Системный анализ и теория принятия решений. Практикум по курсовой работе

2)решение реализуется много раз (теоретически бесконечное число раз);

3)для малого числа реализаций допускается некоторый риск.

Вотличие от ММ-критерия BL-критерий требует наличия стати- стических данных, т.е. требует большего объема информации, пре- доставляемой лицу, принимающему решение.

Изменение вероятностей qj условий существенно влияет на ре-

зультат решения задачи выбора. Исходная позиция BL-критерия бо- лее оптимистическая, чем у ММ-критерия, что позволяет принимать менее затратные (экономически более выгодные) решения.

Критерий Сэвиджа (S-критерий).

Критерий Сэвиджа не предназначен для принятия технических решений, поскольку он провоцирует риск. В его основу положен принцип минимизации штрафов (сожалений об упущенных возмож- ностях), которые представляют собой возможную упущенную выго- ду каждого из решений по сравнению с наиболее выигрышной аль- тернативой. В соответствии с этим критерием матрицу || eij || преобра-

зуют в матрицу || aij ||, элементы которой определяют по формуле:

В скобках указано значение eij . Для данной задачи минимальное значение air соответствует альтернативе Е2 – оснащению трубопро-

вода минимальным комплектом аппаратуры. Условия, при которых рекомендовано использование S-критерия:

1)о вероятностях условий Fj ничего не известно;

2)с появлением каждого условия Fj необходимо считаться;

3)в связи с тем, что допускается риск, критерий не рекомендуется применять для принятия технических решений.

31

Критерий азартного игрока (H-критерий).

H-критерий не предназначен для принятия технических решений, поскольку допускает риск и игнорирует негативные ситуации. Со- гласно этому критерию элементы столбца eir определяются по фор-

E3 – отсутствие контрольно-измерительной аппаратуры. Условия применения H-критерия:

1)о вероятностях состояний Fj ничего не известно;

2)количество реализаций решения не известно;

3)допускается значительный риск.

Для рассмотренного примера классические критерии дают раз- личные результаты. В то же время, по условиям применения (про- кладка трубопровода в реальных условиях происходит один раз), предпочтение следует отдать критерию ММ. Поэтому оптимальной альтернативой следует признать решение E1 – оснащение трубопро- вода полным комплектом контрольно-измерительной аппаратуры. Критерий BL, допускающий множество реализаций, к этой задаче неприменим по указанной выше причине, а критерии S и H для зада- чи о прокладке трубопровода не пригодны, так как их использование для принятия технических решений не рекомендуется, поскольку допускает неоправданный риск.

Пример 2. Продавец журнального киоска может купить ежене- дельный журнал по 40 рублей за экземпляр и продать по 75 рублей. Но он должен еженедельно закупить журналы до того, как будет знать, сколько их реально купят. Если он купит слишком мало жур- налов, то он потеряет постоянных покупателей сегодня и, возможно, в будущем. Предположим, что упущенную выгоду можно оценить в 50 рублей на одного неудовлетворенного покупателя.

Предположим, что продавец оценил вероятность спроса на жур- нал следующими числами:

q0 = 0,1 (спрос равен 0; покупателей нет); q1 = 0,3 (спрос равен 1; 1 покупатель);

q2 = 0,4 (спрос равен 2; 2 покупателя); q3 = 0,2 (спрос равен 3; 3 покупателя).

32

Имеются 4 состояния Fj , характеризуемых указанными выше ве-

роятностями qj . Решением задачи Ei является количество экземпля-

ров журналов заранее закупаемых продавцом.

E0 – продавец не закупает заранее ни одного экземпляра журнала;

E1 – продавец закупает заранее один экземпляр журнала;

E2 – продавец закупает заранее два экземпляра журнала;

E3 – продавец закупает заранее три экземпляра журнала.

Функцией эффективности eij является прибыль или упущенная выгода, определяемые по формуле eij = 75 · (количество проданных

экземпляров) – 40 · (количество заранее закупленных экземпляров) – 50 · (количество неудовлетворенного спроса). Матрица решений имеет вид (элементы матрицы содержат расчет платежей и доходов владельца киоска)

Применяя ММ-критерий, получим, что нужно выбрать решение E1 –

Поскольку решение принимается многократно и известны вероят- ности состояний, более целесообразно использовать BL-критерий, для которого столбец eir имеет вид

33

Для использования S-критерия составим матрицу || aij ||, элементы

Согласно критерию азартного игрока (предельно оптимистическая позиция) элементы столбца eir определяются по формуле eir =

max ( eij ) (максимальная прибыль для каждой альтернативы).

j

Для H-критерия матрица решений имеет вид

34

Для рассматриваемого примера оценочная функция H-критерия

ZH = max eir = 105, предельно оптимистическая позиция рекоменду-

i

ет выбирать альтернативу E3 – заранее закупать 3 экземпляра жур-

нала.

Согласно условиям применения критериев следует отдать пред- почтение BL-критерию и признать наилучшей альтернативу E2 , ре-

комендуемую также S-критерием (применимым для данной задачи). Совпадение позиций двух критериев (BL и S) говорит о том, что ис- ходная информация достаточна для решения данной задачи.

3.3. Контрольные вопросы по 3 разделу курсовой работы

1.Что такое матрица решений?

2.Какая информация содержится в столбце eir матрицы решений?

3.При каких условиях можно использовать BL-критерий?

4.Какие критерии не рекомендуется использовать для принятия технических решений?

5.Какой критерий необходимо использовать при однократной реализации решения?

6.Почему применение S-критерия не рекомендуется для принятия технических решений?

