Погрешности измерений характеристик ионизирующих излучений. Учебное пособие

чение, ни знак. При этом время измерений может быть очень незначительным (при однократном наблюдении), а может длиться очень большой период, иногда годы (в астрономических наблюдениях). Для большинства измерений характеристик ионизирующих излучений систематические погрешности остаются постоянными в процессе измерений.

Переменные систематические погрешности. Они делятся

всвою очередь на прогрессивные, периодические погрешности и на погрешности, изменяющиеся по сложному закону:

Прогрессивные систематические погрешности. Это погреш-

ности, которые в процессе измерения монотонно убывают или возрастают, например, погрешности, возникающие из-за постоянного падения напряжения на клеммах аккумулятора из-за его разрядки.

Периодические погрешности. Это погрешности, у которых

впроцессе измерения меняются и значение и знак. В качестве примера такой погрешности можно представить часы, у которых ось вращения стрелки смещена относительно центра циферблата. Такие часы будут полчаса спешить и полчаса отставать, и лишь два раза в час показывать правильное время.

Погрешности, изменяющиеся по сложному закону. Они мо-

гут быть выражены в виде формулы или кривой. Одним из примеров такой погрешности являются погрешности, вызванные ходом с жесткостью дозиметров.

1.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ. ЗАКОНОМЕРНОСТИ

где Q — истинное значение измеряемой величины; δi — случайная погрешность i-го измерения.

Поскольку случайная погрешность относится к классу случайных величин, то и результат измерения можно рассматривать как случайную величину.

В теории вероятностей простейшим понятием является случайное событие — событие, которое в результате опыта произойдет или не произойдет. Применительно к измерениям можно утверждать, что при проведении повторных измерений в неизменных условиях результат измерения является случайным, непредсказуемым.

11

Вероятность события является количественной оценкой объективной возможности его появления. Применительно к измерениям вероятность является оценкой возможного результата. Вероятность достоверного события принимается равной 1, а вероятность невозможного события равной 0. Для остальных событий вероятность меньше единицы, но больше нуля.

При бросании игральной кости, имеющей число очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6, появление результата в 1, или 2, или 3, или 4, или 5, или 6 очков является достоверным и имеет вероятность, равную 1. Появление 7 очков невозможно, и вероятность этого события равна 0. Вероятность появления единицы (или любого другого очка) p (n) можно вычислить по формуле

где n — общее число событий (для данного примера 6); m — число событий появления желательного результата (например, 1).

Для результата 1 очко вероятность составит одну шестую. Вероятность появления единицы (или другого значения) для данного примера легко подсчитать, так как данное событие относится к разряду симметричных. Однако, если представить, что игральный кубик будет вовсе не кубик, а параллелепипед, то вероятность появления любого значения можно определить только экспериментально, с помощью опыта. Для этого необходимо провести n опытов, подсчитать количество выпадений каждой грани m и подсчитать частоту появления того или иного значения. Очевидно, что при повторении новой серии из n опытов мы получим иные значения частот. Однако при неограниченном увеличении числа n частота события будет стремиться к вероятности.

Более сложным понятием в теории вероятностей является случайная величина. Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее — какое именно. Примеры случайных величин: число попаданий при 3 выстрелах; число осколков при разрыве снаряда; значение случайной погрешности каждого из результатов измерений и, как следствие, результат измерения.

В первых двух примерах случайные величины могут принимать изолированные, отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить. Так, в первом примере это зна-

чения 0, 1, 2, 3.

Такие случайные величины называются дискретными (прерывными) случайными величинами. Для полной характеристики

12

дискретной случайной величины необходимо и достаточно знать возможные ее значения и вероятность каждого из этих значений.

При бросании двух костей сумма очков (случайная дискретная величина) может принимать значение от 2 до 12. Вероятность разных значений данной случайной величины будет различной. Например, сумма 2 может получиться при одной комбинации (1 + 1), сумма 3 — при двух (1 + 2, 2 + 1), сумма 4 — при трех (1 + 3, 2 + 2, 3 + 1), сумма 5 — при четырех, сумма 6 — при пяти, сумма 7 — при шести и т.д. Число всех возможных комбинаций 36. Вероятности появления каждого из возможных значений суммы очков приведены в таблице 1.

