Физика. Оптика. Учебное пособие для практических занятий
.pdf
Рисунок 1.4 – Построение мнимого изображения в собирающей линзе
Обозначим точечный источник S, а его изображение – S1. Расстояния от изображения S1 до оптической оси и до плоскости линзы обозначим соответственно x1 и y1. Расстояние x1 легко найдем из формулы тонкой линзы (1.4), положив в ней a = x, b = –x1 (для мнимого изображения b < 0):
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
= |
|
− |
|
. |
f |
|
x1 |
|||
x |
|
|
|||
Тогда выражение для x1 имеет вид
x = |
xf |
. |
(1.5) |
|
|||
1 |
f −x |
|
|
Расстояние y1 найдем из подобия треугольников DOSA ~ DOS1A1:
x = y . x1 y1
Для y1 получим следующее выражение:
y = |
yx1 |
= |
yf |
. |
(1.6) |
|
|
||||
1 |
x |
|
f −x |
|
|
|
|
|
|||
11
Искомое расстояние L = OS1:
|
|
|
|
|
xf |
2 |
|
yf |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
L =OS1 = |
x1 |
+y1 |
= |
|
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
f −x |
f −y |
|||||
Окончательное выражение для L с учетом замены f через D имеет вид
L =1−1Dx 
x2 +y2 .
Выразим данные задачи в СИ, проверим размерность и проведем вычисления.
D = 2 дптр |
[L]= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= м2 =м; |
|||||||||||
x = 25 см = 0,25 м |
|
|
|||||||||
1−дптр м |
|||||||||||
y = 10 см = 0,1 м |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ? |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
L =1 |
−2 0,25 = |
0,25 |
|
+0,1 =0,54 м. |
|||||||
|
|
||||||||||
|
Ответ: L = 0,54 м. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3 Домашние задания
Задача 1–01
Плосковыпуклая линза, радиус кривизны выпуклой поверхности которой R, и двояковыпуклая линза с радиусами кривизны поверхностей R1 и R2 изготовлены из одинакового материала с показателем преломления n. Двояковыпуклая линза находится в прозрачной жидкости с показателем преломления n0 (n > n0), плосковыпуклая линза находится в воздухе. При падении на каждую линзу узкого пучка света, идущего параллельно оптической оси, пучок пересекает оптическую ось за линзами на одинаковом расстоянии. Линзы считать тонкими, показатель преломления воздуха принять равным единице. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестный параметр.
Шифр |
n |
n0 |
R1, см |
R2, см |
R, см |
1 |
1,70 |
1,40 |
30 |
40 |
? |
|
|
|
|
|
|
2 |
1,50 |
1,40 |
? |
50 |
175 |
3 |
1,70 |
1,30 |
20 |
? |
35 |
|
|
|
|
|
|
12
Шифр |
n |
n0 |
R1, см |
R2, см |
R, см |
4 |
1,60 |
? |
30 |
60 |
52 |
|
|
|
|
|
|
5 |
? |
1,30 |
40 |
40 |
65 |
Задача 1–02
Плосковыпуклая линза, радиус кривизны выпуклой поверхности которой R, изготовлена из материала с показателем преломления n и находится в воздухе. Предмет помещен перед линзой на расстоянии a. При этом его действительное изображение равно по размерам самому предмету. Если всю систему погрузить в жидкость с показателем преломления n0 (n > n0), то изображение предмета образуется на расстоянии b от линзы. Положительные значения b соответствуют действительному изображению, отрицательные – мнимому. Линзу считать тонкой, показатель преломления воздуха принять равным единице. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестный параметр.
Шифр |
n |
n0 |
a, м |
b, м |
R, м |
1 |
1,7 |
1,3 |
– |
–1,65 |
? |
|
|
|
|
|
|
2 |
1,6 |
1,4 |
? |
–0,57 |
– |
|
|
|
|
|
|
3 |
1,8 |
? |
0,3 |
–0,44 |
– |
|
|
|
|
|
|
4 |
1,7 |
1,4 |
– |
? |
0,175 |
|
|
|
|
|
|
5 |
? |
1,2 |
– |
1,60 |
0,160 |
|
|
|
|
|
|
Задача 1–03
Две тонкие линзы с оптическими силами D1 и D2 при жаты вплотную друг к другу. Предмет находится на расстоянии a перед линзами. Изображение предмета находится на расстоянии b от линз. Положительные значения b соответствуют действительному изображению, отрицательные – мнимому. Отношение размера изображения к размеру предмета равно k. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестный параметр.
