Погрешности измерений характеристик ионизирующих излучений. Учебное пособие

2.2.1. Исключение, обнаружение или учет систематических погрешностей

Систематические погрешности вызывают смещение результата измерения. Невыявленные систематические погрешности искажают результат измерения и могут быть причиной ошибочных выводов. Поэтому крайне важно либо исключить источник погрешности, либо внести в результат измерения поправку, либо оценить границу неисключенной погрешности.

Устранение источников погрешности до начала измере-

ний. Этот способ является наиболее рациональным. Поскольку систематические погрешности индивидуальны по причинам возникновения для каждого измерения, то все рекомендации по исключению погрешностей носят общий характер. Так, до начала измерений после анализа условий измерения необходимо найти возможные источники систематических погрешностей и при возможности их устранить. Если колебания напряжения сети могут быть источником систематической погрешности, можно для уменьшения влияния данной причины на результат измерения подключить к сети стабилизатор напряжения.

Устранение источников погрешностей в процессе измере-

ния. В некоторых случаях путем различных манипуляций с СИ, без привлечения дополнительных СИ и дополнительного оборудования удается устранить источник систематической погрешности. Например, если источником систематической погрешности измерительного прибора является направленное электромагнитное поле, то достаточно провести два измерения, при которых прибор был бы развернут в двух диаметрально противоположных направлениях относительно линий напряженности поля. Причем вовсе не обязательно знать направленность этих линий и поэтому в первом измерении прибор может находиться в любом положении. Полусумма результатов двух таких измерений исключит значение данной систематической погрешности.

Введение поправок в результат измерений. Постоянная систематическая погрешность детерминирована, т.е. объективно имеет определенное значение. Следовательно, если каким-либо образом удастся узнать ее значение q и знак, то можно вычесть ее из результата измерения X. Определенная любым способом (расчетным или экспериментальным) систематическая погрешность уже называется поправкой, а полученный таким образом

21

результат называется исправленным результатом измерения

Оценка границ неисключенных систематических погрешностей. Во многих случаях исключить источники систематических погрешностей либо невозможно, либо не оправдано для данного измерения. В таких случаях необходимо оценить максимальные границы неисключенных систематических погрешностей и учесть их в конечном результате измерений. Такая оценка во многих случаях является достаточно сложной. Например, из-за разного атомарного состава в биологической ткани и в детекторе процессы поглощения гамма-квантов в них сильно различаются. Причем это различие не является постоянным, оно меняется с изменением энергии гамма-квантов (ход с жесткостью). Измерительные приборы градуируются при определенной энергии гамма-квантов. При измерениях дозы при другой энергии гамма-квантов появляется систематическая погрешность, обусловленная данным различием. Для оценки неисключенной границы такой погрешности можно получить результаты измерений с помощью приборов с тканеэквивалентным детектором, в котором данный источник погрешности отсутствует, и с помощью прибора с обычным детектором. Разница между результатами двух измерений составит размер данной систематической погрешности. Однако уже при иной энергии гамма-квантов размер этой погрешности изменится.

В итоге, после выбранного для данного измерения метода определяется максимальная граница неисключенной систематической погрешности. Но при конкретном i-м измерении значение этой погрешности может принять любое значение внутри этих границ. Это дает нам право предполагать, что данная систематическая погрешность обладает некоторой функцией распределения внутри максимальных границ (интервала). Чаще всего мы предполагаем, что неисключенная систематическая погрешность равномерно распределена внутри этого интервала (рис. 9).

22

p (θ)dθ

●

Рис. 9. Равномерный закон распределения неисключенной систематической погрешности

В практике часто приходится суммировать несколько неисключенных систематических погрешностей. В теории погрешностей предлагается следующее правило для такого суммирования:

2.2.2. Алгоритм обработки результатов прямых равноточных измерений

Определение результата измерения. За результат измерения принимается среднее арифметическое значение ряда измерений:

где X — результат измерения (среднее арифметическое значение); xi — результат i-го измерения; n — число измерений (наблюдений).

Среднее арифметическое фактически является оценкой математического ожидания и в отсутствие систематических погрешностей является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Определение СКО единичных результатов измерений.

СКО единичных результатов измерений x вычисляют по формуле

23

СКО единичных результатов измерений является мерой рассеяния результатов измерений относительно математического ожидания. При измерении статических величин источником такого рассеяния, как правило, является СИ. Поэтому данное СКО характеризует случайную погрешность самого СИ. Для случайных величин, а таковыми являются все величины в области измерений ионизирующих излучений, источником рассеяния результатов измерений является не только СИ, но и сам объект измерения — величина. При измерениях характеристик ионизирующих излучений дополнительным источником рассеяния результатов измерения являются случайные процессы взаимодействия излучения со структурными элементами детектора СИ.

Обнаружение грубых погрешностей. Иногда, достаточно редко, в ряде измерений можно обнаружить результат, существенно отличающийся от остальных. В этом случае, как правило, большинство операторов вычеркивают сомнительный результат и проводят дополнительное измерение. Такой подход является

неправильным. Ведь согласно нормальному закону распределения результат измерения, далекий от результатов остальных измерений, хоть и маловероятен, но правомерен. Другое дело, когда сомнительный результат является следствием кратковременного вмешательства в процесс измерения неучтенных «сил», т.е. является грубой погрешностью. Существует определенная процедура проверки сомнительных результатов. В этом случае для сомнительного результата xi определяют случайную величину vxi по формуле

Функции распределения данной случайной величины определены методами теории вероятностей, а их результаты представлены в виде таблиц в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений (p, n).