Таблица 1

Таблица 1 называется рядом распределения, который можно представить в виде графика (рис. 2).

Рис. 2. График распределения дискретной случайной величины

Если просуммировать все вероятности, получится единица. Для данного примера эта суммарная вероятность распределена в соответствии с таблицей 1, которая является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.

В общем случае суммарная вероятность (единица) каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная

13

величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если задать это распределение, т.е. в точности указать, какой вероятностью обладает каждое значение величины. Так устанавливается закон распределения непрерывной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

В общем случае закон распределения определяется экспериментально. Для этого проводят большое число опытов (n), подсчитывают число благоприятных случаев конкретного значения случайной величины (m) и рассчитывают частоту p данного значения по формуле

Очевидно, что при повторении эксперимента из n опытов получим новое, иное значение частоты. При увеличении числа опытов n значение частоты будет стремиться к конкретному значению, которое и является искомой вероятностью.

Кроме дискретных случайных величин теория вероятностей изучает непрерывные случайные величины.

Непрерывная случайная величина — величина, которая непрерывно заполняет некоторый промежуток. Число значений непрерывной случайной величины — бесчисленное множество. Именно поэтому возможные ее значения невозможно заранее перечислить. Поэтому для определения закона распределения нужен другой подход.

Чтобы выявить распределение случайной непрерывной величины, необходимо разбить весь промежуток ее значений на ряд (j) интервалов, провести эксперимент из n опытов, подсчитать количество попаданий величины в каждый интервал, подсчитать частоту p попадания значения величины в каждый интервал. В таблице 2 приведены значения интервалов и соответствующих им частот.

14

При увеличении числа опытов и разбиении промежутка на более мелкие интервалы гистограмма приближается к плавной кривой. Если удастся составить математическую зависимость (функцию) значения плотности вероятности от значения случайной величины p (x) dx f (x) , то данная зависимость будет законом распределения случайной непрерывной величины. Здесь под плотностью вероятности понимается вероятность попадания величины x в элементарный интервал dx.

Результаты наблюдений при многократных измерениях характеристик ионизирующих излучений можно рассматривать как результаты наблюдений над случайной величиной. Имея ряд наблюдений, можно построить гистограмму, которая дает представление о характере закона распределения. А при большом числе наблюдений с использованием статистических методов можно опытным путем определить этот закон.

Но если на основании теоретических рассуждений и опыта можно предвидеть качественную форму закона распределения случайной величины, то достаточно провести ограниченное число наблюдений. Опыт показывает, что для большого числа величин можно ожидать распределения результатов наблюдений по нормальному закону распределения (закону Гаусса). По данному закону плотность вероятности p (x) dx результатов наблюдений x определяется соотношением

15

где M [x] и σ — параметры нормального распределения — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение (СКО).

На рисунке 4 изображена кривая нормального распределения результатов наблюдений x и плотности распределения p (x) dx .

p (x) dx

x

M [x]

Рис. 4. Кривая нормального распределения результатов наблюдений

Здесь M [x] — математическое ожидание, определяемое как проекция центра тяжести фигуры, образованной кривой распределения и осью абсцисс, на ось абсцисс. Математическое ожидание можно представить как наиболее ожидаемый, вероятный результат измерений. Если систематические погрешности θ полностью исключены, то истинное значение Q измеряемой величины равно математическому ожиданию M [x] = Q. В присутствии неисключенной систематической погрешности

представлять собой кривую распределения случайной погрешности (рис. 5)

p (δ)dδ

16

0

Рис. 5. Кривая нормального распределения случайных погрешностей

На рисунке 6 изображены две кривые нормального распределения результатов измерений одной и той же величины. Следует знать, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, как сумма вероятностей всех возможных результатов измерений всегда равна единице. Сравнивая между собой кривые, можно установить, что для кривой 1 значительная часть площади сосредоточена вблизи математического ожидания. А это означает, что рассеивание результатов измерений относительно математического ожидания невелико. А вот для кривой 2 вероятность появления результатов измерений, далеких от математического ожидания, значительно больше, чем для кривой 1, т.е. рассеивание результатов измерений для кривой 2 больше, чем для кривой 1.

x

M [x]

Рис. 6. Кривые нормального распределения случайных величин с различными СКО

Количественной оценкой меры рассеивания является дисперсия результатов измерений D(x). Однако дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины. Поэтому для характеристики рассеивания чаще используется другая характерис-

17

тика — СКО σ, определяемое как квадратный корень из дисперсии: D(x) .

