МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

¾САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ¿

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА, Е. А. ТАРАСОВА

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО КУРСУ

МАТЕМАТИКИ

Часть 2

Учебно-методическое пособие

Самара 2019

Введение

Преподавание математики для технических направлений вузов имеет целью ознакомить студента с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических инженерных задач; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести инженерную задачу на математический язык.

Все это имеет важное значение для последующей практической работы инженера и необходимо для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов бакалавриата первого курса всех направлений. Самостоятельное решение тестовых заданий способствует развитию у студентов практических навыков при решении широкого круга задач, связанных с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления, пределов, рядов, дифференциальных уравнений, теории вероятностей.

Пособие включает в себя три раздела. Каждый раздел соответствует нескольким темам курса математики, в нем приводятся основные теоретические сведения, необходимые формулы и методические указания с подробными решениями тестовых задач. Часть задач создана авторами, но в пособие также включены задачи из известных изданий, список которых приведен в библиографии.

3

1. Дифференциальные уравнения

где y = y(x) искомая функция, а y0(x), y00(x), : : : , y(n)(x) ее производные, называется дифференциальным уравнением n- го порядка.

Любая функция y = '(x), обращающая данное уравнение в тождество, называется его решением, а график функции интегральной кривой.

Функция y = ' (x; C1; C2; : : : ; Cn) называется общим решением уравнения n-го порядка, если: 1) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C1, C2, . . . , Cn; 2) каковы бы ни были начальные условия y(x0) = y0, y0(x0) = y00 , . . . , y(n 1)(x0) = y0(n 1); можно определить такие значения постоянных C10, C20, . . . , Cn0, что функция

y = ' x; C10; C20; : : : ; Cn0

удовлетворяет этим начальным условиям, т.е. будет частным решением уравнения.

x; C10; C20; : : : ; Cn0 = 0 частным интегралом уравнения n- го порядка. Задача отыскания частного решения данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши для этого уравнения.

Иногда частное решение определяется по так называемым краевым условиям. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого отрезка. Очевидно, что краевые условия ставятся лишь

имеют вид y = '(x; C) и y = '(x; C0) соответственно.

4

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

которое почленно интегрируется.

В результате получим общий интеграл уравнения (2) в виде

Функция F (x; y) называется однородной степени k, если для всех > 0 выполняется равенство F ( x; y) = kF (x; y). Примером однородной функции может служить любая форма (од-

родным, если f(x; y) однородная функция степени нуль. Уравнение M(x; y) dx + N(x; y) dy = 0 является однородным,

если M(x; y) и N(x; y) однородные функции одной и той же степени. Замена y = zx приводит однородное уравнение к уравнению

с разделяющимися переменными.

Уравнение вида y0 + p(x)y = q(x), где p(x), q(x) функции, непрерывные на [a; b], называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение ищут в виде y(x) = u(x) v(x), где u(x), v(x) две неизвестные функции. После подстановки в уравнение выражений для y и y0 получаем

5

В качестве v(x) выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению dxdv + p(x)v = 0, тогда функция u(x) определяется из

уравнения v dudx = q(x).

Уравнение вида y0 + p(x)y = q(x)y , где 2 R ( 6= 0, 6= 1), называется уравнением Бернулли. Путем подстановки z = y1 оно сводится к линейному. Его можно решать и непосредственно, применяя подстановку y(x) = u(x) v(x).

Уравнение M(x; y) dx+N(x; y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x; y). В этом случае уравнение можно записать в виде du(x; y) = 0, откуда следует, что соотношение u(x; y) = C является его общим интегралом.

Выражение M(x; y) dx + N(x; y) dy, где M, N непрерывные функции вместе со своими частными производными @M@y и @N@x в

некоторой области D, есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда @M@y = @N@x во всей области D.

Общий вид дифференциальных уравнений высшего порядка

F x; y; y0; y00; : : : ; y(n) = 0:

Допускают понижение порядка следующие типы дифференциальных уравнений.

1.Уравнение вида y(n) = f(x) решают путем n-кратного интегрирования.

