3.Теория вероятностей

Anm = n(n 1)(n 2) : : : (n m + 1) =

n!

;

(n

m)!

Cnm =

n!

;

m!(n

m)!

с повторениями: Cm

=

(n+m 1)!

.

n+m 1

m!(n 1)!

P (A=B) =

P (AB)

; P (B=A) =

P (AB)

:

P (B)

P (A)

P (Hi=A) =

P (Hi)P (A=Hi)

; (i = 1; : : : ; n):

P (A)

Pn(k) =

ke

; где = np:

k!

1

k

np

1

x2

P

(k)

'

;

'(x) =

e

2

:

n

p

npq

p

npq

где

p2

функция Гаусса

n

1 6

6 2

pnpq

pnpq

P

(k

k

k )

k2 np

k1 np

;

x

1

Z0

e

t2

где (x) =

p

2

dt функция Лапласа:

2

n

D[X] = (xi)2pi (M[X])2 для ДСВ X;

=1

iP

+

1

D[X] = R1 x2f(x)dx (M[X])2 для НСВ X;

-cреднее квадратическое отклонение СВ: [X] = D[X];

-начальный момент k–го порядка СВ: k = M[Xkp];

-центральный момент k–го порядка СВ: k = M[(X M[X])k];

вычисляются по формуле Пуассона: Pn = P (X = k) =

k

e ,

k = 0; 1; 2; : : : n.

k!

Числовые характеристики для распределения Пуассона:

M[X] = , D[X] = , [X] = p

.

Показательное распределение НСВ. Плотность распреде-

ления величины X (везде > 0): f(x) =

e x;

x > 0

, функ-

0;

x < 0

1

e x;

x > 0

ция распределения величины X: F (x) =

0;

x < 0 .

M[X] = 1 , D[X] =

1

, = 1 .

2

Равномерное распределение НСВ. Плотность распределе-

ния на отрезке (a; b): f(x) =

1

;

a 6 x 6 b

b

a

0;

x < a; x > b , функция рас-

0;

x 6 a

x

a

a < x 6 b .

пределения величины X: F (x) = 8 b

a ;

<

1;

x < b

Числовые

характеристики равномерно распределенной СВ:

(b a)2

:

M[X] = a+b

,

D[X] =

,

=

b

a

2

12

2p3 .

нормальной СВ X имеет вид:f(x) =

1

(x a)2

. Вероятность

2 2

p2 e

того, что случайная величина X примет значение, принадлежа-

щее интервалу ( ; ), вычисляется по формуле: P ( < X < ) =

x

2

= (

a

) (

a

), где (x) =

p

1

R0

e

t

dt Функция Лапласа.

2

2

Условия задач

Ответы

1. Решить задачи:

а) P (A) = 10

а) Бросают две игральные кости.

;

Найти вероятность того, что в

36

сумме выпадет не более 5-ти оч-

ков.

б) P (A) = 1

б) Из колоды в 36 карт вынимает-

;

ся одна карта. Какова вероятность

4

появления карты пиковой масти?

в) P (A) = 8

в) Найти вероятность того, что

;

при бросании 2-х игральных ко-

9

стей сумма выпавших очков попа-

дет в промежуток от 3 до 10.

5

г) Подбрасывают 10 монет. Най-

г) P (A) =

;

512

ти вероятность того, что только на

одной монете выпадет решка.

д) P (A) = 1

д) Найти вероятность того, что

;

при броске двух игральных костей

4

произведение очков будет нечет-

ным.

2

е) Из колоды в 36 карт последова-

е) P (A) =

.

315

тельно выбирают 2 карты. Найти

вероятность того, что выбраны 2

короля разного цвета.

2.

1

а) У ребенка 5 кубиков с буква-

а) 1)P (A) =

;

60

ми: А, К, К, Л, У. Какова вероят-

2)P (B) =

1

;

30

ность того, что он соберет из ку-

биков слова: 1)КУКЛА; 2) ЛАК?

б) Из 7 карточек разрезной азбуки

б) 1)P (A) =

1

; 2)P (B) =

210

составлено слово КОЛОКОЛ. Эти

2

;

35

карточки рассыпали и затем со-

брали в случайном порядке. Како-

ва вероятность того, что получат-

ся слова: 1)КОЛОКОЛ; 2) КОЛ?

