part",grid=[40,40]);

>plot3d(Im((x+I*y)^(1/2)),x=-1..1,y=-1..1,shading=z,axes=frame

d,labels=["x","y","Im(f)"],orientation=[-60,35],title="Imaginary Part",grid=[40,40]);

>

Новедьобычныефункциинемогуттаксебявести? Конечно, онимогут находиться в комплексной плоскости. Здесь – проблема. Maple определяет полярный угол в диапазоне - .. . Посмотрим, что даст квадратный корень из двух разных значений z: z1 = e(iπ) и z2 = e(–iπ). Первое – обе величины z1 и z2 в точности = -1. Второе – квадратный корень из первой функции дает i а из второй -i! Т. е. квадратный корень из -1 имеет разные значения в зависимости от того, какой угол берется чтобы получить -1 в комплекснойплоскости. Этоначалоразреза(cliff face) вIm частиграфика, а линия в комплексной плоскости, где оказывается разрез, называется (branch cut). Подробнее об этих особенностях сказано в курсе ТФКП.

Эта проблема возникает для всех дробных степеней, например, как для функции ln(z). Это вы скоро увидите.

Задача 4.7

Сделайте то же самое, что и с корнем квадратным, с функцией ln(z). Локализуйте положение разреза (branch cut) и, основываясь на рассуждениях, аналогичных предыдущему, объясните, почему он находится в этом месте (вставьте комментарий). Удостоверьтесь, что функция ln(x + Iy) есть в командах графики.

Задача 4.8

Во второй части Пособия.

Специальные комплексные функции

Не будет слишком удивительным утверждение, что в комплексной плоскости со специальными функциями происходит нечто такое же, как и с элементарными. Вот несколько интересных задач на эту тему.

113

Maple для студентов физиков

Задача 4.9

Примените Maple, чтобы показать, что функции Бесселя J0(z) и I0(z) связаны в комплексной плоскости. Для этого рассчитайте J0(ix) и I0(ix). То же сделайте для более высоких порядков функций Бесселя, скажем, n = 1,2,3. Затем – для функции Бесселя Y0. Во втором случае Maple не даст вам ничего особенно интересного. Приятно будет вам сказать, что

том, что Maple знает, что делает, просто проверьте это равенство численно. Используйте z = Ix для нескольких действительных значений x.

Задача 4.10

Проверьте в 3D графике поведение эллиптического интеграла K(z) в комплексной плоскости. Команда вызова EllipticK(z). Рассмотрите Re и Im части в диапазонах x и y = -2..2.

Интерференция волн

Комплексная плоскость применяется при решении многих задач физики. Одна из наиболее важных областей – изучение фазовых сдвигов и картин интерференции.

Вначале дадим определение термину фаза.

Фазой называют добавку к аргументу синуса или косинуса. Например, если колебания зависят от времени как cos( t), то говорят, что фаза колебаний линейно зависит от времени: t. Если колебания сдвинуты во времени так, что описываются функцией cos( t + ), то новая фаза колебаний есть t + , и мы говорим, что относительно предыдущих колебаний они сдвинуты на фазовый угол (сдвиг) .

Фазовыми сдвигами трудно управлять, поскольку они внутри косинуса или синуса, и чтобы получить простой ответ нужно знать тригонометрию. Но если вы вспомните, что cos( t) = (e(i t)) (знак – это мепловский значок для представления Re, действительной части), то можно упростить множество формул.

Вот пример. Пусть есть 12 разных колебаний, подчиняющихся закону cos( t + n), причем все интерферируют друг с другом. Пусть n-я

114

Глава 5. Комплексные числа и функции

волна имеет фазовый сдвиг n 2n . Применив Maple, можно сло13

жить эти колебания вместе и получить:

>restart;

>s1:=Sum(cos(omega*t+2*Pi*’n’/13),’n’=1..12);

>s1:=value(s1);

>simplify(s1);

Это не очень симпатичный ответ, и надо попробовать упростить

его.

Теперь сделаем то же с помощью комплексной плоскости. Вместо сложения 12 косинусов мы сложим 12 экспонент. Посколь-

ку действительная часть каждой есть косинус, мы можем выполнить комплексное суммирование, а в конце взять действительную часть и получится то же самое, как если бы мы сложили 12 косинусов. Единственная разница в том, что ответ будет симпатичней.

