Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тренировочные тесты по курсу математики. Ч.2. Учебно-методическое пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

611 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

2. Ряды

Выражение
u1 + u2 + u3 + + un + : : :			(12)
			1
называется числовым рядом и обозначается			un (un общий
член ряда).			=1
член ряда).			nP
!1			n
!1	= S, где Sn	=	kP
Если существует lim Sn	= S, где Sn	=	uk = u1 + u2+
n			=1

+ + un его n-ая частичная сумма, то ряд называется сходящимся (число S сумма ряда), в противном случае расходящимся.

Необходимый признак сходимости. Если ряд (12) сходит-

ся, то lim un = 0.

n!1

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

1. Признак сравнения: если 0 6 un 6 vn 8n 2 N, то из сходимо-

	1	1	1
сти ряда	P	1	P
сти ряда	vn следует сходимость ряда		un, а из расхо-
	n=1		n=1
		P	1
димости ряда		P	nP
димости ряда		un расходимость ряда	vn.
		n=1	=1

В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выби-

рать геометрическую прогрессию P aqn (a 6= 0), которая

n=0

сходится при jqj < 1 и расходится при jqj > 1, и обобщенный

P1 1

гармонический ряд n=0 n (где > 0), который сходится при

> 1 и расходится при 6 1.

2. Предельный признак сравнения: если lim un = A (A =

n!1 vn

= const, A > 0), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

	un+1		1
	un+1	Даламбера: если для ряда	nP
3. Признак		Даламбера: если для ряда	un существует
			=1
lim		= l, то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 рас-
lim		= l, то при l < 1 ряд сходится, а при l > 1 рас-

n!1 un
ходится.	p
4. Признак Коши: если lim			= l, то при l < 1 ряд сходится,
4. Признак Коши: если lim		un	= l, то при l < 1 ряд сходится,
n!1	n
n!1
а при l > 1 расходится.
Признаки Коши и Даламбера не дают ответа, если l = 1.
				1
5. Интегральный признак: если члены ряда				nP
5. Интегральный признак: если члены ряда				un таковы, что
				=1

un = f(n) 8n 2 N, где f(x) непрерывная положительная монотонно убывающая в полуинтервале [1; 1) функция, то

этот ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда

сходится (расходится) несобственный интеграл f(x) dx.

Числовой ряд un, содержащий как положительные, так

n=1

и отрицательные члены, называется знакомеременным. Такой

составленный из модулей его членов, и условно			P
дящимся, если он сходится, а ряд	1	junj расходится. Из сходимо-
	=1
1	nP	1

ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд junj,

n=1

(неабсолютно) схо-

сти ряда junj следует сходимость ряда un, но из расходимо-

n=1 n=1

1	P	1
P	P	1
сти ряда	junj не следует расходимость ряда	un.
=1		=1
nP		nP

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся. Такой ряд записывают в виде

( 1)n 1un = u1 u2 + u3 u4 + + ( 1)n 1un + : : : : (13)

n=1

Если первый член отрицателен, то исследуют ряд P ( 1)n 1un.

n=1

Признак Лейбница: если члены ряда (13) удовлетворяют двум условиям

1. u1 > u2 > u3 > > un > : : : ;

2. lim un = 0,

n!1

то ряд сходится, причем его сумма 0 < S 6 u1.

Остаток rn = ( 1)n(un+1 un+2 +: : : ) ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, оценивается с помощью неравенства jrnj 6 un+1.

Функциональным рядом называется ряд вида

1
X	(14)
u1(x) + u2(x) + + un(x) + = un(x);	(14)

n=1

где un(x) функции, определенные на некотором множестве X. Множество X всех точек сходимости ряда (14) называется

его областью сходимости.

Ряд un(x) называется абсолютно сходящимся, если сходит-

n=1

ся ряд jun(x)j.

n=1

Степенным рядом называется ряд вида

a0 +a1(x x0)+a2(x x0)2 + +an(x x0)n + = an(x x0)n

	n=0	(15)
	или	(15)
	или
	1
	X
	a0 + a1x + a2x2 + + anxn + = anxn:	(16)

n=0

Числа a0; a1; : : : ; an; : : : называются коэффициентами ряда. Неотрицательное число R такое, что ряд (15) сходится в интер-

вале (x0 R; x0 +R) и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал (x0 R; x0 + R) его интервалом сходимости.

Если ряд (15) сходится только в одной точке x = x0, то для него R = 0. Для ряда (16) интервалом сходимости является интервал

( R; R). В своем интервале сходимости степенной ряд сходится абсолютно.

