Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

для всех dx и dy, не равных нулю одновременно. Следовательно, это точки условного минимума. Значение функции в этих точках

umin f (0, 0, 1) 1 .

В точках М3 (0, 3, 0) и М4 (0, 3, 0)

для всех dx и dz, не равных нулю одновременно. Следовательно, это точки условного максимума. Значение функции в этих точках

umax f (0, 3, 0) 9 .

В точках М5 (2, 0, 0) и М6 ( 2, 0, 0)

точками экстремума.

5.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на компакте

Пусть функция

u = f(x1, x2, ... , xm): Rm R

непрерывна на ограниченном замкнутом множестве G Rm (на компакте) и дифференцируема во всех внутренних точках этого множества.

Напомним, что для функции, непрерывной на компакте, существуют на этом компакте точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения. Эти точки могут быть внутренними

играничными. Поэтому следует действовать по такой схеме:

•найти стационарные точки внутри области G и вычислить значения функции в этих точках;

•исследовать функцию на границе области (здесь решается задача на условный экстремум);

•сравнить значения функции в стационарных точках и на границе, выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

51

Пример 5.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 2xy – x + y

в замкнутой ограниченной области G, определяемой неравенствами

(рис. 5.4):

y – x 2, x 0, y 0.

y

М4 2

М5

М1

G

М3

Рис. 5.4. К задаче о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции z = x2 + 2xy – x + y в треугольнике G

Сначала найдем стационарные точки функции. Для этого найдем частные производные

z 2x 2 y 1, z 2x 1x y

и решим систему алгебраических уравнений

Убедившись, что точка М1(–1/2,1) G, вычислим значение функции в ней:

z(– 1/2, 1) = 1/4 –1 + 1/2 + 1 = 3/4.

52

Далее исследуем функцию на границе области G, граница которой состоит из трех частей:

1) y = 0, – 2 x 0.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений на отрезке функции одной переменной

f(x) = z(x, 0) = x2 – x.

Сначала найдем ее стационарные точки:

f ´(x) = 2x – 1 = 0 x = 1/2 [– 2, 0].

На концах отрезка f(– 2) = 6, f(0) = 0. Следовательно, z(–2, 0) = 6; z(0, 0) = 0;

2) x = 0, 0 y 2.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на отрезке функцию

g(y) = z(0, y) = y.

Эта функция не имеет стационарных точек. На конце отрезка g(2) = 2, т.е. z(0, 2) = 2;

3) y = x + 2, – 2 x 0.

Исследуем на наибольшее и наименьшее значение на отрезке функцию

(x) = z(x, x +2) = x2 + 2x(x + 2) – x + x + 2 = 3x2 + 4x + 2;´(x) = 6x + 4 = 0 x = – 2/3 [– 2, 0]. (– 2/3) = 4/3 – 8/3 + 2 = 2/3.

Следовательно, z(–2/3, 4/3) = 2/3.

Сравним значения функции в точках

М1(–1/2, 1), М2(–2, 0), М3(0, 0), М4(0, 2), М5(–2/3, 4/3).

В результате получим

zнаиб = 6 в точке М2(–2, 0), zнаим = 0 в точке М3(0, 0).

Пример 5.9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 – y2

в замкнутой ограниченной области G, определяемой неравенством x2 + y2 2x.

53

у

1 М3

G

М1 М2

– 1

М4

Рис. 5.5. К задаче о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции z = x2 – y2 в круге G

Найдем стационарные точки функции, решив систему уравнений

z 2x 0 , z 2 y 0 .

x y

Единственной стационарной точкой функции является точка

М1(0, 0) G. Значение функции в этой точке z(0, 0) = 0.

Исследуем функцию на границе области, решив задачу на условный экстремум, т.е. найдем наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 – y2,

аргументы которой удовлетворяют уравнению связи x2 + y2 – 2x = 0.

Составим функцию Лагранжа

F(x, y, ) = x2 – y2 + (x2 + y2 – 2x).

Найдем стационарные точки функции Лагранжа из системы уравнений

54

Система имеет четры решения:

Далее просто вычислим значение исследуемой функции в найден-

55

Библиографический список

Разумейко Б.Г., Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Дифференциаль-

ное исчисление функций одной переменной: курс лекций. – М.: Изд.

Дом МИСиС, 2014. – 116 с.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Физматлит, 2005. – Ч. 1.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Дрофа, 2008. – Т.1–2.

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2003.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматлит, 2003. – Т.1.

56

Учебное издание

Разумейко Борис Григорьевич Недосекина Ирина Сергеевна Ким-Тян Луиза Ревмировна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Курс лекций

Редактор Л.М. Цесарская

Компьютерная верстка А.В. Калинкина

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом МИСиС, 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (495) 638-45-22

Отпечатано в типографии Издательского Дома МИСиС 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Тел. (499) 236-76-17, тел./факс (499) 236-76-35

57