Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет неопределенности результатов измерений в физическом эксперименте. Практикум.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

639 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Неопределенность измерений – параметр, связанный с результатом и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Стандартная неопределенность (σ) – неопределенность результата измерения, равная среднему квадратичному отклонению (СКО). Синонимом термина СКО является термин «Дисперсия».

Суммарная, стандартная неопределенность (σ∑ ) – стандартная неопределен-

ность результата измерения, полученного через значение других величин, равная положительному квадратному корню из суммы членов, причем члены являются дисперсиями или ковариациями этих других величин, взвешенными в соответствии с тем, как результат измерения изменяется при изменении этих величин.

Расширенная неопределенность (∆) – величина, определяющая интервал вокруг результата измерения, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли бы быть приписаны к измеряемой величине.

1.2.КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИХ ПРОЯВЛЕНИЯ

Систематическая неопределенность (погрешность) – неопределенность, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины в одних и тех же условиях.

Случайная неопределенность (погрешность) – неопределенность, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Грубая неопределенность (погрешность) измерения (промах) – погрешность которая существенно превышает ожидаемую в данных условиях погрешность. При выявлении в результатах измерений промаха, данные, соответствующие промаху отбрасываются.

1.3.КЛАССИФИКАЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО СПОСОБУ ИХ ВЫРАЖЕНИЯ

Абсолютная неопределенность (погрешность) измерения величины Х

– отклонение результата измерения (Х) от истинного значения измеряемой величины (Q)

X = X −Q

(А1)

Абсолютная неопределенность ( X ) имеет ту же размерность, что и

измеряемая величина Х.

Относительная неопределенность измерения величины Х

– отношение абсолютной неопределенности к истинному значению измеряемой величины.

δ =	X	;	δ	(%)=	X	100	(А2)
	Q
X				X	Q

Относительная неопределенность ( δX ) обычно выражается в процентах от истинного значения величины или его оценки – δX (%).

Примечание: под термином неопределенность будем понимать абсолютную неопределенность, если иное не указано в тексте.

Термин «абсолютная неопределенность» будет использоваться с целью подчеркнуть ее отличии от относительной неопределенности.

Характеристики неопределенностей (погрешностей) средств измерения (СИ).

Абсолютная неопределенность средств измерения ( ) – разность между показанием СИ (АП) и действительным значением измеряемой величины (А)

= АП - А

(А3)

Относительная неопределенность (погрешность) средства измерения (δ) – отношение абсолютной неопределенности к действительному значению измеряемой величины.

δ = A ; δ(%)= A 100

(А4)

Примечание: в качестве действительного значения измеряемой величины (А), обычно используют среднее значение измеряемой величины (< X >), либо значение этой величины, полученное при более точных измерениях.

Приведенная неопределенность ( γП ).

Приведенная неопределенность – отношение абсолютной неопределенности СИ к некоему нормирующему значению ( АНОРМ ), выраженному в тех же едини-

цах измерения, что и абсолютная погрешность. В приборах имеющих ноль в начале шкалы обычно в качестве нормирующего значения используется значение, равное верхнему пределу измерений ( Amax ), т.е. максимальное (предель-

ное) значение шкалы СИ, на которой производится измерение.

Класс точности средств измерения ( γ).

Классом точности СИ называется его приведенная неопределенность, выраженная в процентах, при этом обозначение (%) не пишется. Для прибора, имеющего ноль в начале шкалы класс точности равен

γ =		.	(А5)
	A
	max

Класс точности указывается на лицевой панели СИ или в его паспортных данных.

Класс точности средств измерений – количественная оценка гарантированных неопределенностей средств измерений, в его значении учитывается как систематическая, так и случайная погрешность СИ.

Значение расширенной неопределенности A результата прямого однократ-

ного измерения определяется через класс точности средств измерения, которым производится измерение. При этом доверительная вероятность, т.е. вероятность того, что неопределенность измерения не превысит значения расширенной неопределенности не ниже (Р= 0,95).


=		γ	A		(А6)
=			A		(А6)
A	100			max
A	100

При анализе неопределенности однократного измерения вместо термина «расширенная неопределенность» обычно употребляют термин «неопределенность».

2. ОЦЕНКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Результат измерения должен быть представлен числом с указанием единиц измерения. Совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики измерений и условия, для которых они действительны. Характеристики неопределенности измерений указываются в единицах измеряемой величины (абсолютные), в процентах (относительные) относительно результатов измерений или действительных значений измеряемой величины.

Характеристики неопределенности и их статистические оценки выражаются числом не более двух значащих цифр, путем округления в большую сторону. Допускается характеристики неопределенности и их статистические оценки выражать числом, содержащим одну значащую цифру. В этом случае для статистических оценок характеристик число получается округлением в большую сторону, если цифра последующего, не указываемого младшего разряда равна или больше пяти, или в меньшую сторону, если она меньше пяти.

Числовые значения результата измерений и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов.

Примечание. Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале числа.

Примеры записи результата измерения. Записать результат измерения, если показание вольтметра снятое оператором со шкалы прибора в нормальных условиях равно 9,4682 В. Расширенная неопределенность измерения с вероятностью Р= 0,95 не превышает по модулю 0,05 В.

