Системный анализ и теория принятия решений. Практикум по курсовой работе
.pdf
|
cov(K,K)=var(K) |
|
S |
2,0000 cov(K,S) |
6,8000 cov(S,S)=var(S) |
1.3. Нахождение эффективной границы
Эффективная граница определяет связь весовых коэффициентов (Weights) диверсификации вкладов с максимальной ожидаемой до- ходностью (Expected Return) и риском (Volatility), возможными при этом распределении вкладов по выбранным фондам. Риск измеряется средним квадратическим отклонением (standard deviation) дохода от его среднего значения. Для решения этой задачи необходимо ввести в программу два вида данных: Exp Return (среднюю доходность по вкладам) и ExpCovariance (ковариационную матрицу, определяющую статистическую связь между фондами, в которые поступают эти вклады). Программа возвращает три вида данных: Port Risk (вола- тильность дохода), Port Return (доход), PortWts (весовые коэффици- енты вкладов в выбранные фонды).
Рассмотрим работу программы на конкретном примере.
Пусть имеются четыре фонда: A, R, M, N, доходность которых приведена в табл. 3, ковариационная матрица в табл. 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фонд |
|
A |
|
R |
|
N |
|
|
P |
|
|
Доход |
|
8,35 |
|
7,15 |
|
7,46 |
|
|
6,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I/J |
|
A |
R |
N |
|
|
P |
|||
|
A |
|
2,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
–1,55 |
2,98 |
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
–1.68 |
0.49 |
1,72 |
|
|
|
|||
|
P |
|
1,2 |
–1,54 |
–0,94 |
|
1,97 |
||||
В табл. 4 приведена только достаточная для дальнейших расчетов информация. Для удобства набора ее на компьютере заполним всю матрицу I/J (табл. 5).
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
|
|
|
|
|
I/J |
A |
R |
N |
|
P |
A |
2,56 |
–1.55 |
–1,68 |
|
1,2 |
R |
–1,55 |
2,98 |
0,49 |
|
–1,54 |
N |
–1.68 |
0.49 |
1,72 |
|
–0,94 |
11
P |
1,2 |
–1,54 |
–0,94 |
1,97 |
Требуется выбрать три фонда из четырех, вклады в которые со- ставят наилучший портфель (максимальный доход при наименьшем риске).Портфель должен состоять из вкладов с высокой доходностью и отрицательной ковариацией с наиболее доходным вкладом. Выбе- рем фонды A, R, N, вклады в которые образуют хороший портфель, потому что: 1) обладают высокой доходностью; 2) существует нега- тивная ковариация между доходами A и R, а также между доходами A и N. Для иллюстрации статистической связи между фондами кова- риационную матрицу можно преобразовать в корреляционную мат- рицу, используя команду
ExpSigma – средние квадратические отклонения (standard deviation), риск, волатильность фондов. ExpCorrC – корреляционная мат- рица имеющихся фондов.
Обратное преобразование корреляционной матрицы в ковариаци- онную выполняется командой
12
Данные трех выбранных фондов приведены в табл. 6
|
|
|
|
|
Таблица 6 |
|
|
|
|
|
|
Var(A) |
Var(R) |
Var(N) |
Cov(A,R) |
Cov(A,N) |
Cov(R,N) |
2,56 |
2,98 |
1,72 |
–1,55 |
–1,68 |
0,49 |
Рассчитаем с помощью программы Financial Toolbox точки эф- фективной границы.
13
График эффективной границы (рис. 1.4) построен с помощью команд
14
Рис. 1.4.
Из графика эффективной границы следует, что при небольшом снижении доходности портфеля – до 7,77 % по сравнению с доход- ностью наиболее высокодоходного фонда A (8,35 %) риск портфеля составляет 0.3 %. В то время как риск фонда А составлял 1,6 %
( 2,56 =1,6 ). Оптимальная точка эффективной границы является
левой точкой графика и представлена верхними числами в колонках распечатки ответа, возвращаемого программой построения эффек- тивной границы. Как следует из первой строки массива Wts, опти-
мальной точке (ExpReturn = 7,7719 %; PortRisk = 0,3077 %) соответ-
ствуют весовые коэффициенты (PortWts) фондов A, R, N: 0,4130; 0,1796; 0,4073. Это означает, что 41.3 % портфеля ценных бумаг должны быть размещены в фонде А; 17,96 % – в фонде R и 40,73 % – в фонде N.
Количество рассчитываемых точек эффективной границы мож-
но задать атрибутом NumPorts функции [PortRisk, PortReturn, PortWts] = (ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts). Для 5 точек полу-
чим программу
15
1.4. Векторные и матричные операции
впрограмме Matlab, используемые
взадаче «Диверсификация портфелей»
Проверим аналитически результаты, полученные программой. Полу- чим величину среднего квадратического отклонения дохода пакета цен- ных бумаг, рассчитав дисперсию пакета трех случайных величин A, R, N, заданных средними значениями и ковариационной матрицей. Для опре- деления дисперсии D2 портфеля (системы нескольких случайных вели-
16
чин) необходимо произведение трех сомножителей: V – вектора средних доходов выбранных фондов (PortReturn); A – ковариационной матрицы (ExpCovariance); V’ –транспонированного вектора V; Эта операция при- ведена ниже (d – среднее квадратическое отклонение (риск, волатиль- ность) дохода портфеля.
Аналитический расчет волатильности портфеля полностью совпа- дает с параметрами оптимальной точки, рассчитанной программой
Financial Toolbox.
Рассмотрим более детально приведенные векторные и матричные операции в символьной форме. Чтобы выполнить действие в симво- лической форме необходимо использовать атрибут sym, а данные отметить с обеих сторон знаком «‘« (апостроф).
Пример 1. Умножение вектора-строки V1 на матрицу А.
17
Результат операции – вектор-строка.
Пример 2. Умножение вектора-строки V1 на вектор-столбец V2’
Результат операции – число В рассматриваемой задаче – это дис- персия портфеля 0,0947.
18
1.5. Решение задачи при использовании всех имеющихся фондов
Решим задачу диверсификации портфелей при размещении пакета ценных бумаг во всех четырех фондах
19
Использование всех четырех фондов (включение в портфель фон- да Р, обладающего положительной ковариацией с фондом А), приве- ло к незначительному снижению волатильности и общего дохода портфеля, что свидетельствует о необязательности использования фонда Р.
1.6. Контрольные вопросы по разделу 1 курсовой работы
1.Что такое среднее квадратическое отклонение случайной вели- чины, волатильность портфеля?
2.Что такое ковариация двух случайных величин?
3.Как определить коэффициент корреляции двух случайных ве- личин?
4.В чем состоит задача диверсификации портфелей?
5.Что такое эффективная граница в задаче диверсификации порт- фелей?
6.Какие данные необходимо знать, чтобы определить точки эф- фективной границы?
7.Каким условиям должны отвечать фонды, входящие в порт- фель?
8.Каков результат умножения вектора-строки на матрицу?
9.Каков результат умножения вектора-строки на вектор-столбец?
10.Как выполнить в символьной форме действие умножения век- тора-строки на матрицу?
11.Как выполнить в символьной форме действие умножения век- тора-строки на вектор-столбец?
12.Почему в портфеле инвестора должны быть фонды с отрица- тельной ковариацией?
20