Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

z( , ) = 2 > z(0, 0) = 0, z( ,– ) = – 2 < z(0, 0) = 0,

т.е. в любой окрестности стационарной точки найдутся как точки, в которых значение функции больше ее значения в стационарной точке, так и точки, в которых значение функции меньше ее значения в стационарной точке. В данном случае стационарная точка не является точкой экстремума.

ТЕОРЕМА 5.2 (Достаточные условия экстремума). Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки M0 непрерывные частные производные второго порядка и пусть df(M0) = 0. Тогда, если d2f(M0) – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма, то M0 – точка локального минимума (максимума), если d2f(M0) – неопределенная квадратичная форма, то M0 не является точкой экстремума.

Доказательство. Приведем доказательство для функции двух переменных f(x, y). По формуле Тейлора второго порядка с остатком в форме Пеано имеем

ρ2 dx2 dy2 .

Так как по условию теоремы df(М0) = 0, то полное приращение функции в критической точке

Пусть для определенности d 2f(M0) – положительно определенная квадратичная форма. Тогда

41

Q dx , dy 0

при всех значениях dx , dy , не равных одновременно нулю. В на-

поэтому одновременно не равны нулю. Квадратичная форма

менных, принимающую только положительные значения и заданную на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Поскольку эта окружность представляет собой замкнутое ограниченно множество, то функция достигает на нем своей точной нижней грани m. Таким образом

Q dx , dy m 0

достаточно малой окрестности точки М0 выполняется неравенство f(M) – f(M0) > 0, т.е. М0 – точка локального минимума.

Аналогичные рассуждения можно привести в случае, когда d2f(M0) – отрицательно определенная или неопределенная квадратичная форма.

Следствие. Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка этой функции. Исследуем второй дифференциал функции в стационарной точке:

= Adx2 2Bdxdy Cdy2 .

Воспользуемся критерием Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. В нашем случае

42

Возможные возникающие ситуации сведем в таблицу:

Пример 5.3. Исследовать на локальные экстремумы функцию z = x3 + 3xy2 – 39x – 36y + 26.

Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим ее частные производные

z 3x2 3y2 39 , z 6xy 36 .

x y

Приравняв их нулю, получим систему алгебраических уравнений

x2 y2 13,

xy 6.

Решив систему, найдем четыре «подозрительные» точки:

M1(3, 2), M2(– 3, – 2), M3(2, 3), M4(–2, –3).

Далее выясним, являются ли эти точки точками экстремума. Вычислим второй дифференциал функции в произвольной точке (х, у):

D2f(x, y) = 6xdx2 +2 6ydxdy + 6xdy2.

Матрица квадратичной формы в данном случае имеет вид

Выпишем ее главные миноры

43

Вычислим 1, 2 в «подозрительных» точках и полученные результаты сведем в таблицу:

5.2. Условный экстремум

Понятие условного экстремума функции многих переменных

До сих пор мы занимались отысканием локальных экстремумов функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Вместе с тем в приложениях часто встречается задача об отыскании экстремума функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи. Экстремумы такого рода на-

зывают условными.

Пример 5.4. Пусть требуется найти экстремум функции z = x2 + y2 при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению х + у – 1 = 0. Таким образом, экстремумы ищутся не на всей плоскости, а лишь на прямой х + у – 1 = 0 (рис. 5.3).

Для решения поставленной задачи выразим у = 1 – х из уравнения связи и подставим в исследуемую функцию. Таким образом задача сведется к задаче об отыскании локальных экстремумов функции одной переменной:

z = 2x2 – 2x + 1.

Решив уравнение

z = 4x – 2 = 0,

найдем единственную стационарную точку этой функции x = 0,5. Так

как z = 4 > 0 всюду, в том числе и в найденной точке, то x = 0,5 – точка минимума.

44

z

0, достигается в точке (0, 0).

Общая постановка задачи отыскания условного экстремума функции двух переменных

при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи

Поставленная задача может быть решена так, как в предыдущем примере. Это так называемый прямой метод отыскания точек условного экстремума. Однако часто уравнение связи трудно решается относительно х, поэтому часто используют так называемый метод множителей Лагранжа.