Форма представления результата измерения напряжения:

1.Определяем разрядность записи показаний прибора. Поскольку неопределенность оканчивается вторым разрядом после запятой, то и показание округляем до этого разряда, т.е. показание будем записывать 9,47 В.

2.Результат измерения будет иметь вид U = 9,47 ± 0,05 В; Р =0,95; условия измерения нормальные.

Примечание: Нормальные условия измерения – следующие внешние условия: температура окружающей среды равна 200С, влажность воздуха 30-80%, атмосферное давление 84-106 кПа, частота питающей сети 50 Гц, 400 Гц; напряжение питающей сети 220 В (50 Гц), 220 В (400 Гц); 115 В (400 Гц). В условиях лабораторного практикума условия измерения можно считать нормальными и не указывать их при записи результата измерения.

2.2.ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных: Y=Х, здесь Y – искомое значение измеряемой величины, Х – значение величины, найденные путем измерения и называемое результатом измерения. При однократных измерениях прибором, показание которого АП получаем Y=АП.

Типовые характеристики средств измерения.

Эти характеристиками рассмотрим на примере измерения напряжения стрелочным вольтметром. Показания ясны из изображения лицевой панели прибора приведенной на рисунке 1. Определим и запишем результат измерения напряжения.

	2	3
1		4
0		5
V		1,5
x 1	x 3	x 5
Рис. 1. Лицевая панель вольтметра

2.2.1. Анализ характеристик прибора

– Тип прибора. Прибор является вольтметром, о чем свидетельствует надпись V на лицевой панели прибора.

–Шкалы (пределы) прибора. Прибор – многопредельный, о чем свидетельствует блок аттенюаторов, расположенный в нижней части рисунка.

–Верхние пределы измерения шкал:

при положении аттенюатора х1 верхний предел шкалы равен 5 вольт, положение х2 – верхний предел шкалы 5х2=10 В; положение аттенюатора х5 – верхний предел шкалы 5х5=25 В.

– Верхний предел шкалы, на которой производится измерение. В нашем случае выбрано положение аттенюатора х5, т.к. значение х5 закрашено, т.е. кнопка х5 нажата. Следовательно, верхний предел шкалы, на котором производится измерение, равен U max = 25 В.

–Число делений шкалы равно N=10. Деление – промежуток между соседними штрихами на шкале прибора.

–Цена деления шкалы равна отношению верхнего предела шкалы к числу делений шкалы

C =	Umax	(А7)
	N

В нашем случае, С = 25/10 = 2,5 В/дел.

Примечание: величина обратная цене деления называется чувствительностью прибора.

– Класс точности прибора (γ). Класс точности прибора равен γ = 1,5, о чем свидетельствует надпись в правой нижней части прибора.

Класс точности равен приведенной относительной неопределенности вольтметра, выраженной в процентах

		U
γU		U	100	(А8)

	=
	Umax

Формула (A8) используется для расчета абсолютной (расширенной) неопределенности однократного измерения.

2.2.2. Определение показания прибора и результата измерений

Показание прибора.

Число делений, на которое отклонилась стрелка вольтметра N =8,5 дел.

Местоположение стрелки на шкале прибора надежно отсчитывается с точностью 0,5 деления. Более мелкие отклонения от штриха шкалы округляются до целого или полуцелого деления.

Напряжение, которое показывает прибор (результат измерения) равно:

	В
U П (В)= С		N(дел),	(А9)

	дел

что составляет	U П	(В)= 2,5	В	8,5(дел)= 21,25 B

			дел

Абсолютная неопределенность однократного измерения U .

Эта неопределенность определяется из класса точности вольтметра. Она постоянна для всей шкалы и, согласно формуле (А8) равна:

			γ	U	U		(А10)
U	=					max
		100

что составляет	U =	1,5	25(B)= 0,375 B .

		100
Округляя до двух значащих цифр в большую сторону, получаем U = 0,38 В.

Относительная неопределенность измерения равна отношению неопреде-

ленности к результату измерения
δU (%)=	U	100	(А11)

	U П

что составляет δ(%) = (0,38/21,25) ·100 = 1,79% .

Округляя до двух значащих цифр в большую сторону, получаем δ = 1,8% . Относительная неопределенность увеличивается при уменьшении показа-

ния прибора. Поэтому измерения следует производить при таком положении аттенюатора, при котором стрелка будет находиться во второй половине шкалы.

2.2.3. Запись результата измерения
Результат измерения напряжения:
U =U П ± U ; U =U П ± δ(%),	(А12)

что составляет U = 21,25 В ± 0,38 В; или U = 21,25 В ± 1,8% .

Как видно из записи результата измерения, значение измеряемой величины и абсолютная неопределенность оканчиваются цифрами одинаковых разрядов, при этом неопределенность содержит не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону.

2.3.КОСВЕННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ С ОДНОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Косвенное измерение – измерение, при котором искомое значение величины

(Q) вычисляется на основании известной зависимости между этой величиной и

величинами, получаемыми из прямых измерений: Х1, Х2, …Хn
Q = f (X1 ,X 2 ...X n )	(А13)

Абсолютная неопределенность таких измерений является расширенной неопределенностью.

Если величины Хi и ХJ, полученные в прямых измерениях являются статистически независимыми, то неопределенность равна:

∂Q 2

∂Q

Q =

∑

Xi =

3 + (А14)

∂X1

∂X 2

∂X3

i=1

∂Xi

где	∂Q	– значение частной производной величины Q по аргументу Хi,

	∂X i

танное при значении Хi равном показанию i-го средства измерения; Хi лютная неопределенность i -го средства измерения.

