Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

Точка М называется граничной точкой множества {М}, если в

любой -окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие множеству {М}, так и точки, не принадлежащие {М} (заметим, что граничная точка может не принадлежать множеству {М}).

Границей множества {М} называется совокупность всех его граничных точек.

ε

ε

{М}

Рис. 1.6. Точки множества {М} евклидовой плоскости R2

Множество {М} называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество {М} называется замкнутым, если каждая его граничная точка принадлежит {М}.

Непрерывной кривой Г в евклидовом пространстве Rm называется множество точек этого пространства, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметра t:

х1 = x1(t), х2 = x2(t), … , хm = xm(t), t [ , ].

Пример 1.4. х = аcost, y = bsint, t [0, 2 ] – параметрические уравнения эллипса в R2.

Множество {М} Rm называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой Г, целиком лежащей в этом множестве.

Открытое и связное множество {М} Rm называется областью

(рис. 1.7).

Если {М} Rm представляет собой область, то множество, полученное присоединением к {М} всех его граничных точек, называется

замкнутой областью.

11

y

Г

{М}

Рис. 1.7. Область на евклидовой плоскости R2

Множество {М} Rm называется ограниченным, если существует число С > 0, такое что все точки этого множества находятся внутри

шара радиусом С с центром в начале координат, т.е. (0, М) < С (рис. 1.8).

y

СМ

Оx

Рис. 1.8. Ограниченное множество на евклидовой плоскости R2

12

Замкнутое ограниченное множество в Rm называется компактом. Примером компакта в одномерном случае является отрезок прямой, в двумерном – круг, прямоугольник и т.п.

1.4. Предел и непрерывность функции многих переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть функция f(М) определена в некото-

рой проколотой r-окрестности точки М0 R2.

Число а называется пределом функции f(М) в точке М0 (рис. 1.9), если для любого > 0 найдется число ( ) > 0, такое что для всех то-

чек М D(f), удовлетворяющих неравенству 0 < (М, М0) < , выполняется неравенство

f(М) – а < . z

z = f(x, y)

a + a

a -

Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация предела функции двух переменных

Для обозначения предела функции в точке используется следующая символика:

lim f (M ) a

M M0

13

или

lim f (x, у) a ,

x x0 y y0

где х0, у0 – координаты точки М0.

Аналогично вводятся понятия предела функции любого числа переменных.

Замечание 1.1. Все основные свойства пределов функции одной переменной переносятся на случай функций многих переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть функция f(М) определена в некото-

рой r-окрестности точки М0 R2. Функция f(М) непрерывна в точке М0, если

lim f (M ) f (M0 ).

M M0

Введем понятие полного приращения функции f(М) в точке М0:

f = f(М) – f(М0) = f(х0 + x, у0 + у) – f(х0, у0).

Тогда для непрерывности функции в точке М0 необходимо и достаточно, чтобы

f при x , у .

На функции многих переменных, непрерывные в точке, распространяются все основные свойства функций одной переменной, непрерывных в точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Функция f(М) называется непрерывной на множестве {М}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Сформулируем без доказательства некоторые свойства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве в Rm (на компакте), аналогичные свойствам функций, непрерывных на отрезке.

ТЕОРЕМА 1.1. Если функция f(М) непрерывна на компакте {М}, то она ограничена на этом множестве.

ТЕОРЕМА 1.2. Если функция f(М) непрерывна на компакте {М}, то она достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

14

2.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.1. Частные производные

Пусть функция u = f(x1, x2, … , xm) определена в окрестности точки M0 (x10 , x20 , ... , xm0 ) Rm. Пусть x1 – переменная величина, а

x2 x20 , ... , xm xm0 . Тогда эта функция, рассматриваемая как функция

от x1, может иметь производную в точке x10 . По определению такая производная называется частной производной по переменной x1 и

обозначается f (M0 ) .Таким образом

x1

Аналогично определяются частные производные по другим переменным.

Замечание 2.1. Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка:

Функция двух переменных z = f(x, y) может иметь в точке (х0, у0) две частные производные первого порядка

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.

15

2.2. Дифференцируемость функции многих переменных. Дифференциал

Сначала введем понятия дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Функция z = f(М) = f(x, y) называется дифференцируемой в точке M0(x0, y0), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа А1, А2, что полное приращение функции в этой точке представимо в виде

f = f(x0+ x, y0+ у) – f(x0, y0) =

= А1 x + А2 у + 1( x, y) x+ 2( x, y) y,

где 1( x, y), 2( x, y) – бесконечно малые при x , y функции.

Условие дифференцируемости функции можно записать также и в другой форме. Для этого рассмотрим бесконечно малую при x ,

y функцию х2 у2 . Геометрически эта функция пред-

т.е. 1( x, y) x + 2( x, y) y = о(ρ) и условие дифференцируемости может быть записано так:

f = f(x0+ x, y0+ у) – f(x0, y0) = А1 x + А2 у + о(ρ) при x , y ,

где х2 у2 .