Теперьперейдемкделу. Сначаласделаемнебольшойанализвручную. Вот сумма, действительную часть которой мы получим в конце

12

e(i t i n ). n 1

Мы вынесем общий множитель e(i t) (учтите, что временной множитель выносится – что является основанием для применения комплексной экспоненты), а оставшуюся часть перепишите так:

Так что наша сумма примет вид:

Завершим работу:

>z:=exp(I*2*Pi/13);

>s:=Sum(z^n,n=1..12);

>s:=simplify(value(s));

115

Maple для студентов физиков

Теперь вернем вынесенный множитель e(i t), возьмем Re часть и узнаем, что большая смесь косинусов оказалась равной просто:

Вывод ясен: в задачах интерференции, где приходится добавлять наборы синусов и косинусов , лучше работать с комплексной экспонентой.

Не страшно, если сразу ответ не получится. Чтобы помочь Maple, примените знания комплексной математики.

Задача 4.11

В этой задаче просто следуйте инструкциям и выполняйте команды, обращая внимание на то, что получается.

С помощью комплексного анализа решим простейшую интерференционную задачу. Картина дифракции на двух щелях известна из курса общей физики, но только в приближении дальнего поля. Применим Maple чтобы сделать это правильно.

Есть два источника света на расстоянии d между ними и экран на расстоянииL понормаликлиниимеждуисточниками. Надоопределить интенсивность волны на экране, как функцию расстояния по экрану.

Центр находится между источниками на экране, см. рисунок ниже (заодно покажем как рисовать картинки в Maple. См. справку – см. за-

прос ?plottools).

>restart:with(plots):

>l1:= listplot([[0,0],[2,0]]): # расстояние до экрана

>t1:= textplot([1,-.1,"L"]): # точка L

>l2 := listplot([[-.08,-.2],[-.1,-.2],[-.1,.2],[-.08,.2]]): # скобка d

>t2:= textplot([-.15,0,"d"]): # точка d

>p1:= pointplot([0,-.2],symbol=circle): # нижний источник

>p2:= pointplot([0,.2],symbol=circle): # верхний источник

>l3:= listplot([[2,-1.25],[2,1.25]]): # экран

>t3:= textplot([2.08,.5,"y"]): # точка y

>l4:= listplot([[0,.2],[2,.6]]): # верхний луч

>t4:= textplot([1.5,.6,"r1"]): # точка r1

116

Глава 5. Комплексные числа и функции

>l5:= listplot([[0,-.2],[2,.6]]): # нижний луч

>t5:= textplot([1.5,.3,"r2"]): # точка r2

>plots[display]([l1,t1,l2,t2,p1,p2,l3,t3,l4,t4,l5,t5],axes=none,thickness=3, view=[-.5..2.1,-1.25..1.25],font=[HELVETICA,14]);

Для возможно большей точности при изучении интерференции

чить полное поле на экране, сложим оба поля и получим сумму, которую обработаем с помощью Maple:

Определим функции для r1(y) и r2(y)

>R1:=y-> sqrt((y-d/2)^2+L^2);

>R2:=y-> sqrt((y+d/2)^2+L^2);

Теперь просто складываем две волны от источников, берем Re часть и возводим ее в квадрат, чтобы получить интенсивность:

>Intensity:= y-> Re( exp(I*k*R1(y)-I*omega*t)/R1(y) + exp(I*k*R2(y)- I*omega*t)/R2(y))^2;

Ксожалению, это непросто. Проблема со временем. Если мы будем просто сравнивать мгновенные интенсивности в каждой точке, то придется учитывать, что в ней интенсивность может изменяться от 0 до максимума. На картинке интенсивности на экране таким способом несложно получить фальшивые нули, чего, конечно, не нужно. Поэтому вместо мгновенного значения интенсивности возьмем интенсив-

ность, усредненную по времени.

Полезно знать, чему равны усредненные по времени синус или косинус и их произведение:

>Int(sin(t),t=0..2*Pi)/(2*Pi);value(%);

>Int(cos(t),t=0..2*Pi)/(2*Pi);value(%);

>Int(cos(t)*sin(t),t=0..2*Pi)/(2*Pi);

>value(%);

117

Maple для студентов физиков

>Int(cos(t)^2,t=0..2*Pi)/(2*Pi);

>value(%);

>Int(sin(t)^2,t=0..2*Pi)/(2*Pi);value(%);

Следует запомнить, что: усреднение по времени sin(t), cos(t) и sin(t)cos(t) = 0, усредненные по времени

sin2(t), cos2(t) = 1/2.