7.Почему применение H-критерия не рекомендуется для приня- тия технических решений?

8.Почему ММ-критерий называют пессимистической позицией?

9.Почему для решения задачи о журнальном киоске целесообраз- но использовать BL-критерий?

10.Почему для решения задачи о журнальном киоске нецелесооб- разно использовать MM-критерий?

11.Как подробно называются MM- и BL-критерии?

12.Как подробно называются S- и H-критерии?

3.4. Варианты задания по разделу 3 курсовой работы

Варианты задания по 3 разделу курсовой работы приведены в табл. 15. Номер варианта задания совпадает с номером фамилии студента в

списке группы.

35

Требуется решить задачу о журнальном киоске, используя BL- критерий принятия решений при заданных значениях вероятностей спроса на журнал.

q0 (спрос равен 0; покупателей нет); q1 (спрос равен 1; 1 покупатель);

q2 (спрос равен 2; 2 покупателя); q3 (спрос равен 3; 3 покупателя).

Стоимостные данные взять из приведенного выше примера.

Таблица 15

36

4. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПРИМЕНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

4.1. Примеры применения классических критериев

Если число условий реализации решения равно 2, то можно приме- нить графический метод использования критериев принятия решений.

Пример 3. Задача об инвесторе. Инвестор располагает суммой в 100 денежных единиц и может реализовать 3 стратегии: E1 – предос- тавить заемщику краткосрочный кредит под высокую процентную ставку (краткосрочные обязательства КО); E2 – хранить денежные средства дома, не считаясь с тем, что их реальная стоимость умень- шается в связи с инфляцией; E3 – вложить деньги в акции. При этом возможны 2 состояния экономики: F1 - кризис, сопровождаемый не-

возвратом кредитов, инфляцией и падением стоимости акций, F2 –

стабильное развитие.

Пусть матрица решений имеет вид, представленный ниже. Эле- менты матрицы решений содержат величину дохода, получаемого инвестором после размещения 100 единиц денежных средств тремя указанными выше способами.

При количестве состояний Fj равном двум задача принятия ре-

шений с применением рассмотренных выше критериев может быть решена не только табличным, но и графическим способом, что по- зволяет установить наглядную связь между критериями. Альтерна- тивы Ei отображаются в виде точек на плоскости с координатами F1

и F2 , соответствующими значениям функции эффективности, ука- занным в матрице решений. Принятие решения сводится к переме-

37

щению конуса предпочтения по линии, называемой порождающей прямой (LG), до тех пор, пока на грани конуса предпочтения не по- падет последняя точка, становящаяся наилучшей альтернативой.

Для классических критериев MM и H конус предпочтения представ- ляет собой прямой угол, развернутый в сторону первого квадранта для ММ-критерия и в сторону третьего квадранта – для H-критерия. Линия, по которой перемещается вправо и вверх вершина конуса предпочте- ния – биссектриса первого квадранта, образованного осями координат F1 и F2 . Рассмотрим графический способ поиска наилучшего решения

по ММ-критерию (рис. 4.1) на примере задачи об инвесторе (матрица решений по этому критерию приведена ниже).

Точка E1 условно показана ниже её реального расположения на графике. Победителем является альтернатива E2, соответствующая минимуму eir и попавшая последней на грани конуса предпочтения при его перемещении по линии LG вправо и вверх.

Рис. 4.1

38

Решим задачу об инвесторе, используя критерий BL при различ- ном соотношении вероятностей q2/q1, где q2 – вероятность стабильно- го состояния экономики, а q1 – вероятность кризисного состояния. Сначала решим задачу табличным способом а потом графическим способом. В первом варианте решения примем соотношение q2/q1= 0,25 (q2= 0,2; q1 = 0,8), во втором варианте – q2/q1= 4 (q2= 0,8; q1= 0,2).

Матрицы решения для указанных вариантов имеют вид

При большой вероятности неблагоприятного состояния экономи- ки критерий BL рекомендует альтернативу E2 , то есть пессимисти-

При большой вероятности стабильного состояния экономики кри- терий BL рекомендует альтернативу E1 , то есть оптимистическую

позицию ZBL = max eir = 244.

i

При графическом способе использования BL-критерия конус предпочтения представляет собой развернутый угол – прямую, перпендикулярную линии LG и перемещающуюся по LG вправо и вверх. Точка, попадающая последней на грани конуса предпочте- ния, является выбранной альтернативой. На рис. 4.2 и 4.3 пред- ставлены графические способы решения задачи об инвесторе с помощью BL-критерия для первого ( q2 / q1 = 0,25) и второго вари-

антов ( q2 / q1 = 4).

Тангенс угла ϕ , образованного линией LG с горизонтальной осью координат, равен отношению q2 / q1 ( tgϕ = q2 / q1 ). При q2 = q1 tgϕ = 1 и линия LG превращается в биссектрису первого квадранта.

39

F2– ось, соответствующая стабильному состоянию экономики

* E1

Графическое решение при tgϕ = q2 / q1= 0,25 ( q2 = 0,2 q1 = 0,8)

E3

Рис. 4.2

F2– ось, соответствующая стабильному

состоянию экономики

* E1

Графическое решение при tgϕ = q2 / q1= 4 ( q2 = 0,8; q1 = 0,2)

0

Рис. 4.3

При использовании графического способа применения S- критерия (рис. 4.4) линия LG проходит под углом 45 градусов к горизонтали через утопическую точку (УТ), образованную мак- симальными значениями функции эффективности для обоих со- стояний.

40