Шифр |
D1, дптр |
D2, дптр |
a, м |
b, м |
k |
1 |
5 |
–4 |
0,5 |
– |
? |
2 |
8 |
–3 |
– |
? |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
? |
– |
–1,5 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
? |
–5 |
– |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
–5 |
? |
9 |
– |
|
|
|
|
|
|
13
Задача 1–04
Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F дает действительное изображение предмета, находящегося на расстоянии a от линзы, с увеличением Г1. Вплотную к этой линзе прижали еще одну тонкую линзу с оптической силой D. Новое увеличение системы двух линз равно Г2. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестный параметр.
Шифр |
Г1 |
Г2 |
a, м |
D, м |
F, м |
1 |
1,2 |
0,46 |
– |
? |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0,8 |
? |
0,9 |
–0,5 |
– |
3 |
– |
0,91 |
? |
1,0 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3,0 |
0,75 |
0,4 |
? |
– |
|
|
|
|
|
|
5 |
– |
0,44 |
0,5 |
2,0 |
? |
Задача 1–05
В водоеме плавает, не касаясь дна, в вертикальном положении шест длиной L. Выступающая над водой часть шеста в k раз меньше всей его длины. Солнечные лучи падают на поверхность воды под углом a. Длина тени от шеста на дне водоема l. Показатель преломления воды n. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестную величину.
Шифр |
L, м |
k |
n |
l, м |
a, градус |
1 |
? |
3 |
1,33 |
0,42 |
30 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1,4 |
? |
1,36 |
1,48 |
60 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1,5 |
5 |
? |
0,90 |
40 |
|
|
|
|
|
|
4 |
1,0 |
4 |
1,34 |
? |
50 |
|
|
|
|
|
|
5 |
? |
3 |
1,33 |
1,90 |
70 |
|
|
|
|
|
|
Задача 1–06
Для подсветки бассейна в его дно вмонтирован круглый светильник диаметром d, дающий рассеянный свет (лучи света распространяются от светильника во всех возможных направлениях). Глубина воды в бассейне – H, показатель преломления воды – n. Диаметр освещенного пятна на поверхности воды – D, площадь пятна – S. Сделайте поясняющий чертеж. Найдите неизвестный параметр.
Шифр |
d, м |
H, м |
n |
D, м |
S, м2 |
1 |
0,3 |
1,5 |
? |
3,7 |
– |
|
|
|
|
|
|
14
Шифр |
d, м |
H, м |
n |
D, м |
S, м2 |
2 |
0,5 |
1,8 |
1,331 |
– |
? |
|
|
|
|
|
|
3 |
0,4 |
? |
1,332 |
4,0 |
– |
4 |
? |
1,0 |
1,335 |
|
4,9 |
|
|
|
|
|
|
5 |
0,5 |
1,1 |
1,333 |
? |
– |
|
|
|
|
|
|
15
2 Интерференция и дифракция света
2.1 Теория
Интерференция света – явление взаимного усиления или ослабления света при наложении двух и более когерентных его волн. При этом образуется устойчивая во времени пространственная картина максимумов и минимумов интенсивности. Интерференция характерна для волн любой природы.
Когерентные волны – волны с одинаковыми частотами и постоянной во времени разностью фаз.
Оптическая длина пути L световой волны, распространяющейся с среде с показателем преломления n, связана с геометрической длиной пути r волны следующим выражением:
L =nr. |
(2.1) |
Для расчета интерференционной картины вводится понятие оптической разности хода D двух волн, оптические пути которых L1 и L2:
D = |
|
L1 −L2 |
|
= |
|
n1r1 −n2r2 |
|
. |
(2.2) |
|
|
|
|
Волны, имеющие общие начальную и конечную точки, но прошедшие различные оптические пути, приобретают в конечной точке разность фаз Dj, которая связана с оптической разностью хода D соотношением
Dj= 2lpD.
Условие максимумов света при интерференции
Dj=2pk; (k =0, 1, 2, 3...); D =kl; (k =0, 1, 2, 3...).
Условие минимумов света при интерференции
Dj=(2k +1)p; (k =0, 1, 2, 3...);
|
1 |
|
l |
|
|
D = k + |
|
l =(2k +1) |
|
; |
(k =0, 1, 2, 3...). |
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
(2.3)
(2.4)
(2.5)
16
Рассмотрим расчет интерференционной картины в случае наложения двух когерентных лучей, испущенных синфазными источниками S1 и S2 (рисунок 2.1), например при расчете интерференционной картины в опыте Юнга. Расстояние между источниками – d, интерференция наблюдается на экране, плоскость которого параллельна отрезку S1S2. Расстояние до экрана L >> d. Лучи распространяются в среде с показателем преломления n ≈ 1.