рассчи-

– абсо-

Освоим расчет неопределенности косвенных измерений с однократными наблюдениями на конкретных примерах.

Задача 1. Неопределенность суммы и разности нескольких измерений. Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению:

Q = X +Y − Z .

(1.1)

Неопределенности прямых измерений равны

X ,

Y ,

Z , соответственно.

Неопределенность результата измерения.

Согласно формуле (А14), получаем:

∂Q

∂Q 2

∂Q

∂X

∂Y

∂Z

В результате неопределенность равна

(X +Y −Z ) =

2X +

2Y +

(1.2)

Относительная неопределенность равна

δ(X +Y −Z )(%)=

100 =

2X +

2Y +

100

(1.3)

+Y − Z

X +Y − Z

Вывод: абсолютная неопределенность

результата при суммировании и вычи-

тании физических величин определяется как корень квадратный из суммы квадратов абсолютных неопределенностей исходных величин.

Задача 2. Неопределенность при масштабировании.

Масштабированием называется умножение функции на постоянный коэффициент, который обозначим β.

Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению:

						Q =β Z .	(2.1)
Неопределенность прямых измерений равна Z .
Неопределенность результата измерения.
Согласно формуле (А14), получаем:
Q =	∂Q	2	2	β	2	2
Q =			Z =	β		Z
	∂Z

В результате получаем для неопределенности
βZ =β Z .	(2.2)

Относительная неопределенность равна

δβZ (%)=	βZ	100 = δZ (%)	(2.3)
	βZ

Вывод: относительная неопределенность при масштабировании не изменяется.

Примечание.

Q = X +Y −βZ .

(2.4)

Неопределенности прямых измерений равны

Неопределенность результата измерения.

Согласно формуле (А14), получаем:

∂Q

∂X

∂Y

∂Z

В результате неопределенность равна

X , Y , Z , соответственно.

1 2X +1 2Y + β2 2Z

Q = (X +Y −βZ ) =		2X	+	2Y + β2	2Z .	(2.5)
Относительная неопределенность равна
δ(X +Y −βZ )(%)=100	Q	=100		2X +	2Y + β2 2Z .	(2.6)
	Q			X +Y −βZ

Задача 3. Неопределенность произведения.

Определить неопределенность и относительную неопределенность результата измерения мощности ( P ) постоянного тока, выделяемой на сопротивлении, если напряжение, измеренное вольтметром, равно (U = 100 В), а ток, измеренный амперметром, равен (I = 2 А). Неопределенность прямого измерения напряжения равна U = 1,5 В, а тока – I = 0,02 А. Записать результат измерения.

Измерение мощности является косвенным измерением. Мощность рассчитыва-

ется по формуле
P =U I .	(3.1)

Измеренная мощность равна P =U I = 100 2 =200 Вт.

Для расчета неопределенности измерения мощности следует воспользоваться соотношением (А14). В нашем случае в роли Q выступает мощность P , в роли

величины X1 выступает напряжение U , а в роли величины X 2

– ток I .

Первый путь расчета неопределенностей измерения мощности.

Для нашего случая формула (А14) принимает вид

P =

∂P

∂(U I ) 2

I =

∂U

∂I

∂U

∂I

= I 2 2U +U 2 2I

Таким образом,

P =

U I

= I 2

+U 2

2I ,

(3.2)

отсюда неопределенность равна

P = U I = 22 1,52 +1002 0,022 = 3,6 Вт.

Относительная неопределенность равна δP (%)= PP 100 = 2003,6 100 =1,8 %

Второй путь расчета неопределенностей.

Получим формулу для относительной неопределенности произведения

δP =

P =

I 2

2U +U 2

I 2 2

+U 2

U I

(U I )2

I .

= δ2

+ δ2

Таким образом,

[δU (%)]2 + [δI (%)]2 .

δP (%)= δU I (%)=

(3.3)

В результате δP (%)= δU I (%)=

1,5

0,02

=1,8%, что совпадает

100

со значением, полученным первым путем расчета.

Зная относительную неопределенность можно рассчитать неопределенность измерения мощности

			P	=	δP (%)	P ,	(3.4)

отсюда P = δP (%)P =		1,8		100
			200 =3,6 Вт,
	100
100
что совпадает со значением, полученным первым путем расчета.
Результат измерения:		P = 200,0Вт ±3,6 Вт; P = 200,0Вт ±1,8 %.					(3.5)

При записи результата измерения учтено, что значение измеряемой величины и неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому форма записи мощности не 200, а 200,0. При этом неопределенность содержит не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону.

Сравнивая два пути расчета неопределенности видно, что последний путь расчета проще.

Вывод: относительная неопределенность произведения равна корню квадратному из суммы квадратов относительных неопределенностей сомножителей.

Задача 4. Неопределенность частного.

Определить неопределенность и относительную неопределенность результата измерения сопротивления (R), если напряжение на сопротивлении, измеренное вольтметром, равно (U=100 В), а ток, измеренный амперметром, равен (I = 2 А). Неопределенность прямого измерения напряжения равна U = 1,5 В, а тока –

I = 0,02 А. Записать результат измерения.

