Maple для студентов физиков. Часть 1. Учебное пособие

Глава 4. Расчеты

. . .

Maple знает эту теорему и может ее применить для генерирования всевозможных рядов с помощью команды taylor.

Например, для функции sech:

> taylor(sech(x),x=0,20);

Опция x = 0 говорит Maple, что разложение надо делать вблизи 0. Цифра 20 говорит, что надо включать члены вплоть для x20.

Задача 3.19

Найдите разложение в ряд Тейлора для следующих функций вблизи x = 0 при сохранении членов до x10.

Ответы выглядят впечатляюще, но в большинстве физически значимых задач оставляют первые два члена и поэтому можно работать, не загромождая выкладки, чему поможет команда taylor(f(x),x=0,3), которая дает члены до x2.

Получив разложение в ряд, вы захотите использовать это выражение в дальнейших расчетах. Maple позволяет свернуть выражение,

созданное в taylor в полином: convert(...,polynom), где ... – это имя,

которое вы давали ряду Тейлора. Например,

>f:=taylor((1+x^2)^(3/2),x=0,5);

>f:=convert(f,polynom);

101

Maple для студентов физиков

Задача 3.20

Maple также может разложить в ряд Тейлора специальные функции Найдите разложения:

(a)J0(x),

(b)I0(x),

(c)K(x) (полный эллиптический интеграл EllipticK),

(d)Γ(x).

Для (a)-(c) точка разложения x = 0, для (d) x = 1. Разлагать до x10. Ответ ужасен – посмотрите, можете ли вы получить нечто более приемлемое с помощью evalf, или, сказав Maple разложить вблизи x

= 1.0 (снова десятичная точка).

Задача 3.21

Теперь попробуем разложить функцию Бесселя K0(x) около x = 0. Maple не сможет это сделать, но сделайте предположение – и оно хорошее – если рассматриваемая функция имеет сингулярность некоторого рода в точке разложения, то либо функция, либо ее некоторые производные в этой точке не существуют и разложение в ряд Тейлора невозможно. Тогда есть еще другие виды разложений, которыми можно аппроксимировать функции и команда Maple series, которая

работает почти так же, как taylor (но более общая).

Попытайтесь применить series(BesselK(0,x),x=0,3); и посмотрите, что случится. Учтите, что игнорируя многие громоздкости и концентрируясь на ведущих членах, вы можете сказать, что K0(x) имеет логарифмическую сингулярность. (Учтите, что в разложении появляется постоянная Эйлера. Чтобы узнать о ней: запрос ?gamma.)

Окончив эту работу, сделайте то же для следующих функций:

(a) cot(x),

Вместо 3 попробуйте другие цифры в команде series и посмотрите, можете ли вы точно сказать, что это означает.

102

Глава 4. Расчеты

Задача 3.22

Еще один вид разложения, который очень полезен в математической физике: асимптотические разложения. Это разложения относительно , которые кажутся необычными, но все они означают, что мы хотим знать как ведет себя функция, если ее аргумент очень велик. Для этого применяется команда Maple asympt(f,x,2) (или series(f,x=infinity,2)), где f – выражение Maple. Попытайтесь сделать это для следующих функций с помощью series для (a)-(b) и asympt для

(c)-(d). Оставляйте только два члена, как показано в командах выше.

(a)J0(x),

(b)I1(x),

(c)K0(x),

(d)Γ(x).

Полагаю, что вы получили 2 в последнем случае, поскольку обычно мы заботимся о ведущем члене асимптотического разложения. Он обычно отвечает на два наиболее важных вопроса:

(1)функция растет или спадает?

(2)каким образом она себя так ведет?

Суммы / Sums

Ваши качества как расчетчика, в том числе, определяются и тем, как вы понимаете идею бесконечных сумм. Maple знает все о них и может выполнять достаточно впечатляющие вещи.

Рассмотрим любимую 1 .

n 1 n2

Команда Maple sum выполнит суммирование. Ее синтаксис почти такой же, как у команды int (учтите, что Sum – это инертная форма.)

>restart;

>sum(1/’n’^2,’n’=1..infinity);

прекрасный неожиданный результат. В этом виде первый аргумент sum – это выражение. Учтите особенности этой команды Maple: индекс n в одинарных кавычках. Вам не всегда надо действовать так, но если, все же, вы так не сделаете, то Maple даст ошибку на каком-то этапе вычислений, поэтому придется изучить правила для применения

103

Maple для студентов физиков

одинарных кавычек. (Одинарные кавычки говорят Maple использовать n как фиктивную переменную в данной команде, игнорируя все предыдущие присвоения чего-либо этой переменной n.)