Если существует предел

		an		или n!1		j	nj
	n!1	an	= l	или n!1	n	j	nj	= l;
	lim	an+1	= l	lim	n	a		= l;
					p

1

то R = l.

Если l = 0, то степенной ряд сходится на всем множестве R. Свойства степенных рядов:

1.Сумма степенного ряда при всех значениях x из интервала сходимости есть непрерывная функция.

2.Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, т. е.

X	X
an(xn)0 =	nanxn 1:
n=0	n=1

3.Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем

1 ! 1 Zx

antn dt =		an
n=0	n=0	0
		0

1 xn+1

tndt = an n + 1; где jxj < R:

n=0

Рядом Тейлора в точке x0 называется ряд вида:

f0(x0)

f00(x0)

f(x0) +

(x x0) +

(x x0)2 + +

f(n)(x0)

(x x0)n + =

(x x0)n: (17)

n=0

При x0 = 0 получаем ряд Маклорена функции f(x)

f0(0)

f00(0)

+ +

f(n)(0)

f(0) +

x +

+ : : :

Основные разложения функций в степенные ряды:

1 xn

+ : : :

1 ( 1)n 1x2n 1

1) e =

=0 n! = 1 + x + 2! +

8x 2

(1; +1);

x (

; + ); nP

sin x

(2n

1)!

= x

+ : : :

8 2 1

( 1)

3) cos x =

(2n)!

= 1

+: : : 8x 2 (1; +1);

4)= P xn = 1+x+x2+x3+: : : 8x 2 ( 1; 1) (бесконечная

1 x n=0

убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = x);

5) (1 + x)m

1 +

m(m 1)(m 2) : : : (m n + 1)

xn =

n=1

= 1 + mx+

m(m

x +

m(m

1)(m

: : : 8x 2 ( 1; 1). Этот

ряд называется биномиальным;

( 1)n 1xn

x2 x3 x4

nP( 1)n 1x2n 1

6) ln(1+x) =

= x

+: : : 8x 2 ( 1; 1];

7) arctg x = n=1

2n 1

= x

+: : : 8x 2 [ 1; 1].

Степенные

ряды находят важное применение при вычисле-

нии приближенных значений функций, приближенного вычисления определенных интегралов, интегрировании дифференциальных уравнений.

Условия задач

Ответы

1. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

	1 3n + 1
а)			;	а) не выполняется, ряд расхо-
	=1	4n + 5
				дится;
	nP

б)

;

б) выполняется, нужны допол-

11n + 2

нительные исследования;

в)

;

в) не выполняется, ряд расхо-

2n2

n(n + 1)

дится;

г)

(3n

1)2

;

г) не выполняется, ряд расхо-

д)

;

д) выполняется, нужны допол-

(n + 2)p

нительные исследования;

е)

1 3n 1

;

е) не выполняется, ряд расхо-

дится;

ж)

1 n3 sin

;

ж) не выполняется, ряд расхо-

n 5

з) n=5

! .

з) не выполняется, ряд расхо-

n + 2

дится.

помощью

признаков

Даламбера исследовать сходи-

мость рядов:

а)

;

а) расходится;

(n + 3)!

б)

;

б) сходится;

=1 (

в)

nP n!

;

в) расходится;

г)

13n

;

г) расходится;

(n + 1)!

д)

(3n)!

;

д) сходится;

е)

;

е) расходится;

1 3n n!

ж)

;

ж) расходится;

з)

1 n3 sin

з) сходится.

n=1

3. СPпомощью признака Коши

исследовать сходимость рядов:

n + 3

а) n=1

;

а) сходится;

б) n=1

;

б) сходится;

2n + 1

в) n=1

! ;

в) сходится;

3n + 1

7n + 2

г) n=1

;

г) расходится;

n + 1

д) n=1

;

д) сходится;

2n + 3

е)

;

е) расходится;

(ln n)2n

n + 1

;

ж) расходится;

ж) n=1 2n

з)

n arcsin

з) расходится.

n=1

PС

помощью

интегрального

признака установите, сходится

или расходится ряд:

а)

;

а) сходится;

=2 n ln

б)

;

б) расходится;

3 + n2

в)

;

в) сходится;

г)

n(n + 3)

;

г) сходится;

д)

p3n

;

д) расходится;

2n + 1

е)

;

е) сходится;

ж)

+ 4

;

ж) расходится;

з) n=1

з) сходится.

