Системный анализ и теория принятия решений. Практикум по курсовой работе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра автоматики и управления в технических системах

В.Ф. Кузнецов

Системный анализ и теория принятия решений

Практикум по курсовой работе

Для студентов, обучающихся по специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах» направления подготовки 220400 «Автоматизация и управление»

Москва 2014

УДК 005

К89

Р е ц е н з е н т ы д-р техн. наук Г.Н. Ахобадзе

(институт проблем РАН им. В.А. Трапезникова) доцент Д.В. Калитин (НИТУ «МИСиС»)

Кузнецов, В.Ф.

К89 Системный анализ и теория принятия решений : практикум по курсовой работе / В.Ф. Кузнецов. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 51 с.

Представлен материал, содержащий методические указания по выпол- нению курсовой работы по дисциплине «Системный анализ и теория приня- тия решений». Содержанием рассматриваемых задач является изучение и практическое освоение компьютерной поддержки принятия решений с ис- пользованием современного программного обеспечения. Содержание работы основано на опыте преподавания дисциплины «Системный анализ и теория принятия решений» в МГГУ.

В.Ф.Кузнецов – доцент кафедры автоматики и управления в технических системах (АТ) НИТУ «МИСиС».

Для студентов, обучающихся по специальности «Управление и информа- тика в технических системах» направления подготовки «Автоматизация и управление».

УДК 005

♥ В.Ф. Кузнецов, 2014

2

3

ВВЕДЕНИЕ

В практикуме рассматриваются задачи, входящие в курсовую ра- боту по дисциплине «Системный анализ и теория принятия реше- ний», содержанием которых является изучение и практическое ос- воение компьютерных программ, позволяющих осуществить компь- ютерную поддержку принятия решений. В качестве программного обеспечения использованы пакеты прикладных программ, входящие в программный комплекс Matlab.

Каждый из пяти разделов практикума содержит теоретические сведения по предлагаемому классу задач, числовые примеры реше- ния задач, контрольные вопросы и варианты индивидуальных зада- ний по каждому разделу практикума. Выполнение индивидуальных заданий направлено на создание у студентов навыков практического применения статистических и детерминированных методов решения задач принятия решений с использованием современного программ- ного обеспечения.

4

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ

FINANCIAL TOOLBOX

1.1. Метод решения задачи «Диверсификация портфелей»

Формирование портфеля ценных бумаг, являясь составной частью инвестиционного процесса, включает в себя определение конкретных активов для вложения средств, а также пропорций (весов) распреде- ления инвестиционного капитала между активами. Задача заключа- ется в достижении наилучшего возможного компромисса между воз- можным риском и доходностью.

Основные положения этого подхода, сформулированные Г. Марковицем в 1952 г., заключаются в следующем:

Предполагается, что в настоящий момент времени, обозначенный как t = 0, инвестор имеет некоторую сумму денег для инвестирования;

деньги инвестируются в конкретные ценные бумаги, которые бу- дут находиться в портфеле инвестора в течение определенного про- межутка времени, называемого периодом владения, до момента вре- мени, обозначенного как t = 1;

в конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, кото- рые были куплены в начале периода владения при t = 0;

доходности ценных бумаг и всего портфеля рассматриваются как случайные величины, так как в момент принятия решения инвестор не может точно спрогнозировать доходности ценных бумаг и порт- феля на предстоящий период владения;

доходности ценных бумаг и всего портфеля, определяемые как случайные величины, характеризуются средними значениями доход- ности (мера потенциального вознаграждения, связанная с конкрет- ным портфелем) и стандартными отклонениями – мерой риска, свя- занного с конкретным портфелем;

задача инвестора состоит в нахождении в момент времени t = 0 при покупке ценных бумаг сбалансированного решения на основе оценок ожидаемой доходности и ожидаемого риска каждого из воз- можных портфелей.

