Системный анализ и теория принятия решений. Практикум по курсовой работе

13.Какая точка в столбцах данных, возвращаемых программой, является точкой минимального риска?

14.Какая функция преобразует ковариационную матрицу в кор- реляционную?

15.Какая функция преобразует корреляционную матрицу в кова- рационную?

16.Как связана волатильность портфеля с дисперсией портфеля?

17.Почему необходима диверсификация портфелей?

1.7. Варианты задания по разделу 1 курсовой работы

Номер варианта задания в табл. 7 совпадает с номером фамилии студента в списке группы.

1.Найти статистические параметры двух случайных величин А

иВ, представляющие собой % дохода инвестиций в фонды А и В за пять лет.

2. Выполнить диверсификацию портфеля при наличии 4 фон- дов для инвестиции A, R, N, P. Определить 12 точек эффектив- ной границы, для задачи диверсификации портфеля, выбрав 3 наиболее перспективных фонда в отношении дохода и вола- тильности портфеля.

Уровни дохода (ExpReturn) фондов в % заданы в табл. 8. Номер строки табл. 8 соответствует номеру варианта задания по курсовой работе.

21

Ковариация фондов для всех вариантов задания одинакова и ука- зана в табл. 9.

3.Решить задачу диверсификации портфеля, построить график эффективной границы, найти на основании полученного решения минимальное значение волатильности портфеля и соответствующий этому значению риска доход портфеля и весовые коэффициенты размещения инвестиций по фондам.

4.С помощью формулы, использующей перемножение вектора доходов и ковариационной матрицы фондов проверить полученную программным путем

величину минимального риска.

5.Дать письменный ответ на контрольный вопрос, номер которо- го совпадает с номером варианта задания.

22

2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ

OPTIMIZATION TOOLBOX

2.1. Решение задач линейного программирования

Задачей линейного программирования является минимизация (или максимизация) линейной формы от нескольких аргументов x1...xn при наличии нескольких ограничений (неравенств или ра-

венств), представляющих собой также линейные формы от указан- ных аргументов. В большинстве случаев аргументы принимаются неотрицательными.

Известной задачей линейного программирования является задача о пищевом рационе. Сущность этой задачи рассмотрим на следую- щем примере. Решение задачивыполним, используя программу Optimization Toolbox, входящую в программный комплекс Matlab.

Имеется четыре вида продуктов питания: П1 , П2 , П3 , П4 . Из- вестна стоимость единицы каждого продукта: С1 , С2 , С3 , С4 . Из

этих продуктов необходимо составить пищевой рацион, который должен содержать не менее b1 единиц белков, не менее b2 единиц

углеводов, не менее b3 единиц жиров. Известно, что в единице про- дукта П1 содержится a11 единиц белков, a12 единиц углеводов, a13

единиц жиров и т.д. Содержание элементов в единице каждого про- дукта отображено в табл. 10.

Требуется составить пищевой рацион, обеспечивающий наличие за- данных элементов (белки, углеводы, жиры) и обладающий минимальной

23

стоимостью. Пусть x1 , x2 , x3 , x4 – количество продуктов П1 , П2 , П3 , П4 , входящих в рацион. Тогда стоимость рациона составит:

L = С1 x1 + С2 x2 + С3 x3 + С4 x4 = min.

Суммарное содержание элементов в рационе определяется нера- венствами (ограничениями):

a11 x1 + a21 x2 + a31 x3 + a41 x4 ≥ b1 ;

C учетом неотрицательности переменных x добавляются 4 нера- венства (ограничения слева):

x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0 , x4 ≥ 0 .

Задача линейного программирования: требуется найти значения переменных x,удовлетворяющих системе перечисленных ограниче- ний, при которых функция цели L минимальна.

Стандартная задача, решаемая программой Optimization Toolbox, состоит в нахождении минимума целевой функции L при ограниче- ниях типа ≤ (ограничения справа).

2.2. Задача об усреднении состава руды

Железная руда поступает в бункер из 4-х рудников. Для получе- ния из нее сплава с заданными свойствами она должна содержать 3 элемента А, В, С в количестве, указанном в табл. 11.

Руда на каждом руднике содержит эти 3 элемента в разных коли- чествах (кг/т), указанных в табл. 12.

24

Таблица 12

Стоимость добычи и перевозки 1 т руды от рудника до бункера указана в табл. 13 ($).

Можно составить различные смеси, удовлетворяющие минималь- ным требованиям по всем основным элементам. Но руда от разных рудников имеет различную стоимость, поэтому стоимость смесей также различна. Требуется найти самую дешевую смесь.

Пусть x1 – часть тонны смеси, получаемая от руды 1-го рудника; x2 – часть тонны смеси, получаемая от руды 2-го рудника;

x3 – часть тонны смеси, получаемая от руды 3-го рудника; x4 – часть тонны смеси, получаемая от руды 4-го рудника.

Тогда количество элементов А, В, С в одной тонне смеси опреде- ляется неравенствами

Поскольку сумма четырех компонентов должна давать 1, x1 + x2 + x3 + x4 = 1;

Это ограничение называется ограничением материального балан- са и задается в виде равенства.

Целевая функция, определяющая стоимость тонны любой смеси, имеет вид

L = 500 x1 + 100 x2 + 300 x3 + 200 x4 → min.