45

Пусть функции f(x, y) и (х, у) непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0). Составим функцию

которую называют функцией Лагранжа, а параметр – множителем Лагранжа.

Для того чтобы точка (x0, y0) являлась точкой экстремума функции f(x, y) при условии связи (х, у) = 0, необходимо, чтобы ее координаты при некотором значении параметра удовлетворяли системе уравнений

Заметим, что при условии связи (5.2) экстремумы функции Лагранжа совпадают с экстремумами исследуемой функции (5.1).

Достаточные условия существования условного экстремума функции двух переменных

Пусть функции f(x, y) и (х, у) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки (x0, y0) и в этой точке выполнены необходимые условия существования условного экстремума функции f(x, y) при ограничениях (5.2).

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа по переменным х и у при фиксированном значении параметра , т.е.

•положительно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного минимума;

•отрицательно определенная квадратичная форма, то (x0, y0) – точка условного максимума;

•неопределенная квадратичная форма, то (x0, y0) не является точкой условного экстремума функции.

46

Пример 5.5. Найти условные экстремумы функции z = 5 – 3x – 4y

относительно уравнения связи

x2 + y2 = 25.

Составим функцию Лагранжа

F(x, y; ) = 5 – 3x – 4y + (x2 + y2 – 25).

Найдем стационарные точки функции Лагранжа, решая систему уравнений

Выразив из первых двух уравнений х и у через λ и подставив в

Таким образом, функция f(x, y) может иметь условный экстремум только в точках (3, 4) и (–3, –4).

Вычислим второй дифференциал функции Лагранжа: d 2 F(x, y; ) 2 dx2 2 dy2 .

Продифференцируем уравнение связи: 2xdx 2 ydy 0.

Отсюда видим, что в точках (3, 4) и (–3, –4) дифференциалы dx и dy связаны условием

3dx 4dy 0.

47

При выполнении этого условия:

– положительно определенная квадратичная форма;

– отрицательно определенная квадратичная форма.

Следовательно, функция f(x, y) имеет в точке (3, 4) условный минимум и z(3, 4) = –20, а в точке (–3, –4) – условный максимум z(–3, –4) = 30.

Задача на условный экстремум для функции трех переменных

Найти экстремумы функции

u = f(x, y, z)

при выполнении условий связи

1(х, у, z) = 0,2(х, у, z) = 0.

Здесь также возможен как прямой метод поиска условного экстремума, так и метод множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа в данном случае имеет вид

F(x, y, z; 1, 2) = f(x, y, z) + 1 1(х, у, z) + 2 2(х, у, z).

Стационарные точки этой функции находятся как решения системы

Fx Fy Fz 0,

1(x, y, z) 0,2 (x, y, z) 0.

Далее исследование проводится по той же схеме, что и для функции двух переменных.

Заметим, что в данном случае возможно и только одно уравнение связи.

48

Пример 5.6. Найти условные экстремумы функции u = xyz относительно уравнений связи

x y z 6 , x 2 y 3z 6 .

Применим прямой метод поиска точек условного экстремума. Разрешив уравнения связи относительно переменных х и у, получим

x z 6 , y 2z .

Подставив найденные выражения в исследуемую функцию, сведем рассматриваемую задачу к задаче поиска локального экстремума функции одной переменной

u(z) 2z2 (z 6) .

локальный максимум u = 0, а в точке z2 4 − локальный минимум

u = –64.

Итак, функция u = xyz при заданных ограничениях имеет условный максимум umax f (6, 0, 0) 0 и условный минимум

umin f (2, 8, 4) 64 .

Пример 5.7. Найти условные экстремумы функции

и найдем ее частные производные по переменным x, y, z:

49

Приравняв нулю полученные производные и присоединив к полученным уравнениям уравнение связи, получим систему для определения точек, «подозрительных» на экстремум:

Решая систему, находим и точки возможного экстремума:

λ 4,y z 0,

x 2;λ 9,x z 0,

y 3;λ 1,

x y 0,

z 1.

Для проверки достаточных условий найдем второй дифференциал функции Лагранжа относительно переменных x, y, z:

Вычислим второй дифференциал в найденных стационарных точках.

В точках М1(0, 0,1) и М2 (0, 0, 1)

50