2.Уравнение вида F x; y0; y00 = 0, явно не содержащее искомой функции y(x), сводят к уравнению первого порядка пу-

тем введения новой неизвестной функции z = z(x), полагая y0(x) = z(x), y00(x) = z0(x). Тогда уравнение принимает вид

F x; z; z0 = 0.

3.Уравнение вида F y; y0; y00 = 0, явно не содержащее незави-

симой переменной x, интегрируют с помощью подстановки p = y0, где p = p(y) новая неизвестная функция, а за аргу-

6

мент временно принята переменная y. Тогда y00 = p p0. При этом порядок уравнения понижается на единицу.

4.Если левая часть дифференциального уравнения есть точная производная какой-либо функции, то порядок уравнения также можно понизить.

Примеры точных производных:

и так далее.

Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

Чтобы решить ЛОДУ с постоянными коэффициентами, надо составить характеристическое уравнение

и найти все его корни 1, ..., n.

Общее решение уравнения (3) есть сумма, состоящая из слагаемых вида Cie ix для каждого простого корня i уравнения (4) и слагаемых вида

для каждого кратного корня уравнения (4), где k кратность корня. Все Ci произвольные постоянные.

Для каждой пары комплексных сопряженных корней = i в формулу общего решения включаются слагаемые

Cm+1e x cos x + Cm+2e x sin x;

7

если эти корни простые, и слагаемые

Pk 1(x)e x cos x + Qk 1(x)e x sin x;

если каждый из корней + i и i имеет кратность k. Здесь Pk 1 и Qk 1 многочлены степени k 1, аналогичные многочлену в (5), их коэффициенты произвольные постоянные.

Например, вид общего решения уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами зависит от корней характеристи-

ческого уравнения

2 + a1 + a2 = 0:

Если 1 и 2 различные и действительные корни, общее решение уравнения (6) имеет вид

y = C1e 1x + C2e 2x:

Если 1 = 2 = двукратный действительный корень, общее решение имеет вид

y = C1e x + C2xe x:

Если 1;2 = i комплексно сопряженные корни, общее решение записывается в виде

y = e x (C1 cos x + C2 sin x) :

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида называется уравнение

Общее решение дифференциального уравнения (7) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (3), то есть

y(x) = y0(x) + y(x):

8

Решение однородного уравнения y0(x) определяется так же, как написано выше, y(x) частное решение уравнения (7) в случае, когда правая часть дифференциального уравнения (7) имеет специальный вид, определяется методом неопределенных коэффициентов. Правая часть специального вида

f(x) = e x (Pm(x) cos x + Qn(x) sin x) ;

где Pm(x), Qn(x) полиномы степеней m и n соответственно. Укажем вид частного решения дифференциального уравне-

ния (7) в двух случаях.

1. Если число + i не является корнем характеристического уравнения (4) дифференциального уравнения (7), то

где Sl и Rl полиномы степени l = maxfm; ng с неопределенными коэффициентами.

2. Если число + i является корнем характеристического уравнения (4) дифференциального уравнения (7) кратности k, то

то есть частное решение приобретает множитель xk.

Рассмотрим применение метода вариации произвольных постоянных (метода Лагранжа) для решения неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее решение y(x) линейного неоднородного уравнения второго порядка

есть сумма общего решения y0 соответствующего ему однородного уравнения y00 + p1(x)y0 + p2(x)y = 0 и какого-нибудь частного

решения y уравнения (10)

y(x) = y0(x) + y:

9

Суть метода Лагранжа вариации произвольных постоянных заключается в следующем. Если y0 = C1y1 + C2y2 общее решение однородного уравнения, то частное решение y(x) ищется в виде

y = C1(x)y1 + C2(x)y2;

где C1(x) и C2(x) неизвестные пока функции, производные от которых определяются из системы

Решая данную систему, находим C10 (x) и C20 (x), откуда после интегрирования определяем C1(x), C2(x).

10

11

12

13

Решение задач варианта а.

1. Найдите общее решение диференциального уравнения y0(1 + x2) + x(1 + y2) = 0.