Теперь можем заняться интенсивностью. Вот какое выражение для интенсивности дает Maple:

>assume(k,real,r1,real,r2,real,omega,real,t,real);

>Intense:= Re( exp(I*k*r1-I*omega*t)/r1 + exp(I*k*r2-I*omega*t)/r2)^2;

Чтобы упростить вычисления, переопределим аргументы синуса и косинуса как x1 и x2, соответственно:

>Intense:=(cos(x1)/r1+cos(x2)/r2)^2;

Теперь разложим так

>Intense:=expand(Intense);

и затем усредним по времени каждый член.

> combine(cos(x1)*cos(x2));

(Замечание: для получения тригонометрических равенств попро-

буйте применить expand, simplify, combine.)

Член с x1+x2 зависит от 2 t и его среднее по времени равно 0, тогда как член с x1-x2 не зависит совсем от времени, и его усреднение по времени даст его самого. Получаем

> Intense:= 1/(2*r1^2)+cos(x1-x2)/(r1*r2)+1/(2*r2^2);

После усреднения по времени мы можем переопределить нашу функцию интенсивности по y

>Intensity:=y->1/(2*R1(y)^2)+cos(k*R1(y)-k*R2(y))/(R1(y)*R2(y))+ 1/(2*R2(y)^2);

118

Глава 5. Комплексные числа и функции

теперь определим детали физической картины для d=.01мм, L=1м, и красного света с длиной волны 600 нм

> d:=1e-5;L:=1;k:=2*Pi/600e-9;

Окончательно: чтобы увидеть, как будет выглядеть картинка на экране, мы можем нарисовать интенсивность как функцию y. Окно обзора зададим размером 1 м.

> plot(Intensity(y),y=-0.5..0.5);

Задача 4.12

Первый минимум от точки y = 0 находится в месте, где kd sin( ) = , где угол определен выше (y = L tan( )). Проверьте правильность этого утверждения на рисунке, получившемся в предыдущей задаче. Расстояния у измеряйте от центра и пересчитайте у в угол . (Оцените положение x на рисунке, затем выберите самый узкий диапазон по x, для более точного определения.) Значения переменной – те же самые, что в предыдущей задаче:

>restart:with(plots):

>l1:= listplot([[0,0],[2,0]]): # расстояние до экрана

>t1:= textplot([1,-.1,"L"]): # точка L

>l3:= listplot([[2,-1.25],[2,1.25]]): # экран

>t3:= textplot([2.08,.5,"y"]): # точка y

>l4:= listplot([[0,0],[2,.6]]): # гипотенуза

>t4:= textplot([.6,.1,"q"]): # угол θ

>p1:=plots[display]([l1,t1,l3,t3,l4],axes=none,thickness=3,view=[-.5..2.1, -1.25..1.25],font=[HELVETICA,14]):

>p2:=plots[display]([t4],axes=none,thickness=3,view=[-.5..2.1,- 1.25..1.25],font=[SYMBOL,20]):

>display(p1,p2);

Задача 4.13

См. вторую часть Пособия.

119

Maple для студентов физиков

Электростатика с линейными зарядами

Комплексная плоскость – это великолепное место для визуализации электрических полей и эквипотенциальных поверхностей.

Поскольку комплексная плоскость двумерна, вы можете визуализировать только поля, наподобие полей бесконечного длинного линейного заряда.

Можно показать, что для действительная часть комплексной функ-

ции F(z) ln(z z0 ) – это электростатический потенциал линейного

2 0

заряда, чей заряд/длина локализованы в плоскости xy в комплексной точке z0, и что линии в комплексной плоскости, где мнимая часть – константа – есть линии электрического поля. (Это называется конформными отображениями, подробнее о них можно почитать в книгах по ТФКП и теории электричества).

В комбинации с мепловскими возможностями визуализации, эти функции позволяют быстро визуализировать эквипотенциальные поверхности и линии поля, причем для разнообразных конфигураций линейных зарядов.

Мы также посмотрим, как Maple строит контурные графики

(contour plot).

Ниже показано, как contourplot показывает эквипотенциальные поверхности и (голубым) и линии поля (красным) для единичного линейного заряда. (Поскольку целью является пример визуализации, то опущены все физические постоянные, которые =1.)

>restart:with(plots):

>p1:=contourplot(Re(-ln(x+I*y)),x=-5..5,y=-5..5,grid=[30,30],contours=30, coloring=[cyan,blue]):

>p2:=contourplot(Im(-ln(x+I*y)),x=-5..5,y=-5..5,grid=[30,30],contours=30, coloring=[red,red]):

>plots[display]([p1,p2],scaling=constrained);

Смотрится неплохо, за исключением смешивания в электрическом поле вдоль отрицательных x. Это – разрез логарифмической функции, которая изображается как клюв (cliff). Если игнорировать эту деталь

120