Измерение сопротивления является косвенным измерением, поскольку результат рассчитывается по соотношению (4.1). Согласно закону Ома сопротивление равно

				R =		U	.	(4.1)

	U		100			I
Значение сопротивления равно R =		=			= 50 Ом.
	I			2

Для расчета неопределенности измерения сопротивления следует воспользоваться соотношением (А14). В нашем случае в роли Q выступает сопротивле-

ние R , в роли величины X1 выступает напряжение U , а в роли величины

ток I .

Первый путь расчета неопределенностей измерения сопротивления. Для нашего случая формула (А14) принимает вид

R =

∂R 2

∂R

∂(U / I )

∂U

∂I

∂U

∂I

U 2

I 2

Таким образом,

R = U =

I 2

отсюда неопределенность измерения сопротивления равна

R =

100

0,02

=0,9 Ом.

1,5

0,9

Относительная неопределенность равна δR (%)=

100

100 =1,8 %

Второй путь расчета неопределенностей.

Получим формулу для относительной неопределенности частного

X 2 –

(4.2)

= R

= I

I 2

U / I

(U / I )2

= δU2 + δ2I

Таким образом,

[δU (%)]2

+[δI (%)]2

δR (%)= δU / I (%)=

(4.3)

В результате δR (%)= δU (%)=		1,5	2	0,02			2
			100	+		100	=1,8%, что совпадает со
		100			2
	I

значением, полученным первым путем расчета.

Зная относительную неопределенность можно рассчитать неопределенность измерения сопротивления

R = δP (%)R =		1,8	50 =0,9 Ом,
R = δP (%)R =	100		50 =0,9 Ом,
100	100
что совпадает со значением, полученным первым путем расчета.
Результат измерения:
			R =50,0Ом ± 0,9 Ом; R =50,0Ом ±1,8 % .	(4.4)

При записи результата измерения учтено, что значение измеряемой величины и неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому форма записи сопротивления не 50, а 50,0. Кроме того, неопределенность должна содержать не более 2 значащих цифр, последняя из которых получена округлением в большую сторону.

Сравнивая два пути расчета неопределенности видно, что последний путь расчета проще.

Вывод: относительная неопределенность частного равна корню квадратному из суммы квадратов относительных неопределенностей делимого и делителя.

Таким образом, относительная неопределенность произведения и частного находятся аналогичным образом.

Примечание. Найдем неопределенности функции

где β – коэффициент.

	Согласно (2.2)	X =β
	β
	β	Y
		Y

F =β	X	,	(4.5)
	Y

. Тогда из(4.2) для неопределенности получаем

F =

= β

(4.6)

Y .

Y 2

Согласно (2.3) δβZ (%)= δZ (%).

Тогда из (4.3) для относительной неопределен-

ности получаем

[δX (%)]2

+ [δY (%)]2

δF (%)= δ

X (%)=

(4.7)

Задача 5. Неопределенность соотношения, включающего степенную функцию. Определить неопределенность и относительную неопределенность косвенного измерения, соответствующего соотношению

Q =	X Z m	.	(5.1)
	Y n

Неопределенности прямых измерений X ,	Y , Z ,		соответственно. Применяя
соотношение (А14) для неопределенности получаем

∂Q

∂Q 2

∂X

∂Y

∂Z

Z m

(− n)

X Z m 2

XZ m−1

+ m

n+1

Отсюда неопределенность равна

X Z m =

Q 2

+ n

2		Q 2	2	(5.2)
Y	+ m		Z	(5.2)
Y		Z	Z

Относительная неопределенность.

Преобразуем предыдущее соотношение, разделив правую и левую его части на Q. В результате получаем относительную неопределенность:

δQ =	Q	=	X
	Q
			X

+ m

= δ2X + (nδY )

+ (mδZ ) .

X Z

m (%)=

[δX (%)]2 + [nδY (%)]2

+ [mδZ (%)]2

(5.3)

Задача 6. Неопределенность измерения сопротивления методом вольтметра –

амперметра.
Определить погрешность		и записать	результат измерения сопротивления
	U
R =	методом вольтметра – амперметра, если класс точности вольтметра
	I
γV =1,0, класс точности амперметра γI			= 2,0 . Показание вольтметра UП =200 В,
показание амперметра IП		=4 А. Верхние пределы измерений вольтметра
Umax=300 В, амперметра Imax =5 А.

6.1. Анализ метода измерения.

Измерения косвенные, поскольку сопротивление вычисляется по формуле (по закону Ома). Ток и напряжение определяется из прямых измерений.

6.2.Вычисление сопротивления и неопределенностей его измерения.

6.2.1.Определяем значение сопротивления

	U
R =	= 200/4 = 50 Ом.
	I

6.2.2. Определяем неопределенность прямых измерений.

Неопределенность рассчитывается из класса точности амперметра и вольтметра и равна:


U =		γU	Umax =			1,0		300 =3,0 В.
	100
				100
I =		γI	Imax =		2,0		5 = 0,10 А.
	100			100

Значение неопределенности (абсолютной) неизменно по всей шкале прибора. Значение неопределенности должно содержать две значащих цифры, т.к. класс точности прибора содержал две значащих цифры. Поэтому значение неопреде-


ленности записывается:									U = 3,0 В, а не 3 В; I=0,10 A, а не 0,1 А.
Относительная неопределенность равна:
δU (%)=		U	100 =			3		100	=1,5%
					200
	U П
δI (%)=		Ι 100 =		0,1			100 = 2,5%

	ΙП				4

Результата измерения тока и напряжения:

U П = 200,0 В ± 3,0 В;	U П = 200,0 В ±1,5% ;
I П = 4,00 A ± 0,10 A;	I П = 4,00 A ± 2,5% .

