Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

где все производные по переменным x1, x2, … , xm берутся в точке N, а все производные по переменным t1, t2, …, tk берутся в точке М.

Следствие 2.1. Пусть, в частности,

х1 = 1(t), x2 = 2(t), … , xm = m(t).

Тогда имеем сложную функцию одной переменной t: u = f(x1(t), x2(t), … , xm(t)). Производная этой сложной функции определяется следующей формулой:

2.4. Правила дифференцирования

Пусть u = u(x, y), v = v(x, y) – дифференцируемые на некотором множестве функции. Тогда справедливы равенства:

•d(αu βv) αdu βdv (α, β – постоянные);

•d(uv) vdu udv ;

•d u vdu 2 udv ( v 0).

v v

Докажем, например, второе свойство. В данном случае uv = f(u(x, y), v(x, y)). Воспользуемся правилами дифференцирования сложной функции:

21

vdu udv.

Отметим, что правила дифференцирования остаются справедливыми, если u и v – дифференцируемые функции любого числа переменных.

2.5. Касательная плоскость и нормаль к графику функции двух переменных

Как известно из аналитической геометрии, поверхностью S в R3 называется множество точек пространства, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют определенному уравнению

F(x0, y0, z0) = 0. Проведем через эту точку произвольную гладкую кривую

{x x(t), y y(t), z z(t), α t β} ,

целиком лежащую на поверхности S. Это означает, что

F(x(t), y(t), z(t)) 0; x0 x(t0 ), y0 y(t0 ), z0 z(t0 ), t0 (α, β) .

Пусть функция F(x, y, z) дифференцируема в окрестности точки

M0(x0, y0, z0). Дифференцируя тождество F(x(t), y(t), z(t)) 0 по переменной t, получим

22

Далее запишем уравнения касательной к кривой Г в точке M0(x0, y0, z0), соответствующей значению t0 параметра t. Уравнения касательной к пространственной кривой получаются аналогично случаю плоской кривой и имеют вид

X x0 Y y0 Z z0 , x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )

где X, Y, Z – текущие координаты точек прямой. Отсюда следует, что

где k – коэффициент пропорциональности.

Подставляя в соотношение (2.1) вместо x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) их выражения (2.2) и сокращая на k, получим уравнение

которому удовлетворяют текущие координаты X, Y, Z точек касательной к кривой Г. Это уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной вектору

кривая, лежащая на поверхности S и проходящая через точку M0. Таких кривых может быть проведено бесконечное множество; касательные ко всем этим кривым лежат в одной и той же плоскости, определяемой уравнением (2.3). Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной поверхности S в точке M0(x0, y0, z0) (рис. 2.2).

Прямая L, проходящая через точку касания M0(x0, y0, z0) S и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности S в этой точке. Ее уравнения имеют вид

23

S: F (x, y, z) = 0

у

L

x

Рис. 2.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

2.6. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных

Пусть задана поверхность S, описываемая функцией z = f(x, y), дифференцируемой на открытом множестве G R2. В этом случае

F(x, y, z) = f(x, y) – z.

Пусть точка M0(x0, y0, z0) S , где z0 = f(x0, y0), тогда

и уравнение касательной плоскости к поверхности S в точке M0 можно записать так:

Z z0 f (x0x, y0 ) ( X x0 ) f (x0y, y0 ) (Y y0 ) .

Из уравнения касательной плоскости видно, что df(x0, y0) – приращение аппликаты касательной плоскости при перемещении из точ-

ки (х0, у0) в точку (х, у) (рис. 2.3).

24

Рис. 2.3. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных

2.7. Производная по направлению и градиент

Частные производные функции f(M) = f(x, y, z) по x, по y, по z характеризуют «скорость изменения» функции по направлению координатных осей. Однако в приложениях может представлять интерес также «скорость изменения» функции и по другим направлениям. Например, в каждой точке M рассматриваемого тела задана температура f(M). Законы распределения и распространения тепла существенно зависят от скорости изменения температуры по всем направлениям. Далее мы уточним понятие «скорости изменения» или производной функции по любому заданному направлению.

