Системный анализ и теория принятия решений. Практикум по курсовой работе

мещается по линии LG вправо и вверх. Точка, попавшая последней на грани конуса предпочтения, соответствует наилучшей альтерна- тиве (рис. 4.5).

F2– ось, соответствующая стабильному

состоянию экономики

Рис. 4.5

Матрица || eij || для табличного решения задачи об инвесторе с использованием H–критерия дает то же решение и имеет вид

4.2. Контрольные вопросы по 4 разделу курсовой работы

1. Под каким углом расположены грани конуса предпочтения при графическом применении ММ-критерия?

2. Под каким углом расположены грани конуса предпочтения при графическом применении BL-критерия?

42

3.Как расположена линия LG при графическом применении ММ- критерия?

4.Как расположена линия LG при графическом применении BL- критерия?

5.Как расположена линия LG при графическом применении S- критерия?

6.Как расположена линия LG при графическом применении H- критерия?

7.Под каким углом расположены грани конуса предпочтения при графическом применении S-критерия?

8.Под каким углом расположены грани конуса предпочтения при графическом применении H-критерия?

9.В каком направлении перемещается конус предпочтения при графическом применении критериев принятия решений?

10.Как определить точку, являющуюся решением задачи?

4.3. Варианты задания по разделу 4 курсовой работы

Варианты задания по 4-му разделу работы приведены в табл. 16. Номер варианта задания в табл. 16 совпадает с номером фамилии студента в спи- ске группы. Требуется решить графическим методом задачу об инвесторе с использованием ММ-, BL-, S-, H-критериев. Первая строка матрицы реше- ний, приведенной в примере 3, изменена для каждого варианта задания (элементы a11, a12); q1; q2 – вероятности состояний F1 и F2.

Решения с помощью каждого критерия выполнить табличным и графи- ческим способами. На основании полученных решений сделать вывод о том, какой критерий необходимо использовать для решения данной задачи.

Таблица 16

43

5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ

5.1. Примеры статистической обработки экспертной информации

Рассмотрим сущность статистического метода на примере реше- ния одной из экспертных задач, состоящей в ранжировании альтер- натив. При строгом ранжировании ранги альтернатив не могут сов- падать. Степень согласованности экспертных оценок при строгом ранжировании определяется с помощью коэффициента конкордации (согласия) W, определяемого по формуле

где N – число экспертов;

n – число ранжируемых объектов (признаков); ri – сумма рангов каждого признака;

riс = 1 N(n +1) – средняя сумма рангов признаков.

2

Пример 1 [2]. Пусть группа экспертов состоит из N =10 человек, которым необходимо проранжировать по степени важности n = 6 признаков технологического процесса выплавки стали в конверторе. Результаты работы экспертов приведены в табл. 17. В ее правом крайнем столбце приведена сумма рангов каждого признака

N

ri = ∑rij , где rij – ранг i-го признака, назначенный j-м экспертом.

j=1

44

Средняя сумма рангов признаков для данного примера

riс = 1 N(n + 1) = 10 · 7/2 = 35.

2

Коэффициент конкордации W = 0,69. Далее с помощью χ2 – крите-

рия Пирсона проверяем статистическую значимость ранжировки. Вы- брав уровень значимости (вероятность ошибки) α = 0,01, выдвигаем гипотезу о том, что статистика N(n-1)W имеет равномерный закон рас-

пределения. С помощью χ2 – распределения (табл. 18) находят для вы- бранной величины α и n – 1 степеней свободы распределения стати- стику Wα . Если N(n–1)W > Wα , то гипотеза о равномерном законе рас-

пределения статистики N(n–1)W отвергается и тем самым подтвержда- ется статистическая значимость полученного результата ранжировки. В рассмотренном примере N(n–1)W = 10 · 5 · 0,69 = 34,5.

Из таблицы распределения χ2 для n – 1 = 5 находим Wα = χ0,012 (5) = =15,09.

34,5 > 15,09. Поэтому гипотеза о равномерном законе распределения отвергается и результат ранжировки признается статистически значимым.

Пример 2. Бригада арбитров в составе N = 5 ранжирует места трех спортсменов (n = 3) по результатам, показанным ими в ходе соревно- ваний. Результаты ранжировки сведены в табл. 19.

45

Гипотеза о равномерном распределении принимается, решения арбитров лишены статистической значимости.