24

в) Из 10 букв разрезной азбуки со-

в) 1)P (A) =

;

1

10!

ставлено слово МАТЕМАТИКА.

2)P (B) =

;

420

Эти буквы перемешали, а затем

3)P (C) =

1

;

420

собрали в произвольном порядке.

Найти вероятность того, что полу-

чились слова: 1)МАТЕМАТИКА;

2)ТЕМА; 3)МАМА.

8

г) На тринадцати карточках напи-

г) 1)P (A) =

;

13!

саны буквы И, С, Н, О, П, Е, В, О,

2)P (B) =

1

;

77220

Т, И, Л, Е, Р. Карточки перевер-

нули и перемешали. Затем откры-

ли наугад последовательно и поло-

жили в ряд. Какова вероятность

того, что получатся слова: 1)СО-

ПРОТИВЛЕНИЕ, 2)ВОРОТ?

48

д) На десяти одинаковых карточ-

д) 1)P (A) =

;

10!

ках написаны буквы А, К, С, И,

2)P (B) =

1

;

12600

Т, Т, Т, И, С, А. Карточки пере-

3)P (C) =

1

;

1260

мешиваются и наугад расклады-

ваются в ряд. Какова вероятность

того, что получатся слова: 1)СТА-

ТИСТИКА, 2)СТАТИКА, 3)ТАК-

СИ?

е) Слово ВЕРОЯТНОСТЬ состав-

е) 1)P (A) =

411!4!

;

лено из карточек разрезной дет-

2)P (B) =

411!3!

ской азбуки. Все карточки сме-

шивают и затем наугад выбира-

ют семь карточек. Какова веро-

ятность получить слова: 1)НО-

ВОСТЬ, 2)ВЕРНОСТЬ?

3.

а) Восемь спортсменов на олим-

а) 336;

пиаде разыгрывают одну золотую,

одну серебряную и одну бронзо-

вую медали. Сколькими способа-

ми медали могут быть распреде-

лены между спортсменами?

б) В конкурсе участвуют 7 че-

б)5040;

ловек.

Порядок выступления

участников определяется жреби-

ем. Сколько различных вариантов

жеребьевки при этом возможно?

в) У

одного студента 5 книг,

в) 45;

у другого-9. Все книги различ-

ные. Сколькими способами сту-

денты могут произвести обмен од-

ной книги на книгу?

г) Студенческая группа состоит из

г) 171;

27 человек, среди которых 15 юно-

шей и 12 девушек. Сколькими спо-

собами можно выбрать двух чело-

век одного пола?

д) Студенческая группа из 27 че-

д) 180;

ловек, среди которых 15 юношей

и 12 девушек отправилась на тан-

цы. Сколькими способами можно

составить пару из юноши и девуш-

ки?

е) На пяти карточках написаны

е)60.

цифры от 1 до 5. Случайным об-

разом выбирают три карточки и

раскладывают в ряд слева напра-

во. Сколькими способами можно

составить число число 123.

4.

3

а) В урне 15 шаров: 10 белых и 5

а) P (A) =

;

черных. Вынули два шара. Какова

7

вероятность, что оба шара белые?

1

б) В офисе работают 6 мужчин и

б) P (A) =

;

4 женщины. Для переезда наудачу

2

отобраны 7 человек. Найти веро-

ятность того, что среди отобран-

ных лиц три женщины.

в) P (A) 0; 39;

в) Студент знает ответы на 30 эк-

заменационных вопросов из 70. С

какой вероятностью он сдаст экза-

мен, если необходимо ответить не

менее чем на 2 вопроса из 3-х?

г) В ящике находится 15 каче-

ственных и 7 бракованных дета-

лей. Наудачу извлекаются 2 дета-

ли. Найти вероятность того, что:

7735 ;

I) обе детали будут качественны-

г)P (A) =

ми; II) одна деталь будет каче-

P (B) = 7735

;

ственной, а одна – бракованной;

P (C) =

7

;

III) обе детали бракованы.

77

61

д) Из 30 студентов 10 имеют спор-

д) P (A) =

;

203

тивные разряды, какова вероят-

ность того, что выбранные науда-

чу три студента имеют разряд?

е) В ящике 10 красных и 5 синих

е) P (A) =

55

.