Рисунок 2.1 – Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников
В точке P, находящейся на расстоянии x << L от центра экрана, оптическая разность хода двух волн равна
D =r −r ≈dsina ≈da ≈d |
x |
. |
(2.6) |
|
|
||||
2 |
1 |
L |
|
|
|
|
|
||
С учетом условий (2.4) и (2.5) из выражения (2.6) можно найти координаты максимумов и минимумов интенсивности на экране. Координаты максимумов
xmax = |
klL |
; (k =0, 1, 2, 3...). |
(2.7) |
|
|||
|
d |
|
|
Координаты минимумов |
|
||
xmin = (2k +1)lL; (k =0, 1, 2, 3...). |
(2.8) |
||
|
2d |
|
|
17
Ширина интерференционной полосы Dx – расстояние между соседними максимумами или минимумами, определяется выражением
Dx = ll |
≈ l |
, |
(2.9) |
d |
j |
|
|
где j – угол, под которым видны источники из центра экрана.
Интерференция в тонких пленках происходит в результате наложения когерентных лучей, образовавшихся при частичном отражении света на поверхностях пленки. На рисунке 2.2 представлена схема образования когерентных лучей в отраженном свете при падении излучения на плоскопараллельную тонкую пленку или пластину толщиной d с показателем преломления n2. Показатели преломления сред выше и ниже пленки равны соответственно n1 и n3.
Рисунок 2.2 – Схема образования когерентных лучей в отраженном свете при интерференции
втонкой плоскопараллельной пленке
Вточке А падающее излучение частично отражается и образуется луч 1, частично излучение проходит внутрь пленки
иотражается от ее нижней поверхности, образуя луч 2. Часть
18
излучения проходит в среду с показателем преломления n3. Эти лучи показаны пунктиром, они участвуют в образовании интерференционной картины в проходящем свете. В точке P оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна
D = L2 −L1 =n2 (AB +BC)−n1 AD = 2cosdnb2 (1−n1 sin2 b). (2.10)
Поскольку при отражении света от оптически более плотной среды фаза отраженной волны меняется на p, то это ведет к изменению оптической длины пути отраженного луча на l/2, поэтому в выражении (2.10) надо добавить или отнять l/2. Если оба луча отражаются от оптически более плотной среды, то происходит изменение фазы обеих волн, поэтому никаких дополнительных слагаемых в (2.10) вводить не надо.
Лучи, прошедшие в среду с показателем преломления n3, формируют интерференционную картину в проходящем свете. Схема образования когерентных лучей в проходящем свете показана на рисунке 2.3. Пунктиром показаны лучи, дающие интерференцию в отраженном свете.
Рисунок 2.3 – Схема образования когерентных лучей в проходящем свете при интерференции в тонкой плоскопараллельной пленке
19
Луч 1 на рисунке 2.3 – часть падающего излучения, которое прошло через пленку, не испытав отражений. Луч 2 отражается дважды: в точке А и в точке В. В точке P оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна
D = L2 −L1 =n2 (AB +BC)−n3 AD = 2cosdnb2 (1−n3 sin2 b). (2.11)
Следует также учитывать возможное изменение фазы волны при отражении и добавлять или отнимать l/2 в выражении (2.11), если луч 2 один раз отражается от оптически более плотной среды. Если отражение оба раза происходит от оптически более плотной среды или если луч 2 оба раза отражается от оптически менее плотной среды, оптическая разность хода будет задана выражением (2.11) без каких-либо дополнительных слагаемых.
Впростейшем случае, когда n1 = n3 = 1, а n2 > 1 (пленка
ввакууме), разность хода D в отраженном свете равна
D =2dn cosb± l |
|
|
|
± l. |
|
=2d |
n2 |
−sin2 a |
|||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
При этом в проходящем свете разность хода равна
D =2dn2 cosb=2d
n22 −sin2 a.
Как следует из этих формул, оптические разности хода лучей в отраженном и проходящем свете различаются на l/2, поэтому, если в отраженном свете наблюдается максимум интерференции, то в проходящем – минимум, и наоборот.
Частным случаем интерференции в тонких пленках являются кольца Ньютона. В этом случае роль тонкой пленки играет узкий зазор между поверхностью плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны R и стеклянной пластинкой. На рисунке 2.4 представлена схема образования колец Ньютона в отраженном свете. Излучение падает нормально на плоскую поверхность линзы. Показан приблизительный ход одного из падающих лучей: луч 1 образуется при частичном от-
20