5.2. Статистическая обработка экспертной информации при нестрогом ранжировании признаков

При нестрогом ранжировании ранги могут быть дробными, по- скольку эксперты считают, что несколько признаков имеют одинако- вую важность в иерархии рангов.

Коэффициент конкордации для нестрогого ранжирования

где ki – число групп равных рангов, введенных i-м экспертом;

tij – количество дробных рангов в j-й группе, введенной i-м экс-

пертом.

Пример 3 [4]. Три эксперта (N = 3) провели нестрогую ранжиров- ку пяти (n = 5) признаков перспективности разработки месторожде- ний полезного ископаемого. Требуется определить статистическую ценность ранжировки. Результаты работы экспертов приведены в табл. 19.

riс = 1 N(n + 1) = 3 · 6/2 = 9.

2

N 2 (n3 − n) = 32 (53 − 5) = 9 120 = 1080 .

i = 1; t11 = 2 ; (t113 − t11) = 6 . i = 3; t31 = 2 ; (t313 − t31) = 6 .

46

Статистика N(n–1)W = 3 · 4 · 0,466 = 5,592.

Из таблицы χ2 – распределения для n – 1 = 4 находим χ0,12 (4) = 7,78 >

> 5,592. Поэтому гипотеза о равномерном законе распределения принима- ется и результат ранжировки признаётся статистически незначимым, то есть отвергается.

Пример 4. Бригада арбитров в составе 5 человек (N = 5) ранжирует места 3 спортсменов (n = 3) по результатам, показанным ими в ходе со- ревнований. Результаты нестрогой ранжировки приведены в табл. 20.

47

Гипотеза о равномерном распределении отвергается, решения ар- битров при уровне значимости α = 0,1 имеют статистическую зна-

чимость. χ0,12 (2) = 4,61; 9 > 4,61.

При уровне значимости α = 0,05 гипотеза о равномерном распре- делении отвергается, решения арбитров имеют статистическую зна- чимость.

χ0,052 (2) = 5,99. 9 > 5,99.

При уровне значимости α = 0,01 гипотеза о равномерном распре- делении принимается, решения арбитров не имеют статистической значимости.

5.2. Контрольные вопросы по разделу 5 курсовой работы

1.В чем состоит экспертная задача ранжирования альтернатив?

2.Как производится строгое и нестрогое ранжирование?

3.Как определяется число степеней свободы распределения?

4.Какую гипотезу выдвигают о распределении рангов признаков, предлагаемых экспертами?

5.Что означает уровень значимости α в таблице χ2 -распределения?

6.Как определяется статистическая значимость решения задачи ранжирования?

7.По какой формуле вычисляется статистика, которую сравнива-

ют с данными таблицы χ2 -распределения?

8.Почему появляются дробные ранги при нестрогом ранжировании?

9.Что означают коэффициенты ki и tij в формуле коэффициента конкордации для нестрогого ранжирования?

5.3. Варианты задания по 5-му разделу курсовой работы

Требуется решить задачу ранжирования признаков перспективно- сти разработки месторождений полезного ископаемого, дополнив таблицу 19 мнением четвертого

эксперта и решить с учетом его позиции 1) задачу нестрогого ранжирования признаков;

2) решить вопрос о статистической значимости результатов ран- жирования.

48

Позиция четвертого эксперта представлена в табл. 21. Номер ва- рианта задания совпадает с номером фамилии студента в списке группы.

Таблица 21

49

Заключение

Изложенный материал основан на опыте преподавания автором дисциплины «Системный анализ и теория принятия решений»

вМГГУ. Рассмотрены способы принятия решений с использованием современного программного обеспечения, осуществляющего компь- ютерную поддержку принятия решений. В качестве программного обеспечения использованы пакеты прикладных программ, входящие

впрограммный комплекс Matlab.

Список литературы

1.Кузнецов В.Ф. Системный анализ и теория принятия реше-

ний. – М.: МГГУ, 2011.

2.Макаров И.М. и др. Теория выбора и принятия решений. – М.:

Наука, 1982.

3.Лавров К.Н., Цыплякова Т.П. Финансовая аналитика. Матлаб

6.– М.: Изд. «ДИАЛОГ.МИФИ», 2001.

4.Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Изд-во Финансы и статистика, 2004.

5.Алексеев Е.Р. Чеснокова О.В. Matlab 7. – Изд. «NT Press», 2006.

50