(n + 2) ln5(n + 2)

5. ИсследоватьP

сходимость сле-

дующих знакопеременных

ря-

дов. В случае сходимости ис-

следовать

на

абсолютную

условную сходимость.

( 1)n 1

а) n=1

;

а) сходится условно;

2n + 1

б)

;

б) сходится абсолютно;

в)

( 1)n 1

n(n + 1)

;

в) сходится условно;

4n + 1

! ;

г) n=1( 1)n

6n + 1

г) сходится абсолютно;

( 1)

д)

;

д) сходится условно;

n + 3

ln n

е)

( 1)n 1

4n3 + n

;

е) расходится;

nP( 1)n

ж)

( 1)n

;

ж) сходится условно;

з)

4n2

+ 3

;

з) расходится;

и)

( 1)

;

и) сходится абсолютно;

n(n

1! .

к) сходится абсолютно.

к) n=1( 1)

Найти область

сходимости

рядов и исследовать сходи-

мость на концах интервала схо-

димости:

nP x2n 1

а) 2 6 x < 2;

а)

n 2n

;

( 1)n 1xn

б) n=1

;

б) 1 < x < 1;

в)

;

в) 1 < x 6 1;

д)

5n 1e nx;

д) ln 5 < x < 1;

г) n=1

(n + 1)!

;

г) 1 < x < 1;

(x + 5)n

2)n

е) 6 6 x 6 4;

е)

;

2)n

ж)

;

ж) 1 < x < 5;

=1 n

з) 0 6 x < 4.

з)

(2n

Решение задач варианта а.

1. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимо-

P1 3n + 1

сти ряда n=1 4n + 5.

Решение.
Проверим		необходимое условие сходимости. Поскольку
		3n + 1 3			6= 0, необходимое условие не выполня-
nlim un = nlim			=
		4n + 5		4
!1	!1

ется, значит ряд расходится.

Ответ: не выполняется, ряд расходится.

2. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ря-

P1 3n

да n=1 n5. Решение.

Применим

признак

Даламбера.

Так

как

lim

un+1

3n+1

3 n5

n!1

= 3 > 1, то ряд расходится.

= nlim

(n + 1)5

!1 n

1 +

Ответ: расходится.

3. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда

n=1

n + 3

Решение.

Применим

к ряду радикальный признак Коши. Так как

n + 3

n!1 p

n!1 u

4n 3

= n!1 4n 3

, то ряд

lim

< 1

сходится.

Ответ: сходится.

4. С помощью интегрального признака установите, сходится

или расходится ряд

=2 n ln

Решение.

Применим

интегральный

признак

Коши. Вычисляем

x ln2 x

blim

2 x ln2 x

blim

ln2 x

blim

ln x

d ln x

!1 R

lim

ln b

ln 2!

b!1

ln 2

Это означает, что несобственный интеграл сходится, а значит исходный ряд тоже сходится.

Ответ: сходится.

5.Исследовать сходимость следующий знакопеременный ряд.

Вслучае сходимости исследовать на абсолютную и условную схо-

1 ( 1)n 1

димость.

n=1

Решение.P

1 ( 1)n 1

Рассмотрим ряд n=1

= 1

+ : : : Он знакочереду-

2n 1

ющийся. К таким

рядам применим признак Лейбница. Так как

> : : : и

= 0, условия признака Лейбница выпол-

1 >

lim

n!1

сходится.

няются, значит ряд

Составим ряд из абсолютных величин

( 1)n 1

2n 1

n=1

Получим положительный ряд. Применим к нему признак срав-

нения. Сравним с гармоническим рядом

1 1

lim

n=1 n

n!1

следовательно данный ряд сходится

условно.

Ответ: сходится условно.

6. Найти область сходимости ряда и исследовать сходимость на

концах интервала сходимости

n 2n

Решение.

Это

степенной

ряд. Находим

радиус

сходимости

R = nlim

nlim

(n + 1)

2n+1

= nlim

< 1.

un+1

xn+1

n 2n

Тогда ряд сходится, если

< 1, откуда 2 < x < 2.

1 1

Исследуем сходимость в точках x =

и x = 2.

При x = 2 исходный ряд принимает вид

. Это

n=1

гармонический расходящийся ряд.

1 ( 1)n

( 2)n

При

x =

2 получаем знакочередующийся ряд

=1 n

(

1)n

. Этот ряд сходится условно, так как расходится ряд

из абсолютных величин его членов: n=1

= n=1

x < 2

[ 2; 2)

Итак, исходный ряд сходится при

Ответ: 6

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]