пуговиц. Наудачу вынимают 2 пу-

105

говицы. Какова вероятность, что

обе пуговицы одного цвета?

5.

а) Магазин получил продукцию в

а) P (A) = 0; 6;

ящиках с четырех оптовых скла-

дов: пять с 1-го, семь со 2-го, три

с 3-го и пять с 4-го. Случайным

образом выбран один ящик. Како-

ва вероятность того, что это будет

ящик со второго или четвертого

склада.

б) P (A) 0; 44;

б) В городе 5 коммерческих бан-

ка, оценка надежности которых

равны 0,8, 0,9, 0,95, 0,85, 0,97 со-

ответственно. Найти вероятность

того, что за некоторый промежу-

ток времени обанкротится хотя бы

один банк.

в) Стрелок производит 4 выстрела

в) P (A) = 0; 386;

по удаляющейся цели, причем ве-

роятность попадания в цель в на-

чале стрельбы равна 0,7 и умень-

шается после каждого выстрела

на 0,1. Вычислить вероятность то-

го, что цель будет поражена не ме-

нее 3-х раз.

г) P (A) = 67 ;

г) В урне 10 красных и 5 синих

шаров. Из урны извлекаются по

91

одному три шара. Найти вероят-

ность того, что их 3-х извлечен-

ных шаров хотя бы один красный.

д) Вероятность, что студент сдаст

д)а)P (A) = 0; 02,

первый экзамен, равна 0,8; второй

б)P (B) = 0; 08,

– 0,9; третий – 0,75. Найти вероят-

в)P (C) = 0; 54,

ность, что студентом будет сдан:

г)P (D) = 0; 915,

а) только первый экзамен; б) толь-

д)P (E) = 0; 995;

ко один экзамен; в) три экзамена;

г) по крайней мере два экзамена;

д) хотя бы один экзамен.

е) P (A) = 137 .

е) 3 экзаменационных билета из 20

содержат простые вопросы. Пять

228

студентов по очереди берут биле-

ты. Найти вероятность того, что

хотя бы одному из них достанется

билет с простыми вопросами.

6.

а)Из 5 винтовок, 3 снабжены оп-

а) P (A) = 0; 88;

тическим прицелом. Вероятность

того, что стрелок поразит мишень

при выстреле из винтовки с опти-

ческим прицелом, равна 0,9; для

винтовки без оптического прицела

вероятность равна 0,85. Найти ве-

роятность того, что мишень будет

поражена при одном выстреле из

наудачу взятой винтовки.

б) В лотерее из 25 билетов 5 вы-

б) P (A) = 0; 2;

игрышных. Вытянули первый би-

лет, содержание которого осталось

неизвестным. Какова вероятность,

что второй вытянутый билет ока-

жется выигрышным?

в) В первой урне 5 черных и 4 бе-

в) P (A) =

5

;

18

лых шара, во второй– 5 белых и

4 черных, в третьей– 6 белых ша-

ров. Выбирают наугад одну из урн

и вынимают из нее шар. Найти ве-

роятность того, что белый шар вы-

нут из второй урны.

5

г) 3 завода выпускают однотип-

г) P (A) =

;

26

ные приборы в отношении 2:3:5.

Вероятность брака для этих за-

водов соответственно равны 0,03;

0,05; 0,01. Приобретённый прибор

оказался бракованным. Какова ве-

роятность того, что он изготовлен

3-м заводом?

д) На предприятии изготавлива-

д) P (A) = 0; 0275;

ют замки. Первый цех произво-

дит 20, второй 25, третий 45% всех

замков. Брак составляет соответ-

ственно 3, 5 и 2%. Найти вероят-

ность того, что случайно выбран-

ный замок будет дефектным.

е) В группе студентов 3 человека

е)а)P (A) = 0; 153;

имеют высокий уровень подготов-

б)P (B) = 0; 678;

ки, 16 человек – средний и 6 – низ-

в)P (C) = 0; 169.

кий. Вероятности успешной сда-

чи экзамена для данных студентов

соответственно равны: 0,9; 0,75 и

0,5. Студент сдал экзамен. Какова

вероятность того, что: а) он был

подготовлен отлично; б) был под-

готовлен средне; в) был подготов-

лен плохо.

7.

а) Предприятие выпускает

35%

а) P (A) = 0; 269;

изделий высшего

сорта. Какова

вероятность того, что из 7 выбран-

ных изделий 3 окажутся высшего

сорта?