В записи результата измерения значение измеряемой величины и абсолютная неопределенность должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов, поэтому для напряжения пишется не 200 В, а 200,0 В, а для тока– не 4 А, а 4,00 А. 6.2.3. Определяем неопределенности косвенных измерений.

Выражение для сопротивления R = U			не содержит операций суммирования и
	I

вычитания. Поэтому целесообразно воспользоваться результатами решения задачи 4. Сначала следует вычислить относительную неопределенность измерения сопротивления, а по ней определить абсолютную неопределенность.

Относительная неопределенность равна:

δR (%)= [δU (%)]2 + [δI (%)]2 = (1,5)2 + (2,5)2 = 2,9%

Неопределенность измерения сопротивления равна:

R = R δR =50 1002,9 =1,45 Ом. Округляя до двух значащих цифр, получаем

R=1,5 Ом.

Врезультате расчета неопределенности получили три значащих цифры, но неопределенность должна содержать две значащих цифры, поэтому результат округлили до двух значащих цифр.

6.3. Запись результата измерения сопротивления.

R =50,0Ом ±1,5Ом; R =50,0Ом ± 2,9% .

Числовые значения измеренной величины и неопределенности должны оканчиваться цифрами одинаковых разрядов. Поэтому для сопротивления приведено значение 50,0 Ом, а не 50 Ом.

Задача 7. Неопределенность измерения при вращательном движении.

Рассмотрим расчет результата измерения момента инерции J маятника Обербека, раскручиваемого под действием навески массой m =300г, которая движется


с ускорением a =5		м	. Радиус шкива маятника равен r =10		мм. Время падения
с ускорением a =5			. Радиус шкива маятника равен r =10		мм. Время падения
		с2
навески с высоты H =0,9м составляет t =3 c .
Неопределенность прямых измерений массы навески m равна						m =1 г, радиуса
шкива	r = 0,5 мм, времени падения			t = 0,01c ,		высоты падения

H = 0,01 м .

Момент инерции и ускорение маятника рассчитываются по формулам

J =	m( g − a ) r 2		,	(7.1)
J =	a		,	(7.1)
	a
	a = 2	H .		(7.2)
		t 2

7.1.Анализ метода измерения. Измерения момента инерции и ускорения являются косвенными, поскольку результат определяется по формулам (7.1) и (7.2), соответственно. Измерения массы, высоты и времени являются прямыми измерениями.

7.2.Вычисление значения момента инерции и неопределенностей его изме-

рения.

Переменными в выражении для J являются m , r, a. Неопределенность прямых измерений m,r задана. Неопределенность ускорения необходимо рассчи-

тать.

7.2.1. Расчет неопределенностей измерения ускорения.

Неопределенность можно рассчитать дифференцированием в соответствии с формулой (А14), но мы используем результаты, полученные при решении предыдущих задач. Формула (7.2) представляет собой частный случай, соотношений рассмотренных в задачах 4 и 5. Поэтому для расчета следует воспользоваться формулами (4.7) и (5.3) согласно которым

δa (%)= δ

H (%)=

[δH (%)]2 + [2δt (%)]2

(7.3)

Относительная

неопределенность

измерения

высоты

падения

δH (%)=

100 =

0,01

100 =1,2% , результат округлили до двух значащих цифр в

0,9

большую сторону.

Относительная

неопределенность

измерения

времени

падения

δt (%)=

t 100 =

0,01

100 =3,4% , результат округлили до двух значащих цифр в

большую сторону. В результате

δa (%)= δ

(%)= [δH (%)]2 + [2δt (%)]2 = 1,22 + 4 3,42 ≈ 6,9%

Результат расчета округлили до двух значащих цифр в большую сторону. Абсолютная неопределенность ускорения равна

a =100δa a =1006,9 5 = 0,35 см2

7.2.2. Расчет неопределенности момента инерции.

Соотношение (7.1) аналогично соотношению (5.3), рассмотренному в задаче 5, только в нашем случае не 2, а три сомножителя в числителе. Это приведет к еще одному члену в формуле для относительной неопределенности. В результате получаем

		δJ (%)= [δm (%)]2 + [δ(g−a )(%)]2 + [δa (%)]2						+ [2δr (%)]2			(7.4)
В этом соотношении δm (%)=				m 100 =	1	100 ≈3,4% ;		δа (%)= 6,9%
					300
			0,35	m					0,5
δ(g−a )(%)=	a	100 =		100 ≈ 7,2% ; δr (%)=			r 100 =			100 ≈5,0% .

	g − a		9,8 −5
							r	10

В результате относительная неопределенность измерения момента инерции маятника Обербека равна δJ (%)= 3,42 + 7,22 + 6,92 + 4 52 ≈ 26% .