В дальнейшем смысл кавычек поясняться не будет, да и печатать кавычки неудобно.

Команда sum и ее инертная форма Sum, работают как функции.

>fn:=n->1/n^2;

>s1:=Sum(fn(n),n=1..infinity);

>value(s1);

Посмотрим возможности суммирования в Maple, затратив минуту на просмотр ?sum.

Вот несколько упражнений для практики.

Задача 3.26

Найдите каждую из этих сумм в выражениях (a)-(c) и функций в

(d)-(f).

Учтите: в обоих членах N стремится к бесконечности, причем не только в сумме. Небольшой полученный вами забавный символ – это не ошибка, а весьма известное число, обозначаемое символом гамма. Это – постоянная Эйлера. Ее значение получите с помощью evalf.

104

Глава 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ

Рассматриваемые темы и задачи

конформные отображения

Функции Maple и их опции

105

Maple для студентов физиков

Разделы:

Комплексная арифметика Элементарные комплексные функции Описание команды evalc (из справки) Специальные комплексные функции Интерференция волн

Электростатика с линейными зарядами (конформные отображения)

Комплексная математика (ТФКП) является мощным инструментом моделирования в физике. Понятия комплексной единицы, комплексной плоскости и др. известны из курсов математики.

В Maple 1 обозначается I (заглавная буква I). Например, комплексное число 5 + 3i в Maple записывается так:

>restart;

>z1:=5 + 3*I;

Следует быть осторожным при записи таких чисел, поскольку использование i дает внешне похожее выражение, как ниже:

> z2:=5+3*i;

Выглядит неплохо, но комплексная арифметика с «i», конечно, работать не будет (к тому же, в примере i ничего не присвоено).

Только I – то, что нужно. (Если вас не устраивает такое обозначение, то можно переопределить I с помощью команды interface, но лучше этого не делать.)

В этой главе – обзор того, что можно сделать на комплексной плоскости: арифметика, расчеты, специальные функции вроде J0(z) и Γ(z). При работе с переменной, имеющей имя, начинающееся с z (z1, z2, и т. д.) имейте в виду, что это комплексная переменная вида z = x + iy.

Комплексная арифметика

Рассмотрим, что можно делать с комплексными числами. Вопервых, простое сложение – вычитание. Правила – как при сложении векторов на плоскости (ху):

106

Глава 5. Комплексные числа и функции

>z1:=5+3*I;

>z2:=1-6*I;

>z3:=z2+z1;

Смеха ради – нарисуем задачу о сложении в комплексной плоскости с помощью стрелок-векторов (заодно поучимся строить стрелки-век- торы). На картинке z1 – зеленый, z2 – синий, а сумма – красным (z3).

> with(plottools):

L1 := arrow([0,0], [5,3], .2, .5, .1, color=green): L2 := arrow([0,0], [1,-6], .2, .5, .1, color=blue): L3 := arrow([0,0], [6,-3],.2,.5,.1,color=red):

> plots[display](L1,L2,L3, axes=normal,view=[-10..10,-10..10]);

Умножение и деление не похожи на операции с векторами. Комплексное умножение выполняется путем обычного алгебраического умножения Re и Im частей каждого из чисел, при этом I2 = –1. А вот пример умножения:

(5+3I)*(1-6I) = (5 + 3I – 30I + 18) = 23 – 27I.

(Использован дистрибутивный закон):

> z1*z2;

Деление комплексных чисел выполняется исходя из идеи комплексного сопряжения (число с противоположным знаком комплексной части):

> conjugate(6+4*I);

Сопряженные полезны из-за того, что произведение числа на сопряженное есть действительное число

>conjugate(6+4*I)*(6+4*I);

>assume(x,real);assume(y,real);

>conjugate(x+y*I)*(x+y*I);

>expand(%);

Иэто действительное число равно квадрату амплитуды комплексного числа, рассматриваемого как вектор.

Ответ: 62 + 42 = 52.

107

Maple для студентов физиков

Это полезно для комплексного деления, потому что комплексная дробь умножается на сопряженное знаменателю число и тогда знаменатель становится чисто действительным, и нам не надо беспокоиться.

Задача 4.1

Выполните вручную комплексное деление 3 4I , а затем сделай- 2 5I

те это в Maple и покажите, что ответы совпадают.