Вернемся еще раз к кривым распределения результатов измерения и случайной погрешности (рис. 7 и рис. 8).

Если отложить произвольный интервал (а, в) на оси абсцисс, то площадь, ограниченная кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами, восстановленными на краях интервала, будет соответствовать вероятности попадания результата измерения в заданный интервал (рис. 7) или вероятности получения случайной погрешности в заданном интервале (рис. 8).

Если отложить интервал [M[x] – σ, M[x] + σ] на рисунке 7 и интервал (±σ) на рисунке 8, то размер заштрихованной площади на рисунках всегда равен 0,6827 (примерно 2/3). Это означает, что вероятность попадания результата измерения в интервал [M[x] – σ, M[x] + σ] и случайной погрешности в интервал (± σ) всегда составляет 2/3.

Существует связь между любым симметричным интервалом, отложенным относительно M[x], и вероятностью попадания результата измерения в данный интервал. В качестве единицы такого интервала используется СКО результата измерения. Зависимость интервала δ и вероятности p, именуемой доверительной,

где tp — коэффициент Лапласа, значение которого зависит от доверительной вероятности p.

18

Задавшись доверительной вероятностью, например p = 0,95, в таблицах можно найти значение коэффициента Лапласа, например, 1,96.

Рассмотренное нормальное распределение является теоретическим и составляет теоретическую основу для разработки алгоритмов определения случайной погрешности.

2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

2.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ПОЛУЧЕНИЯ ЧИСЛОВОГО РЕЗУЛЬТАТА

По характеру получения числового результата измерения подразделяются на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

1. Прямые измерения — это измерения, при которых значение величины получают непосредственно. При прямых измерениях объект исследования приводят во взаимодействие со средством измерения (СИ) и снимают показания СИ. Иногда полученные показания умножают на различного вида коэффициенты, вводят поправки.

Прямые измерения могут осуществляться с одним измерением — так называемое однократное измерение. Однократные измерения называют обыкновенными.

Прямые измерения могут быть многократными. Многократное измерение — это измерение физической величины, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом измерений (наблюдений), т.е. состоящее из ряда однократных измерений. Такие измерения часто называют статическими.

Прямые измерения также делятся на равноточные и неравноточные измерения:

–прямые равноточные измерения — это измерения, в которых результаты являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Такие результаты получают при измерениях, проводимых одним оператором, одним и тем же СИ в неизменных условиях внешней среды;

–прямые неравноточные измерения осуществляются разными операторами, разными СИ в разных условиях внешней среды. Ряды таких измерений имеют разные дисперсии, а математические ожидания рядов являются оценками одного и того же значения измеряемой величины. Такие измерения осуществляются

19

с целью найти наиболее достоверное значение величины, например для определения значения физических констант.

2. Косвенные измерения — это определение искомого значения физической величины Y на основании результатов прямых измерений других физических величин x1, x2, … xn, функционально связанных с искомой величиной Y:

Например, это определение плотности D тела (косвенное измерение) цилиндрической формы по результатам прямых измерений массы m, высоты h и диаметра цилиндра d, связанных с плотностью уравнением

3. Совокупные измерения — это проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях. Например, значение активности отдельных источников определяют по известному значению активности одного из источников и по результатам системы уравнений, получаемых по результатам сравнения активности различных сочетаний набора источников.

4. Совместные измерения — проводимые одновременно измерения двух или нескольких разноименных величин для определения зависимости между ними. Это, например, одновременное измерение температуры нагревания металлического стержня и его длины при различных уровнях его разогрева для составления зависимости удлинения стержня от температуры разогрева.

2.2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Равноточные измерения — многократные измерения величины, при которых их результаты являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Равноточные измерения выполняются, если измерения ведутся одним оператором (одной группой операторов) с помощью одних и тех же СИ в неизменных условиях измерений. При обработке таких измерений отдельно определяют систематическую и случайную составляющие погрешности.

20