Значение момента инерции маятника рассчитаем по							формуле (7.1), переведя
все величины в основные единицы системы СИ. В результате получим
J =	m(g − a) r 2	=	0,3(9,8 −5)	(10 10−3 )2	−3	кг м		2
	a		5	= 2,88 10

Неопределенность (абсолютная) момента инерции равна

J=100δJ J =10026 2,88 10−3 ≈ 0,74 10−3 кг м2 .

7.3.Результат измерения.

J = 2,88 10−3 кг м2 ± 0,74 10−3 кг м2 ;

J = 2,88 10−3 кг м2 ± 26%

Числовое значение измеренной величины и неопределенность оканчиваются цифрами одинаковых разрядов.

Задача 8. Неопределенность измерения работы выхода электрона из металла. Согласно формуле Ричардсона-Дэшмана для анодного тока диода в режиме насыщения следует, что работа выхода может быть вычислена по соотношению

			I A 1
	ln

A(эВ)= k			I A 2
					,	(8.1)
	1		1
e
			−
		T		T
	2		1

где k =1,38 10−23 ДжК – постоянная Больцмана, e =1,6 10−19 Кл – элементарный

заряд, T1 и T2 температура металлической нити накала, при которой анодный ток равен I1 и I2 , соответственно.

Температура рассчитывается исходя из сопротивления нити накала

T (К)=	1	RН
					+ 273,	(8.2)

	α R		Н	−1
		0

где α – температурный коэффициент сопротивления материала катода, для вольфрама α =5,1 10−3 К1 . В нашем случае сопротивление нити накала при нуле

градусов Цельсия R0Н =1,2Ом.

Параметры цепи накала. Сопротивление нити накала измеряется методом вольтметра – амперметра, класс точности вольтметра γUH =1,0, амперметра

γI H =1,0 . Напряжение накала равно: U H1 = 2,88B , U H 2 = 2,34B ; верхний предел шкалы вольтметра равен U H max =3 В. Ток, протекающий через нить накала, равен: IH1 = 200мА= 0,2A, IH 2 =180мА= 0,18A; верхний предел шкалы миллиамперметра равен IH max =200мА=0,2 А.

Анодная цепь. Анодный ток измеряется миллиамперметром, класс точности которого равен γI A =1,0 . Ток насыщения равен I A1 = 2мА; I A 2 = 0,3мА; верхний

предел шкалы миллиамперметра равен I A max =2 мА.

Чтобы найти результат измерения работы выхода необходимо найти температуру нити накала и ее неопределенность исходя из формулы (8.2). Затем найти работу выхода и ее неопределенность исходя из формулы (8.1).

8.1.Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат вычисляется по формуле, заданной в условии задачи.

8.2.Вычисление значения работы выхода и неопределенностей ее измере-

ния.

8.2.1.Температура нити накала и ее неопределенность.

Согласно формуле (8,2) температура нити накала равна

T1 (К)=

Н1

/ I

Н1

−

+ 273 =

−1

;

2,88 / 0,2

+ 273 = 2397 K

−1

5,1

10−3

1,2

аналогично T2 (К)=

2,34 / 0,18

+ 273 = 2201K .

1,2

−1

5,1 10−3

Для расчета неопределенности в (8.2) раскроем скобки. В результате получаем

T (К)=

−

+ 273

−

(8.3)

αR

α R

0Н

Из (А14) следует

∂T

. Та-

∂RН

αR0 Н

ким образом, абсолютная неопределенность температуры равна

T	=	1	.	(8.4)

		αR0 Н	RH

Такая же формула для неопределенности температуры получается из соотно-

шения (2.2).

Неопределенность сопротивления нити накала рассчитывается так же, как в задаче 4 (формула 4.2) и равна

		=			=		1		2					U					2					=
	RH 1	=		U / I	=							2		+		H		1				2		=
	RH 1			U / I								U			I H 1			2				I
							I H 1								I H 1											,
																										,
=	1			2	(3	10	−2	2		+	2,84 2				(2 10						−3	2		≈ 0,21Ом
=		0,2			(3	10	)			+					(2 10							)		≈ 0,21Ом
		0,2										0,22
		=			=		1			2				U						2					=
	RH 2	=		U / I	=							2		+			H 2					2			=
	RH 2			U / I								U			I H 2				2				I
							I H 2								I H 2											.
																										.
			1		2			−2		2				2,34 2									−3		2
==			,18			(3 10				)	+								(2 10						)	≈ 0,21Ом
==						(3 10				)	+								(2 10						)	≈ 0,21Ом
		0											0,182

Значение неопределенности сопротивления округлены в большую сторону до двух значащих цифр. В этих соотношениях неопределенности напряжения и тока накала, определялись из класса точности приборов в цепи накала (смотри задачу 5), а именно


U =		γU	Umax =			1,0		3 = 0,03 =3 10−2 В
U =	100		Umax =					3 = 0,03 =3 10−2 В
	100			100
I =		γI	Imax =		1,0		0,2 = 0,002 = 2 10−3		A
I =	100		Imax =	100			0,2 = 0,002 = 2 10−3		A
	100			100

Соответствующая неопределенность измерения температуры равна

= 0,21

≈35 K .

T 2

RН αR

5,1

10−3

1,2

Неопределенности измеренных температур равны, поскольку равны неопределенности измеренных сопротивлений накала.