Дифференциалом df дифференцируемой в точке M0(x0, y0) функции z = f(М) = f(x, y) называется главная, линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке

M0(x0, y0), т.е.

df(M0) = А1 x + А2 у.

16

Теперь понятия, введенные для функции двух переменных, можно обобщить на случай любого числа переменных.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Функция u = f(М) = f(x1, x2, … , xm) называется дифференцируемой в точке M0 (x10 , x20 ,..., xm0 ) Rm , если она оп-

ределена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа А1, А2, … , Аm , что полное приращение функции в этой точке представимо в виде

f = f(М) – f(М0)= А1 x1+ А2 x2 + … +Аm xm + 1 x1+ 2 x2 + … + m xm ,

где 1, 2, … , m – бесконечно малые при x1→ 0, x2→ 0, … ,

xm→ 0 функции.

Условие дифференцируемости также можно записать в виде

f = f(М) – f(М0)= А1 x1+ А2 x2 + … + Аm xm + о(ρ) при x1→ 0,x2→ 0, … , xm→ 0,

где х12 x22 ... xm2 .

Дифференциалом df дифференцируемой в точке M0 функции u = f(М) называется главная, линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке M0, т.е.

df(M0) = А1 x1 + А2 x2 + … +Аm xm.

ТЕОРЕМА 2.1 (Необходимое условие дифференцируемости).

Доказательство. Приведем доказательство для функции двух переменных z = f(М) = f(x, y).

Пусть сначала у = 0. Тогда условие дифференцируемости функции в точке M0(x0, y0) принимает вид

f = f(x0+ x, y0) – f(x0, y0) = А1 x + 1( x) x,

откуда вытекает, что

17

f A1 1( x).x

ТЕОРЕМА 2.2 (Связь между дифференцируемостью функции в точке и непрерывностью). Если функция u = f(М) = f(x1, x2, … , xm)

дифференцируема в точке M0 (x10 , x20 ,..., xm0 ) Rm , то она непрерывна в

этой точке.

Доказательство. Приведем доказательство для функции двух переменных z = f(М) = f(x, y).

Пусть функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M0(x0, y0). Это значит, что полное приращение функции в этой точке представимо в виде

f = f(x0+ x, y0+ у) – f(x0, y0) = А1 x + А2 у+ 1( x, y) x+ 2( x, y) y,

где 1( x, y), 2( x, y) – бесконечно малые при x , y

функции. Следовательно f 0 при x , y , что и означает непрерывность функции в точке M0(x0, y0).

ТЕОРЕМА 2.3 (Достаточные условия дифференцируемости

функции в точке). Если функция u = f(М) = f(x1, x2, … , xm) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности

точки M0 (x10 , x20 ,..., xm0 ) Rm , непрерывные в этой точке, то функция

дифференцируема в точке M0.

Доказательство. Приведем доказательство для функции двух пе-

ременных z = f(М) = f(x, y) (рис. 2.1).

18

у

M(x0+ x, y0+ у)

у0 + у

у0 + θ2 у у0

Ох0 х0 +θ1 x х0 + x

Рис. 2.1. Иллюстрация к доказательству теоремы 2.3

Итак, пусть частные производные f (x, у) , f (x, у) определены

x у

в некоторой окрестности точки M0(x0, y0) и непрерывны в этой точке. Дадим аргументам столь малые приращения x, у, чтобы точка

M(x0+ x, y0+ у) не выходила за пределы указанной окрестности. Полное приращение функции представим в виде

f = (f(x0+ x, y0+ у) – f(x0, y0+ у)) + (f(x0, y0+ у) – f(x0, y0)).

Зафиксировав y0+ у, применим формулу конечных приращений Лагранжа к функции f(x, y0+ у) одной переменной х на отрезке [x0,

Аналогично применим формулу конечных приращений Лагранжа к функции f(x0, у) одной переменной у на отрезке [у0, у0+ у]:

Так как производные непрерывны в точке M0(x0, y0), то

19

f (x0 1 xx, y0 y) f (x0x, y0 ) 1,(x0 , y0 y 2 y) f f (x0у, y0 ) 2 ,

где 1, 2 – бесконечно малые при x , y функции. Отсюда получим

f f (x0x, y0 ) x f (x0y, y0 ) y 1 x 2 y .

Следовательно, функция дифференцируема в точке M0(x0, y0). Замечание 2.2. Эта теорема имеет важное значение для установ-

ления дифференцируемости функции, так как проверка непрерывности частных производных часто оказывается проще непосредственной проверки дифференцируемости по определению.

Обозначим dx1 = x1, dx2 = x2, … , dxm = xm – дифференциалы независимых переменных. В этих обозначениях дифференциал функции u = f(x1, x2, … , xm) записывается в виде

2.3. Дифференцирование сложной функции ТЕОРЕМА 2.4. Пусть функции

x1 1(t1,t2 ,...,tk ), x2 2 (t1,t2 ,...,tk ),

................................

xm m (t1,t2 ,...,tk )

функция

u = f (x1(t1,t2,…,tk), x2(t1,t2,…,tk), … , xm(t1,t2,…,tk))

дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной функции в точке М определяются формулами

20