25

z

x

Рис. 2.4. К выводу формулы производной по направлению

Пусть функция u = f(M) определена в области G R3 и точка

M0(x0, y0, z0) G. Рассмотрим любую направленную прямую (ось) l, проходящую через эту точку (рис. 2.4). Пусть M(x, y, z) – какаянибудь другая точка на этой оси; M0M – длина отрезка с началом в

точке M0 и концом в точке M , взятая со знаком плюс, если направление вектора M0M совпадает с направлением оси l, и со знаком ми-

нус – в противном случае. Пусть точка M неограниченно приближается к точке M0.

ществует, называется производной от функции f(M) по направлению l

(или вдоль оси l) и обозначается f (M0 ) .

l

Эта производная характеризует «скорость изменения» функции в точке М0 по направлению l.

Предположим, что функция f(x, y, z) имеет в рассматриваемой области непрерывные частные производные. Пусть ось l образует с ко-

ординатными осями углы , , . Докажем, что при сделанных пред-

26

положениях производная по направлению l существует и выражается формулой

Положим M0M = t, тогда

x – x0 = tcos , y – y0 = tcos , z – z0 = tcos .

Таким образом, вдоль оси l координаты точки M(x, y, z) можно

Производная (t) при сделанных предположениях существует и вычисляется как производная сложной функции следующим образом:

Используя формулы (2.5), получим

(t) fx cos α fy cosβ fz cos γ.

Подставляя выражение для (0) в (2.6), получим формулу (2.4).

Пусть функция u = f(x, y, z) дифференцируема в точке M0. Градиентом функции u = f(x, y, z) в точке M0 называется вектор, обозначаемый символом gradf и имеющий координаты, соответственно равные

производным fx , fy , fz , вычисленным в точке M0, т.е.

27

Установим связь между градиентом функции и ее производной по

f (grad f , a).

l

Пусть – угол между векторами gradf и a . Тогда

Отсюда следует, что fl имеет наибольшее значение, если на-

правление вектора a совпадает с направлением градиента, т.е. градиент функции f в точке М(х0, у0, z0) характеризует величину и направление максимальной скорости возрастания функции в данной точке.

Можно показать, что вектор gradf направлен по нормали к поверхности уровня функции u = f(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0).

28

3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

3.1.Частные производные высших порядков

Если функция u = f(x1, x2, … , xm) имеет частные производные xfi

(i = 1, 2, … , m) во всех точках открытого множества G Rm, то эти производные можно рассматривать как новые функции, заданные на множестве G. В свою очередь, эти функции могут иметь частные производные по какой-либо переменной в точке M G.

значение 2 f .

xi2

Для функции f(x, y) можно записать четыре производные второго порядка в точке (х, у):

Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной производной. Так fxy(х, у) и fyx (х, у) – смешанные производные. Вообще говоря, они могут быть не равны.

ТЕОРЕМА 3.1 (О смешанных производных). Если обе смешан-

ные производные fxy(х, у) и fyx(х, у) определены в некоторой окрестности точки (х0, у0) и непрерывны в этой точке, то

fxy (х0, у0) = fyx (х0, у0).

Вообще частной производной n-го порядка будем называть частную производную по какой-нибудь переменной от производной (n–1)-го порядка.

29

Сформулированная выше теорема о частных производных распространяется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Например fxyу(х0, у0) = fyуx (х0, у0), если эти производные непрерывны в данной точке.

3.2. Некоторые сведения из теории квадратичных форм

Квадратичной формой от n переменных называется функция вида

называется матрицей квадратичной формы. Матрица симметрична,

т.е. А = Ат.

Если aij = 0 при i j , то такой вид квадратичной формы называется каноническим. С помощью линейного преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. При этом справедлив следующий закон инерции квадратичной формы:

Число слагаемых с положительными (отрицательными) каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Квадратичная форма называется

• положительно (отрицательно) определенной, если для любых x1, x2, … , xn выполняется условие

Q(x1, x2, … , xn) 0 ( 0), причем Q(x1, x2, … , xn) = 0

x1 = x2 = … = xn = 0.

•неопределенной, если существуют x1, x2, … , xn и x1 , x2 , … , xn , такие что

Q(x1, x2, … , xn) 0 и Q(x1 , x2 , … , xn ) 0

Пример 3.1.

Q(x1, x2, x3) = x12 + 5x22 + 2x32 – положительно определенная квадратичная форма;

30