Относительные неопределенности измерения температуры равны

δT1 (%)=	T1 100 =	35	100 =1,5% , δT 2 (%)=	T 2 100 =	35	100 =1,6%
		2397			2201
	T1			T2

Для расчета неопределенности работы выхода приведем формулу (8.1) к виду

A(эВ)=β

(8.5)

1,38 10−23

−5

эВ

I A 1

где β =

=8,62 10

X =ln

, Y =

−

1,6

10−19

A 2

Неопределенность частного рассмотрена в задаче 4. Согласно (4.7) относительная неопределенность работы выхода равна

δA (%)= δ	X (%)=	[δX (%)]2 + [δY (%)]2 .		(8.6)
β
β	Y
	Y
Найдем неопределенность логарифмической функции
		I A1
	X =ln	I A1	.	(8.7)
	X =ln		.	(8.7)
		I A 2
		I A 2

Эта функция представляет собой числитель выражения для работы выхода. Согласно формуле (А14) неопределенность логарифмической функции равна

∂X

1 2

X =

2 =

2 .

(8.8)

∂I A1

1 +

∂I A2

I A2

I A1

∂ln I

Здесь учтено, что ln

=ln I1 −ln I2

и что

∂I

Абсолютную неопределенность анодного тока определим из класса точности амперметра в цепи анода и максимального предела шкалы. Поскольку ток измерялся одним и тем же прибором на одной и той же шкале, то

1 = 2 =100γI A Imax =1001,0 (2 10−3 )= 2 10−5 A.

Подставляя численные значения в (8.8) получаем

		1	2	−5	2		1	2		−5	2		−2
X =			(2 10		)	+			(2 10		)	= 6,8 10		.
X =		10−3	(2 10		)	+	0,3 10−3		(2 10		)	= 6,8 10		.
	2	10−3					0,3 10−3

Отметим, что Х – величина безразмерная, поэтому и ее абсолютная неопределенность является безразмерной.

Относительная неопределенность равна

δX	(%)=		X	100	. Подставляя числовые значения, получаем
δX	(%)=		I A 1	100	. Подставляя числовые значения, получаем

		ln
		ln
			I A 2
			I A 2

δ	X	(%)=	6,8 10−2		100 =	6,8 10−2	100 =3,6% .
δ		(%)=		2	100 =	1,9	100 =3,6% .
				2		1,9
			ln
			ln	0,3
				0,3

Неопределенность разности функций типа T1 .

Знаменатель формулы для работы выхода имеет вид

Y = 1 − 1 . (8.9)

T2 T1

Согласно формуле (А14) для неопределенности будем иметь

	∂Y	2	2		∂Y		2	2		1	2	2		1	2	2
Y =	∂T				∂T			T 2 =								T 2 .	(8.10)
Y =	∂T		T1	+	∂T	2		T 2 =	T 2			T1	+ T 2			T 2 .	(8.10)
	1				T	2				1				2

Подставляя в (8.10) числовые данные получаем

	=	1		2	2		1	2	35	2		=9,45 10	−6	1	.
Y	=			35	T1	+	2		35	T	2	=9,45 10			.
Y		2397	2		T1		2			T	2			K
		2397					2201							K

Относительная неопределенность равна

δY (%)=

100 =

9,45 10−6

100 =

9,45 10−5

100 ≈ 25%

1 1

3,8 10−5

−

2201

2397

Рассчитаем относительную неопределенность измерения работы выхода.

I A 1

A(эВ)= k

I A 2

= k

Учитывая формулу для относительной неопреде-

−

ленности частного, получаем

δA (%)= [δX (%)]2 + [δY (%)]2 = 3,62 + 252 ≈ 25% .

Значение работы выхода равно

I A 1

1,9

0,3

A(эВ)= k

I A 2

=8,62 10−5

= 4,4 эВ

1 1

3,72 10−5

−

2201

2397

Неопределенность измерения

A= δ100A (%)A =10025 4,4 =1,1эВ.

8.3.Результат измерения.

A = 4,4 эВ ±1,1эВ; A = 4,4 эВ ± 25% .

Табличное значение работы выхода вольфрама равняется 4,5 эВ. Полученные результаты в пределах погрешности удовлетворительно согласуются с табличными данными.

Задача 9. Определение удельного заряда электрона.

Определить удельный заряд электрона и неопределенность его измерения методом магнетрона. Удельным зарядом электрона называется отношение заряда электрона к его массе.

Удельный заряд электрона рассчитывается по соотношению:

eуд =	e	=	8U Al 2	,	(9,1)
	m		RA2μ02 IC2 KP N 2

здесь анодное напряжение U A = 20В. Верхний предел измерения шкалы вольтметра U AMAX =50В, класс точности вольтметра γV =1,5.

Критическое значение тока соленоида IC КР = 0,32А, верхний предел измерения шкалы амперметра IC MAX =1A, класс точности амперметра γI = 2,0 . Длина соленоида l =10 см = 0,1м, радиус анода RA =5 мм =5 10−3 м, число витков соле-

ноида N =1500 , магнитная постоянная μ0 = 4π 10−7 Гм .

9.1.Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат вычисляется по

формуле, заданной в условии задачи.

9.2.Вычисление удельного заряда электрона и неопределенностей его изме-

рения.

9.2.1.Удельный заряд электрона.