Решение.

dy

Запишем уравнение в виде dx(1+x2)+x(x+y2) = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы их разделить, по-

R R

сле потенцирования найдем общее решение y = Cex. При делении на y мы могли потерять решение y = 0, но оно содержится в общем решении при C = 0. Используем заданное начальное условие, получим y(0) = Ce0 = 1 ) C = 1, и, следовательно, частное решение есть y = ex.

Ответ: y = ex.

3. Найдите общее решение дифференциального уравнения

y00 = y0.

Решение.

Решим данное уравнение двумя способами.

1) В дифференциальном уравнении отсутствует независимая переменная x. Тогда делаем замену y0 = p(y), y00 = pp0. Уравнение

После потенцирования находим y + C = ex+D, y + C = ex eD, y = ex eD C.

14

Таким образом, общее решение имеет вид y = C1ex + C2, где

C1 = eD, C2 = C.

2) Разделим обе части уравнения на y0, получим

y00

y0 = 1:

Обе части уравнения являются полными производными по x, значит

Ответ: y = C1ex + C2.

4. Найдите общее решение дифференциального уравнения: y00 + 7y0 8y = 0.

Решение.

Характеристическое уравнение данного уравнения имеет вид2 + 7 8 = 0. Его корни 1 = 1, 2 = 8. Общее решение дифференциального уравнения y = C1ex + C2e 8x.

Ответ: y = C1ex + C2e 8x.

5. Дано дифференциальное уравнение y00 + 9y0 = f(x). Если f(x) = 1, то решение уравнения ищется в виде. . .

Решение.

Характеристическое уравнение 2 + 9 = 0 имеет корни 1 = 0 и 2 = 9. Общее решение соответствующего однородного уравнения y0(x) = C1 + C2e 9x. Правая часть заданного уравнения 1. Контрольное число = + i = 0 + i0 = 0 является корнем характеристического уравнения кратности k = 1, поэтому согласно формуле (9) y = x A.

Ответ: Ax.

6. Дано дифференциальное уравнение yIV + 16y00 = f(x). Если f(x) = 3 sin 4x, то решение уравнения ищется в виде. . .

Решение.

Характеристическое уравнение 4 + 16 2 = 0, 2( 2 + 16) = 0 имеет корни 1;2 = 0, 3;4 = 4i. Общее решение соответствующего однородного уравнения y0(x) = C1 + C2x + C3 sin 4x + C4 cos 4x.

15

Правая часть заданного уравнения 3 sin 4x. Контрольное число= + i = 0 + i 4 = 4i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1, поэтому y(x) = x(A cos 4x + B sin 4x) согласно формуле (9).

Ответ: x(A cos 4x + B sin 4x).

7. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 9y = 1.

Решение.

Характеристическое уравнение 2 9 = 0 имеет корни 1 = 3 и 2 = 3. Общее решение соответствующего однородного уравнения y0(x) = C1e3x + C2e 3x. Правая часть заданного уравнения 1. Контрольное число = + i = 0 + i 0 = 0 не является корнем характеристического уравнения, поэтому, согласно формуле (8), y(x) = A. Дифференцируя y(x) два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим:

19A = 1; A = 9:

1

Таким образом, y(x) = 9, а общее решение данного уравнения

1

есть y = y0(x) + y(x) = C1e3x + C2e 3x 9.

1

Ответ: y = C1e3x + C2e 3x 9.

8. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

y00 9y0 = e9x; y(0) = y0(0) = 0:

Решение.

Характеристическое уравнение 2 9 = 0, ( 9) = 0 имеет корни 1 = 0, 2 = 9. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y0(x) = C1 + C2e9x. Правая часть заданного уравнения e9x. Контрольное число = + i = 9 + i 0 = 9 является корнем характеристического уравнения кратности k = 1, поэтому, согласно формуле (9), y(x) = Axe9x. Дифференцируя

16

y(x) два раза и подставляя производные в данное уравнение, получим:

9Ae9x + 9A(e9x + 9xe9x) 9A(e9x + 9xe9x) = e9x;

17