Это решение достаточно простое. Можно нарисовать картинку для операции умножения. Но при этом придется перейти в иное представление комплексных чисел. В комплексной плоскости декартовы координаты заменяются на полярные координаты, и тогда число представляется в виде пары (модуль, угол). Угол отсчитывается против часовой стрелки, а модуль вычисляется как модуль длины вектора. Например,

> with(plottools):

L1 := arrow([0,0], [5,4], .2, .5, .1, color=green):

L2 := arc([0,0],4,0..arctan(.8),color=red):

>plots[display](L1,L2, axes=normal,view=[-5..5,-5..5],scaling=constrained);

Вполярных координатах хорошо визуализировать комплексные

числа.

Связь между декартовыми (x + iy) и полярными (r, ) координата-

ми простая: x = r cos( ) и y = r sin(θ).

Для комплексной экспоненты есть формула Эйлера e(i ) = cos( ) + i sin( ).

Тогда связь декартовой формы и полярной формы представления комплексных чисел: x + iy = r e(iθ).

С помощью этой формы можно переписать (в новом виде) прави-

ла умножения и деления чисел.

Для умножения: если z1 r1e i 1 и z2 r2e i 2 , то z1z2 r1r2e i( 1 2 ) . Умножение означает произведение амплитуд и сложение углов исходных векторов, что и нарисовано ниже (z1 и z2 зеленым, а произ-

ведение – красным).

108

Глава 5. Комплексные числа и функции

> with(plottools):

L1 := arrow([0,0], [1,2], .1, .3, .1, color=green): L1a := arc([0,0],1.5,0..arctan(2),color=green):

>L2 := arrow([0,0], [1,.8], .1, .3, .1, color=green): L2a := arc([0,0],.75,0..arctan(.8),color=green):

>L3 := arrow([0,0], [-.6,2.8], .1, .3, .1, color=red): L3a := arc([0,0],2.5,0..arctan(2.8,-.6),color=red):

>plots[display](L1,L2,L3,L1a,L2a,L3a, axes=normal,view=[-3..3,-3..3], scaling=constrained);

Деление работает аналогично, только амплитуды делятся, а углы

вычитаются: z1 r 1e i( 1 2 ) . z2 r2

Это – простая арифметика. В Maple есть удобные команды для ручной работы с комплексными числами:

Re(z) – извлекает действительную часть числа z, Im(z) – комплексную,

abs(z) – дает амплитуду, и arctan(Im(z),Re(z)) – дает угол:

>z:=5-3*I;

>Re(z);Im(z);abs(z);arctan(Im(z),Re(z));

ВMaple естькоманда, котораяконвертируетдекартовуформувполярную, но ее результат сложно использовать в последовательных расчетах:

>polar(z);

Но лучше применять форму arctan.

В Maple также есть команда для комплексно сопряженного числа conjugate.

> conjugate(3+4*I);

Задача 4.2

Выполните операции с комплексными числами z1 и z2 и представьте ответ в декартовой и полярной форме. Команда polar упрощает эти действия.

109

Maple для студентов физиков

Вот определения z1 и z2, которые предлагается использовать в задаче:

Задача 4.3

Покажите графически – стрелками на графике (как выше), что поворот комплексного числа на угол в комплексной плоскости сопровождается умножением на множитель e(iθ).

Для этого вначале определите комплексное число z1 и нарисуйте его как стрелку, умножьте z1 на e(iθ) для некоторого угла по вашему выбору, затем нарисуйте этот новый вектор как стрелку. При выполнении будьте внимательны и используйте в аргументах команды arrow только числа с плавающей запятой. Вероятно, Maple вернет вам ответы, содержащие квадратные корни из целых чисел, и, если вы просто скопируете эти числа в команду arrow, то никакая стрелка не появится. Поможет в этом старая знакомая – команда evalf и команды: [Re(z),Im(z)], которые помогут вставить Re и Im части комплексного числа в команду arrow.

Элементарные комплексные функции

Начнем с экспоненты.

Формула Эйлера e(iθ) = cos( ) + isin( ) известна, и поэтому для ez (при том, что z = x + iy) можно переписать так: e(x + iy) = ex(cos(y) + isin(y)). Для изображения Re и Im частей этой функции нужна трехмерная гра-

фика plot3d.

>restart;

>plot3d(Re(exp(x+I*y)),x=-6..6,y=-6..6,shading=z,axes=framed,labels= ["x","y","Re(f)"],orientation=[-60,60],title="Real Part");

>plot3d(Im(exp(x+I*y)),x=-6..6,y=-6..6,shading=z,axes=framed,labels= ["x","y","Im(f)"],orientation=[-60,60],title="Imaginary Part");

Заметьте, что для отрицательных х она очень мала, а для положительных очень велика – так ведет себя ex.

110