Согласно (9.1) удельный заряд электрона равен

eуд =

8 20 0,12

(5 10−3 )2

3,14 10−7 )2 0,322 (1,5 103 )2

8 20

10−2

11 Кл

1,77 10

25 16 9,86 0,102 2,25

10−6 10−14 106

кг

Табличное значение удельного заряда eуд = me =1,76 1011 Клкг

9.2.2. Неопределенности измерения удельного заряда электрона.

Для расчета неопределенностей преобразуем формулу (9.1), выделив члены, содержащие неопределенности. Неопределенности содержит анодное напряжение и ток соленоида. Поэтому формула приобретает вид

eуд =

8l 2

=β

(9.2)

RA2μ02 N 2

IC2 KP

здесь β =

8l 2

≈9 10

8 А2 Кл

– постоянный коэффициент. В задаче 5 получе-

RA2μ02 N 2

Вкг

[δX (%)]2 + [nδY (%)]2

+ [mδZ (%)]2

на формула (5.3): δ

X Z

m (%)=

, а в задаче 4

формула (4.7): δ

X (%)=

[δX (%)]2

+ [δY (%)]2

Согласно этим формулам, отно-

сительная неопределенность измерения удельного заряда равна

δ e

(%)= [δU (%)]2

+ [2δI (%)]2 .

(9.3)

Относительная неопределенность измерения анодного напряжения определяется из класса точности вольтметра и равна

δ		(%)= γ		U AMAX	,	(9.4)

	U		V U A

δU (%)=1,5 2050 =3,8% .

Относительная неопределенность измерения критического тока соленоида определяется из класса точности амперметра и равна

δ		(%)= γ		IC MAX	,	(9.5)

	I		I IC КР

δI (%)=102,32,0 = 6,3%

Согласно соотношению (9.3), определим относительную неопределенность измерения удельного заряда. Она равна

δ e (%)= [3,8]2 +[2 6,3]2 =13,2% .

Абсолютная неопределенность измерения удельного заряда равна

δ e (%)

(9.6)

100

=13,21,77 1011

= 0,07 Кл .

100

кг

9.3. Результат измерения удельного заряда электрона.

eуд

=1,76 1011 Кл

± 0,07 1011 Кл

;

eуд =

=1,76 1011 Кл

±13,2%

кг

Задача 10. Последовательная RL цепь.

Рассчитать значение индуктивности последовательной цепи, состоящей из ре-

зистора R и индуктивности L.				Определить неопределенности измерения ин-
дуктивности. Измерения производятся методом вольтметра – амперметра.
Индуктивность рассчитывается по соотношению
				L =		Z 2 − R2	,		(10.1)
						2πf
	U Z				U R
где Z =		– импеданс цепи,		R =		– сопротивление цепи,		f – частота пе-
	I				I

ременного тока.			U R =30B , UZ =50B ,				максимальный	предел	шкалы
Показания		вольтметров
вольтметров U R max =U Z max =50B . Класс точности вольтметров равен γU									=1,5.
Показание		амперметра	I = 0,5A , максимальный предел шкалы амперметра

Imax =1A . Класс точности амперметра равен γI =1,0.

Частота переменного тока f =100Гц, ее относительная неопределенность составляет 1%.

10.1.Метод измерения – измерения косвенные, т.к. результат рассчитывается по формуле (10.1).

10.2.Вычисление индуктивности и неопределенностей ее измерения.

10.2.1. Значение индуктивности.

Значение

импеданса

равно

Z =

U Z

=100Ом, значение сопротивления

0,5

R =

1002 − 60

= 60Ом, отсюда, согласно (10.1) L =

= 0,127Г

0,5

2π 100

10.2.1. Расчет неопределенностей.

Обозначим Z 2 − R2

= X , тогда формула (10.1) примет вид

L =

(10.2)

2π f

Согласно задаче 4 (формула (4.7), относительная неопределенность индуктивности равна


δL (%)= δ 1 X (%)=			[δX (%)]2 + [δf (%)]2 .	(10.3)
	2π f
Рассчитаем неопределенности числителя формулы (10.1)
		X = Z 2	− R2 .	(10.4)
Согласно (А14) неопределенность равна

∂L

∂L 2

∂Z

∂R

(Z 2 − R2 )

Z 2

−R2

Z 2

− R2

Z 2

− R2

Относительная

неопределенность

числителя

формулы

(10.1)

(10.5)

равна

δX (%)= XX 100 . Отсюда δ Z 2 −R2 (%)

Z 2

2R .

=100

+ (Z 2 − R2 )2

(Z 2

− R2 )2

В результате

Z 2

δ Z 2 −R2

(%)=

[δZ (%)]

[δR (%)]

(10.6)

− R

)

− R

)

Найдем относительную неопределенность измерения импеданса и сопротивле-

ния. Поскольку Z =	U Z	, а	R =	U R	, то относительная неопределенность изме-
ния. Поскольку Z =		, а	R =		, то относительная неопределенность изме-
	I			I
рения импеданса						[δUZ (%)]2 + [δI (%)]2
			δZ (%)=			[δUZ (%)]2 + [δI (%)]2	,	(10.7)
а относительная неопределенность измерения сопротивления
			δR (%)=			[δU R (%)]2 + [δI (%)]2	,	(10.8)

Относительную неопределенность измерения напряжений рассчитаем исходя из класса точности вольтметра

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]