б) Производится 7 выстрелов по

б) P (A) = 0; 671;

цели, вероятность

попадания в

каждом выстреле равна 0,3. Най-

ти вероятность того, что цель бу-

дет поражена хотя бы два раза.

в) При броске мяча баскетболист

в) m0 = 2,

попадает в корзину с вероятно-

P (A) = 0; 324;

стью 0,3. Найти наивероятнейшее

число попаданий при 6 бросках и

соответствующую вероятность.

г) Вероятность изготовления бра-

г) P (A) = 0; 144;

кованных деталей

равна

0,001.

Определить вероятность того, что

в партии из 800 деталей будет ров-

но 2 бракованные.

д) Страховая компания заключи-

д) P (A) = 0; 9938;

ла 40000 договоров. Вероятность

страхового случая по каждому из

них в течение года составляет 2%.

Найти вероятность, что таких слу-

чаев будет не более 870.

е) После распространения реклам-

е) P (A) = 0; 3133:

ных листовок клиники в одном

случае из тысячи следует обра-

щения в клинику. Найти вероят-

ность того, что при распростране-

нии 50 тыс. листовок число обра-

щений будет находиться в грани-

цах от 36 до 47.

8.

д) Случайная величина X за-

д) P (X < 1) = 0; 4;

дана следующим

распределени-

P ( 1 < X < 5) = 0; 6;

ем:

X

-5

-3

0

3

. Най-

M[X] = 0; 2;

P

0,1

0,3

0,2

0,4

D[X] = 8; 76;

ти P

(X

<

1), P(

-1<X<5), M[X],

F (x = 0) = 0; 4;

D[X], значение функции распреде-

M0 = 3;

ления при x = 0, моду.

е)

Стрелок

совершает

выстрелы

е)

по движущейся мишени до пер-

X

1

2

3

4

,

вого попадания, имея 4 патро-

P

0,8

0,08

0,024

0,096

на. Вероятность попадания в цель

M[X] = 1; 416;

при первом выстреле - 0,8, при-

D[X] = 0; 867:

чем при каждом последующем вы-

стреле уменьшается вдвое. Со-

ставить закон распределения чис-

ла

сделанных

выстрелов, найти

M[X]; D[X].

9. а) Случайная величина X зада-

а)a = 1

; M[X] = 7 , D[X] =

на плотностью вероятности

= 2

2

3

;

9

f(x) = 8a(x

1); 1 < x 6 3;

F (x) =

8

(x 1)2

; 1 < x

6

3;

>

0;

x 6 1;

4

x

<0;

x > 3

>

x > 3:

>

<1;

:

>

Найти

функцию

распределения

:

случайной величины X, a, M[X],

D[X].

д) Случайная величина X имеет

д)

плотность распределения:

F (x)=8

21 cos(x) + 21 ;

0 < x < ;

0;

x 6 0;

0;

x 6

0;

f(x) =

1 sin(x);

0 < x < ;

>

x > ;

8

2

<0;

>

<0;

x > :

>

>

:

1

,

M[X] =

2

:

функцию

распределе-

2

2,

Построить

D[X] = 4

ния, найти M[X]; D[X], найти ве-

P (0 < X < ) =

1+p

2

;

роятность того, что в результате

4

4

испытания случайная величина X

примет значение, заключенное в

интервале (0;

).

е)Плотность

4

е) C =

3 ,

11

,

распределения слу-

M[X]

=

чайной величины X задана в ин-

67

4

16

D[X] =

:

1280

тервале (0; 1) равенством f(x) =

C(x2 +2x), а вне интервала f(x) =

0. Найти параметр C, M[X], D[X].

10.

а) В здании торгового центра слу-

а)P (X > 3) = 0; 4,

чайное время ожидания лифта

P (0 < X < 1) = 0; 2,

равномерно распределено в диа-

M[X] = 2; 5 мин.,

пазоне от 0 до 5 минут. Найти

D[X] 2; 083 мин.,

плотность распределения времени

ожидания, вероятность ожидания

0;

x < 0;

<0;

x > 5;

лифта более 3-х мин, вероятность

f(x) =

8

1

0 6 x 6 5;

5

того, что лифт прибудет в тече-

>

ние первой минуты, среднее вре-