Если вычисленное по результатам измерений значение vx окажется больше табличного v p , то считается, что результат xii

24

содержит грубую погрешность. Этот результат вычеркивается из ряда наблюдений, а обработка начинается заново, начиная с п. 2.2.1.

Определение СКО результата измерения (среднего ариф-

метического). Из-за ограниченного числа измерений величины результат измерения (среднее арифметическое) также случаен. СКО результата измерений X рассчитывают по формуле

Определение случайной погрешности результата измере-

ния величины. При больших количествах измерений (n > 20) случайную погрешность результата измерения X определяют по формуле

дополнительный источник случайной погрешности, обусловленный тем, что СКО, определяемое по формуле (7), из-за недостаточного числа наблюдений является всего лишь некоторым приближением к истинному значению СКО. Именно поэтому в метрологии оно называется оценкой СКО. Поэтому при числе измерений n < 20 считается, что результаты наблюдений описываются не нормальным законом распределения случайных величин, а законом Стьюдента. При этом случайную погрешность результата измерений определяют по формуле

где ts — коэффициент Стьюдента. Данный коэффициент является функцией не только доверительной вероятности, но и количества наблюдений при измерении.

Определение погрешности результата измерения. Во мно-

гих случаях необходимо определить погрешность результата измерения, т.е. просуммировать случайную составляющую погрешности среднего арифметического и суммарную неисключенную систематическую погрешность. В нормативных документах предлагаются следующие рекомендации:

25

–если отношение неисключенной систематической погреш-

ности к среднему квадратическому отклонению результата измерения / 0,8, то неисключенными систематическими погреш-

ностями пренебрегают, а за границу погрешности результата измерения принимается случайная погрешность x ;

–если это соотношение больше 8, то пренебрегают случай-

ной погрешностью, а за погрешность результата измерения принимается суммарная неисключенная погрешность ;

–если неравенства не выполняются, то границу погрешности результата измерения вычисляют по формуле

где K — коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенных систематических погрешностей. Коэффициент K вычисляется по формуле

S — оценка суммарного СКО результата измерения

m

S (θi2 / 3) σ2X . (21)

i 1

Представление результата измерения. Результаты измере-

ний могут быть представлены различными способами:

– результат измерения А, погрешность и доверительная вероятность р определения погрешности. Это простейший способ;

–результат измерения А, раздельное указание границ сум-

марной неисключенной систематической θ и случайной погрешности X и доверительные интервалы их оценки;

–результат измерения А, раздельное указание СКО суммарной неисключенной систематической погрешности и СКО случайной составляющей.

2.2.3. Обработка результатов косвенных измерений

Как было сказано, косвенно измеряемая величина Y функционально связана с величинами х1, х2, х3 …, Y = f (х1, х2, х3 …), которые подвергаются прямым измерениям. При обработке результатов прямых измерений величин х1, х2, х3 … получаются значе-

26

ния величин X1, X 2 , X3 , оценки СКО их измерений S1, S2, S3 … и неисключенные суммарные систематические погрешности θ1, θ2, θ3 …

Подставив в известную функцию результаты прямо измеренных величин X1, X 2 , X3 , получаем наиболее достоверный результат косвенного измерения величины Y:

Вклад погрешностей определения величин х1, х2, х3 … в погрешность результата измерения величины Y зависит от их значений. Очевидно, что чем больше значение погрешности измерения величины х, тем больше будет ее вклад в значение погрешности . Поэтому для расчета погрешности необходимо ввести коэффициент а, учитывающий этот вклад, именуемый весом измерения. В качестве такого веса измерения используются частные производные Y по х1, х2, х3 …: Y / хi.

Значения SY и Y определяются по соотношениям

где α, β, γ — значения степени.

Для данного примера по соотношению (25) определяем SY :

27

( X1 X 2 X 3 1S3 )2 .

Полученное соотношение можно значительно упростить, если определять не абсолютное значение СКО, а его относительное

28

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.РМГ 29–99. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.

2.Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. — М.: Изд-во стандартов, 1975.

3.Брянский Л.Н., Дойников А.С., Крупин Б.Н. Метрология. Шкалы, эталоны, практика. — М.: ВНИИФТРИ, 2004.

4.Рабинович С.Г. Погрешность измерений. — СПб.: Энергия, Ленинградское отделение, 1978.

29

1.2.Систематические погрешности. Классификация ….. 8

1.2.1.Классификация систематических погрешностей

по причинам возникновения ……………………. 8 1.2.2. Классификация систематических погрешностей

по характеру проявления ………………………. 10

1.3.Случайные погрешности. Закономерности ………… 11

2.Обработка результатов измерений ……………………… 19

2.1.Классификация измерений по характеру получения числового результата ………………………………… 19

2.2.Обработка результатов прямых равноточных измерений …………………………………………….. 20

2.2.1.Исключение, обнаружение или учет систематических погрешностей ………………... 21

2.2.2.Алгоритм обработки результатов прямых равноточных измерений …………………...……. 23

2.2.3.Обработка результатов косвенных измерений … 26

Список литературы ………...……………………………….. 29

Редактор Н.М. Скрипова Компьютерная верстка Л.С. Самочатова

________________________________________________________

А С М С Полиграфическая база АСМС

Москва, Волгоградский проспект, 90, корп.1

30