Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко И.С. Недосекина Л.Р. Ким-Тян

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2017

УДК517.5 Р17

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, Т.В. Морозова

Разумейко Б.Г.

Р17Дифференциальное исчисление функций многих переменных : курс лекций / Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. КимТян. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 57 с.

ISBN 978-5-906846-74-7

Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читавшихся авторами студентам ИНМиН.

Курс предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС».

УДК 517

2

3

Предисловие

Курс лекций является составной частью учебно-методического комплекса раздела «Дифференциальное исчисление» дисциплины «Математика». Комплекс включает в себя курс лекций, практикум и пособие, посвященное разбору экзаменационных билетов. Предлагаемый вашему вниманию курс лекций соответствует программе по математике физико-химических специальностей, но может быть использован студентами и других инженерных специальностей.

Предыдущая часть курса посвящена изучению функций одной переменной. Однако на практике нередки случаи, когда независимых переменных оказывается несколько.

Например, объем V кругового цилиндра есть функция двух переменных – радиуса его основания R и высоты Н; зависимость между

этими переменными выражается формулой V = R2H.

Изучая физическое состояние какого-либо объекта, часто приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Например, плотность материала, из которого изготовлено тело, температура, электрический потенциал – все эти величины являются функциями от координат x, y, z точки, в которой они измеряются. Если физическое состояние тела меняется еще и во времени, то к этим независимым переменным добавляется время t и мы имеем дело с функциями четырех переменных.

Курс посвящен изучению дифференциальных свойств функций многих переменных и приложению дифференциального исчисления к исследованию поведения функций.

4

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

1.1. Понятие функции двух и трех переменных

Множество всевозможных упорядоченных пар (х, у) веществен-

ных чисел х и у называется координатной плоскостью.

При этом каждую пару (х, у) мы будем называть точкой этой плоскости и обозначать одной буквой М (рис. 1.1). Числа х и у называются координатами точки М. Запись М(х, у) означает, что точка М имеет координаты х и у.

Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью R2, если между любыми двумя ее точками М'(х', у') и М''(х'', у'') опреде-

лено расстояние (М', М'') по формуле

(M , M ) (x '' x ')2 ( y '' y ')2 .

y

M´´(x´´, y´´) y´

Рис. 1.1. Точки на евклидовой плоскости R2

Если каждой точке М(х, у) из некоторого множества {М} точек евклидовой плоскости R2 ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число z, то говорят, что на множестве {М} задана функция z = z(M), или z = f(M), или z = f(х, у):

f: R2 R.

Множество {М} называется областью определения функции и обозначается D(f). Совокупность всех значений, которые функция принимает на множестве D(f), называется областью значений функции и обозначается E(f).

5

Для функции двух переменных можно ввести понятие графика, а именно: графиком функции z = f(х, у) называется поверхность, точки которой имеют координаты (х, у, f(х, у)).

Множество точек М(x, y) евклидовой плоскости R2, в которых функция принимает одно и то же значение С, называется линией уровня функции z = f(х, у), соответствующей данному значению С.

Линии уровня находятся как решения уравнения f(х, у) = С , где С = const.

Если взять числа С1, С2, … , образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление о графике функции, т.е. о форме поверхности. Там, где линии расположены гуще, функция изменяется быстрее (поверхность идет круче).

Термин «линии уровня» заимствован из картографии. Линия уровня на географической карте – это географическое место точек одинаковой высоты.

Областью определения этой функции является круг радиусом 2 с центром в начале координат, т.е.

D( f ) {M (x, y) R2 : x2 y2 4} ,

а множество значений

E( f ) {z R : 0 z 2}.

График функции – верхняя полусфера радиусом 2 с центром в начале координат (рис. 1.2). Линии уровня определяются уравнением

4 x2 y2 С

или

x2 y2 4 С2 , С 0.

Далее, по аналогии с функцией двух переменных, введем понятие функции трех переменных. Для этого, аналогично понятиям координатной и евклидовой плоскости, вводятся понятия координатного и евклидова пространства.

6

Множество всевозможных упорядоченных троек (х, у, z) вещественных чисел называется координатным пространством. При этом каждую тройку (х, у, z) мы будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой М. Числа х, у и z называются коорди-

натами точки М.