5

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг R определяется как средневзвешенная доходность ценных бумаг, составляющих компоненты портфеля

N

R= ∑Wi ri ,

i=1

где N – число ценных бумаг в портфеле; Wi – вес i-й ценной бумаги в портфеле; ri – доходность i-й ценной бумаги.

Дисперсия портфеля, состоящего из N ценных бумаг, вычисляется по формуле

NN

σ2p = ∑Wi2σi2 + 2∑∑WiWj covij ,

где co vij = rij σiσ j – ковариация активов i и j;

rij – коэффициент корреляции активов i и j;

σp; σi; σj – средние квадратические отклонения доходности порт- феля и входящих в него активов.

Для портфелей, составляемых из фиксированного набора акти- вов, отношение риск/доходность изменяется с изменением структуры портфеля, определяемого множеством {Wi}. Инвестор выбирает свой портфель таким образом, чтобы обеспечить максимальную ожидае- мую доходность для некоторого уровня риска или обеспечить мини- мальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Пример 1. Портфель должен состоять из двух видов ценных бу-

Риск инвестиций, измеряемый квадратическим отклонением до- хода σ p , составит: при полной положительной корреляции ( r12 = 1 )

σ p = 1,021 = 1,01; при полной отрицательной корреляции

6

Из сказанного следует, что эффективность диверсификации (в от- ношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или в крайнем случае нулевой корреляции.

Зависимость доходности портфеля от риска при вариации относи- тельных весов каждой составляющей портфеля Wi носит название эффективной границы, которая содержит две ветви: нижнюю, где рост доходности происходит при уменьшении риска, и верхнюю, где рост доходности происходит при увеличении риска. Ветви эффек- тивной границы соединяются в точке, соответствующей минималь- ному риску. Верхняя ветвь эффективной границы позволяет инвесто- ру выбрать доходность портфеля и соответствующие ей риск и ди- версификацию компонентов портфеля Wi.

Программа Financial Toolbox (FT), входящая в программный ком- плекс Matlab, содержит набор операторов, позволяющих выполнить диверсификацию портфеля ценных бумаг, в том числе оператор по- строения эффективной границы с указанием параметров точки ми- нимального риска.

На интерактивном демонстрационном примере, приводимом про- граммой Matlab, инвестор может распределить свои средства между несколькими фондами и для каждого варианта диверсификации портфеля построить эффективную границу, для каждой точки кото- рой указывается доход, риск и показатели Wi. Если инвестор выбрал ценные бумаги двух первых фондов Equity и Balanced , то эффектив- ная граница приобретает вид, представленный на рис. 1.1.

Минимальный риск (Volatiltty)составляет 9,3505 с весами 0,46093

и 0,53907 при доходности (Expected Return) 9,2353. При работе с первыми 4 фондами минимальный риск составляет 6,7025 при до- ходности 10,4243 (рис. 1.2). При работе со всеми 6 фондами мини- мальный риск составляет 5,9334 при доходности 8,3303 (рис. 1.3).

Для построения эффективной границы необходимо располагать сведениями об ожидаемых доходах каждого фонда (вида ценных бу- маг) и ковариационной матрицей, определяющей статистическую взаимозависимость этих доходов.

7

ковариации (covariance) cov(K,S);

среднего квадратического отклонения (standard deviation) σK и σS;

коэффициента корреляции (correlation) rKS= cov(K,S)/ σKσS.

Эти расчеты могут быть выполнены, как показано ниже, специ- альными операторами программы Matlab :

sum(А) – сумма элементов вектора А;

mean(А) – математическое ожидание элементов вектора А; var(A,1) – центральная дисперсия элементов вектора А;

std(A,1) – среднего квадратического отклонения вектора А (опера- тор std(A,1) может быть использован независимо от предварительно- го применения оператора var(A,1).

cov(A,B,1) –ковариации векторов А и В. Программа возвращает ковариационную матрицу каждого вектора с каждым. Для рассмат- риваемого примера это матрица размерностью 2·2 (табл. 2). По глав- ной диагонали ковариационной матрицы располагаются значения дисперсий векторов K и S.

10