Среднее значение ( < X >) ряда единичных измерений (наблюдений) X i , как
наиболее вероятное, принимают за результат измерения физической величины
Q, т.е. < X > Q .
Алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюдений от среднего значения всегда равна нулю.
2.4.1. Расчет случайной неопределенности прямых измерений с многократными наблюдениями
1. Исключаются систематические неопределенности.
Исключение этих неопределенностей является сложной проблемой. Как правило, в лабораторных установках систематические неопределенности сведены к минимуму, либо студентам специально указывается алгоритм их исключения, который, обычно является индивидуальным для каждой установки. В частности, учет этих неопределенностей может осуществляться введением известных поправок путем сложения их с результатом единичного измерения, либо путем умножения результата единичного измерения на поправочный множитель. Результаты единичного измерения после исключения систематических неопределенностей называются исправленными. Дальнейшей статистической обработке подвергаются исправленные результаты наблюдения.
2. Рассчитывается результат измерения.
Предположим, экспериментатор зафиксировал n значений физической величины (Х1, Х2…Хn), проведя n единичных измерений (наблюдений). Определить результат измерения.
Если систематические неопределенности минимизированы, то за результат измерения принимаем среднее арифметическое результатов наблюдений, оно равно:
|
|
|
|
N |
|
< X >= |
Х1 + Х2 |
+ ...Хn |
= |
∑ X i |
(А15) |
i=1 |
|||||
n |
|
n |
|||
|
|
|
|
Проверка правильности вычисления среднего.
Поскольку алгебраическая сумма случайных отклонений результатов наблюдений от среднего значения всегда равна нулю, то получаем
n |
− < X >)+ (X 2 |
− < X >)+ (X 3 − < X >)+ = 0 . (А16) |
∑(X i − < X >)=(X1 |
||
i=1 |
|
|
3. Стандартную неопределенность единичного измерения (наблюдения) вычисляют по формуле:
σX i = |
1 ∑(X i − < X >)2 |
= |
1 [(X1 − < X >)2 + (X 2 − < X >)2 + ]. (А17) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
n −1 |
i=1 |
|
|
По этой же формуле вычисляется среднеквадратическое отклонение (СКО) наблюдений. СКО также называют дисперсией.
Таким образом, стандартная неопределенность наблюдения равна соответствующему СКО (дисперсии).
32
4. Стандартную неопределенность измерений, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вычисляют по формуле:
σ<X > = |
1 |
n |
2 |
= |
σX i |
. |
(А18) |
|
∑( X i − < X >) |
|
n |
||||
|
n( n −1) i=1 |
|
|
|
|
||
По этой же формуле вычисляется среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерений.
Таким образом, стандартная неопределенность результата измерений равна соответствующему СКО.
Физический смысл среднеквадратичных отклонений.
а) Если экспериментатором проведено более 10 наблюдений (n≥10), то с достаточной для практических целей точностью можно считать, что внутри интервала < X > ±σX i содержатся 2/3 значений наблюдений; в интервале
< X > ±2σX i находится 95% наблюдений, а в интервале < X > ±3σX i – 99% на-
блюдений.
б) Если оператором проведено n≥10 наблюдений, то с достаточной для практических целей точностью можно считать, что в интервале < X > ±σ<X > с довери-
тельной вероятностью Рдов =67% содержится истинное значение измеряемой величины. В интервале < X > ±2σ<X > истинное значение измеряемой величины содержится с Рдов =95%. В интервале < X > ±3σ<X > истинное значение измеряемой величины содержится с Рдов = 99%.
(Доверительная вероятность ( Рдов ) – вероятность, с которой погрешность изме-
рения содержится внутри интервала ± |
, который, в свою очередь, называется |
|
доверительным). |
|
|
5. Расширенную неопределенность X |
вычисляют по формуле: |
|
<X > =tα( n ) σ<X > |
(А19) |
|
где tα (n) - коэффициент Стьюдента. Значение коэффициентов Стьюдента, приведены в Приложении, Таблица 2, где n – число наблюдений в эксперименте, величину α, приведенную в таблице, принимают равной Рдов .
Задача 14. Расчет результатов измерения температуры абсолютно черного тела при многократных наблюдениях.
В таблице 1 (второй столбец) приведены результаты десяти наблюдений температуры (Ti ) абсолютно черного тела (АЧТ). Измерения проведены в нормаль-
ных условиях. Считая закон распределения случайных неопределенностей нормальным, найти расширенную неопределенность случайной составляющей неопределенности результата измерения при доверительной вероятности Рдов=0,95. Записать результат измерения.
Решение:
1. По формуле (А15) вычислим среднее значение температуры АЧТ (см. таблицу 1, второй столбец):
33