Координатное пространство называется евклидовым пространством R3, если между любыми двумя его точками М'(х', у', z´) и М''(х'', у'', z'') (рис. 1.3). Определено расстояние (М', М'') по формуле

ρ(M , M ) (x '' x ')2 ( y '' y ')2 (z z )2 .

z

M´´(x´´, y´´, z´´)

О y

x

Рис. 1.3. Точки в евклидовом пространстве R3

7

Пусть теперь {М} – множество точек евклидова пространства R3.

Если каждой точке М(х, у, z) {М} ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что на множестве {М} задана функция и = u(M), или и = f(М), или

и = f(х, у, z):

f: R3 R.

Аналогично линиям уровня для функции трех переменных вводится понятие поверхности уровня. Множество точек М(x, y, z) евклидова пространства R3, в которых функция принимает одно и то же значение С, называется поверхностью уровня функции и = f(х, у, z), соответствующей данному значению С.

Поверхности уровня находятся как решения уравнения f(х, у, z) = С , где С = const.

Пример 1.2. u x2 y2 z2.

Областью определения этой функции является все евклидово про-

странство R3, а множеством значений – полупрямая u 0. Поверхности уровня определяются уравнением

2.2. Евклидово пространство Rm. Понятие функции m переменных

Познакомившись с понятиями евклидовой плоскости и евклидова трехмерного пространства, перейдем к рассмотрению более общего случая.

Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (х1, х2, … , хm) из m действительных чисел х1, х2, …, хm называется m-

мерным координатным пространством. При этом каждую упорядо-

ченную совокупность (х1, х2, … , хm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. Числа х1, х2, …, хm называются координатами точки М. Запись М(х1, х2, … , хm) означает, что точка М имеет координаты х1, х2, … , хm.

m-мерное координатное пространство называется евклидовым пространством Rm, если между любыми двумя его точками

М'(х1´, х2´, … , хm´) и М''(х1´´, х2´´, … , хm´´) определено расстояние

(М', М'') по формуле

8

(M , M ) (x1 '' x1 ')2 (x2 '' x2 ')2 ... (xm " xm ')2 .

Расстояние между точками в Rm обладает следующими свойства-

ми (рис. 1.4):

(М', М'') 0, причем (М', М'') = 0 М' = М'';(М', М'') = (М'', М');

(М', М'') (М', М) + (М, М'')(неравенство треугольника).

M´(x´, y´)

M(x, y)

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация неравенства треугольника в R2

Если каждой точке М(х1, х2, … хm) из некоторого множества {М} точек евклидова пространства Rm ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что на множестве {М} задана функция u = f(M), или u = f(х1, х2, … , хm).

f: Rm R.

Пример 1.3. При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных: трех координат x, y, z и времени t. Пусть u – температура в определенной точке комнаты в момент времени t. Тогда u = f(x, y, z, t).

1.3. Множества точек евклидова пространства Rm

Множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm, координаты которых х1, х2, … , хm удовлетворяют неравенству

(x1 x10 )2 (x2 x20 )2 ... (xm xm0 )2 R2 ,

9

называется m-мерным шаром радиусом R с центром в точке M0 (x10 , x20 ,..., xm0 ) . Таким образом, m-мерный шар определяется как

множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm,

расстояние от каждой из которых до некоторой точки М0 Rm удовлетворяет неравенству

(М, М0) R.

Если расстояние от каждой точки множества {М} до точки М0 удовлетворяет строгому неравенству

(М, М0) < R,

то множество {М} называется открытым m-мерным шаром.

Будем называть ε-окрестностью точки M0 (x10 , x20 ,..., xm0 ) m-мерного

евклидова пространства открытый m-мерный шар радиусом ε с центром в точке М0 (рис. 1.5). При этом для ε-окрестности будем использовать обозначение Uε(M0).

Проколотой ε-окрестностью точки М0 Rm будем называть множество Uε(M0), из которого удалена точка М0. Это множество будем

обозначатьU (M0 ) .

y

M0(x0, y0 )

ε

О x

Рис. 1.5. ε-окрестность точки M0 евклидовой плоскости

Пусть {М} – некоторое множество точек евклидова пространства Rm. Введем следующие понятия (рис. 1.6).

Точка М множества {М} называется внутренней точкой этого

множества, если существует -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству {М}.

10