25

Приведя математическое описание к стандартному (для программы Optimization Toolbox) виду, получим задачу линейного программирования

L = 500 x1 + 100 x2 + 300 x3 + 200 x4 → min. –9 x1 – 3 x2 – 7 x3 – 4 x4 ≤ – 6;

В рабочем окне программы Matlab выполняем действия, приве- денные ниже

Согласно ответу программы руду со второго рудника не нужно доставлять в бункер.

2.3. Контрольные вопросы по разделу 2 курсовой работы

1.Что такое математическая модель задачи линейного програм- мирования?

2.В чем состоит подготовка математической модели задачи ли- нейного программирования к решению средствами программы Optimization Toolbox?

3.Могут ли ограничения задачи линейного программирования быть представлены в виде равенств?

26

4.Как ограничения в виде равенств записываются в атрибутах функции linprog?

5.Какие атрибуты используются в функции linprog?

6.Могут ли в решении задачи об усреднении состава руды пере- менные xi быть больше единицы?

7.Могут ли ограничения в задаче линейного программирования содержать нелинейные компоненты?

8.Что означает атрибут lx в функции linprog?

9.Какие атрибуты должна содержать функция linprog при отсут- ствии ограничений в виде равенств?

10.Чем отличаются задачи нелинейного и линейного программи- рования?

2.4. Варианты задания по разделу 2 курсовой работы

Варианты задания по второму разделу курсовой работы приведе- ны в табл. 14.

Номер варианта задания совпадает с номером фамилии студента в списке группы; b1; b2; b3 – минимальное содержание элементов A, B, C в руде, доставляемой из 1, 2 , 3 и 4 рудников; с1, с2, с3 и с4 – стоимость добычи и перевозки руды к бункеру. Требуется найти са- мую дешевую смесь, то есть весовые коэффициенты x1...xn (аргумен-

ты задачи) и минимум целевой пользуя функции L, используя про-

грамму Optimization Toolbox (функция linprog).

Таблица 14

27

3. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫХ МЕТОДОВ

3.1. Классификация критериев принятия решений

Теоретико-игровые методы принятия решений предусматривают следующие этапы принятия решений:

1.Составление матрицы решений, содержащей значения функции эффективности для множества альтернатив Ei и множества условий Fj, в которых эти альтернативы реализуются.

2.Применение к матрице решений критериев принятия решений (соответствующих условиям задачи) с целью выбора оптимальной альтернативы.

3.Проверка рекомендаций, предлагаемых критериями, с помощью методов экспертного анализа.

Общий вид матрицы решений приведен ниже.

Матрица содержит m альтернатив Ei и n условий Fj , в которых

эти альтернативы реализуются. Элементами матрицы A(eij) являются значения функции эффективности, которая может принимать как по- ложительные, так и отрицательные значения. Дополнительный стол- бец eir содержит обобщенное значение функции эффективности по строке, получаемое с помощью выбранного критерия.

Критерии принятия решений делятся на три группы: классиче- ские, производные и составные. Основными в каждой группе явля- ются следующие.

28

Классические:

1.Минимаксный (ММ);

2.Байеса – Лапласа (BL);

3.Сэвиджа (S);

4.Азартного игрока (H).

Производные:

1.Гурвица (HW);

2.Ходжа – Лемана (HL);

Составные:

1.BL(MM);

2.BL(S).

Каждая последующая группа критериев предусматривает увеличение объема вводимой информации по сравнению с предыдущей группой.

3.2.Классические критерии принятия решений

ММ– минимаксный критерий принятия решений. Дополнительный столбец eir содержит минимальные значения

Пример 1: требуется принять решение об оснащении трубопрово- да контрольно-измерительной аппаратурой, которая позволит мини- мизировать расходы на ликвидацию отказов и аварий. Матрица ре- шений, содержащая суммарные затраты (в уловных денежных еди- ницах) на установку аппаратуры и ликвидацию аварий, имеет вид

Варианты решения:

E1 – оснащение полным комплектом аппаратуры;

E2 – оснащение минимальным комплектом аппаратуры;

E3 – отказ от установки аппаратуры. Трубопровод может находиться в трех состояниях: F1 – неисправностей нет;

F2 – имеются незначительные неисправности;

F3 – аварийное состояние.

29

После заполнения столбца eir находят оптимальную альтернативу,

имеющую максимальное значение eir . Для рассматриваемого примера

оценочная функция ММ-критерия ZMM = max eir = – 25. Поэтому выбира-

i

ется альтернатива E1 – оснащение полным комплектом аппаратуры. Условия, при которых рекомендовано использование ММ-критерия:

1)о возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

2)приходится считаться с появлением различных внешних со- стояний;

3)решение реализуется только один раз (не будет возможности второй раз реализовать решение);

4)необходимо полностью исключить риск, т.е. не допускается по- лучить результат, хуже, чем ZMM.

Всвязи с указанными условиями ММ-критерий называют песси- мистической позицией.

Критерий Байеса-Лапласа (BL-критерий).

Этот критерий учитывает вероятность qj каждого условия Fj .

Элементы столбца eir находят суммированием произведений eij · qj

по строке. После заполнения столбца eir находят оптимальную аль-

тернативу, имеющую максимальное значение eir . Для рассматривае-

Следовательно, оптимальным решением согласно BL-критерию яв- ляется E3, то есть отказ от использования контрольно-измерительной аппаратуры, что противоречит рекомендации ММ-критерия. Матри- ца решений BL-критерия (при равновероятных условиях) имеет вид

Условия, при которых рекомендовано использование BL – критерия: 1) вероятности появления состояний известны и не зависят от

времени;

30