Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Курс лекций

Q(x1, x2, x3) = - x12 – 5x22 – 2x32 – отрицательно определенная квадратичная форма;

Q(x1, x2, x3) = x12 – 5x22 + 2x32 – неопределенная квадратичная форма.

В приведенном примере полученные результаты очевидны. В более сложных случаях возникает необходимость в проведении исследования для выяснения знакоопределенности квадратичной формы.

Рассмотрим матрицу А квадратичной формы. Обозначим

Справедливо следующее утверждение, так называемый критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы:

• квадратичная форма положительно определенна 1 > 0, 2 > 0,

…, n > 0.

• квадратичная форма отрицательно определенна 1< 0, 2 > 0, …, (–1)n n > 0.

3.3. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядка во всех точках М(х, у) некоторой об-

ласти G R2. Тогда при фиксированных dx и dy дифференциал

df (M ) f (M ) dx f (M ) dy

x y

есть функция от М, имеющая в рассматриваемой области непрерывные частные производные. Следовательно, в любой точке этой области существует дифференциал от df(M). Вычислим его при тех же приращениях dx и dy:

Он называется вторым дифференциалом функции z = f(x, y) в точке

М(х, у).

31

Аналогично для функции, трижды дифференцируемой в точке М, определяется третий дифференциал

Для сокращения записи второго и последующих дифференциалов функции введем символ дифференциала d при помощи соотношения

dx dx y dy

иопределим операцию возведения этого символа в степень n. Например:

Тогда второй дифференциал функции z = f(x, y) можно записать в виде произведения

d 2 f x dx y dy 2 f .

И вообще, дифференциал n-го порядка функции z = f(x, y) можно символически записать в следующей форме:

Пусть функция u = f(х1, х2, … хm) имеет в области G Rm непрерывные производные первого и второго порядка по всем переменным. Тогда для нее, по аналогии с функцией двух переменных, вводится понятие второго дифференциала в точке М(х1, х2, … хm):

Последнее выражение – квадратичная форма от переменных dxi

(i = 1, 2, … , m).

32

По индукции определяется дифференциал n-го порядка в предположении, что все частные производные n-го порядка непрерывны в точке М:

3.4. Формула Тейлора для функции многих переменных

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть функция z = f(x, y) имеет в окрестности точки M0(х0, y0) непрерывные производные до n-ого порядка включительно. Тогда для любой точки M(х, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

φ(0) = f(х0, y0), φ(1) = f(х0+ x, y0+ y).

Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим

33

По индукции получим, что

Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа:

Замечание 3.1. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с остатком в форме Пеано:

34

4.НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

4.1.Неявные функции одной переменной

Предположим, что значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое в общем случае имеет вид

Здесь F(x, y) – функция двух переменных, заданная в какой-либо области на плоскости. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (4.1), будем называть графиком уравнения.

Если для каждого значения х из некоторого промежутка существует одно или несколько значений у, которые совместно с х удовлетворяют уравнению (4.1), то этим определяется однозначная или многозначная функция y = f(x), для которой равенство F(x, f(x)) = 0 выполняется тождественно относительно х.

Рассмотрим, например, уравнение

Его графиком является окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Решая это уравнение относительно у, получим двузначную функцию от х

y 1 x2 .

При этом в прямоугольнике П1 = {(х, у): – 1 х 1; 0 у 1} урав-

y 1 х2 (рис. 4.1).

В приведенном примере удалось найти простое аналитическое выражение у через х. В общем случае это удается не всегда.

Функция y = f(x) называется неявной, если она задана при помощи неразрешенного относительно у уравнения (4.1). Она становится явной, если рассматривается непосредственная зависимость у от х.

Сейчас нас будет интересовать лишь вопрос о существовании и свойствах неявной функции независимо от возможности представить ее в явном виде аналитической формулой.

35

Рис. 4.1. График уравнения х2 + у2 – 1 = 0

Обратимся к геометрической трактовке рассматриваемого вопроса о неявной функции. При определенных условиях графиком уравнения (4.1) является некоторая кривая на плоскости. Может ли эта кривая (или ее часть) быть выражена уравнением вида y = f(x), где f(x) – однозначная функция? Геометрически это означает, что кривая (или ее часть) пересекается прямой, параллельной оси Оу, лишь в одной точке.

Как видно на рассмотренном выше примере окружности, чтобы выделить однозначную функцию, нужно ограничить не только область изменения х, но и область изменения у. Нас будет интересовать вопрос о существовании и свойствах неявной функции в окрестности некоторой точки (х0, у0), лежащей на графике уравнения (4.1).

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть выполнены следующие условия:

1)функция F(x, y) имеет в окрестности точки (х0, у0) непрерывные частные производные Fх(x, y) и Fу(x, y);

2)производная Fу(x0, y0) 0;

3)F(x0, y0) = 0.

Тогда существует прямоугольник

К= {(х, у): х0 – а х х0 + а; у0 – b у у0 + b},

вкотором уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от х. Функция y = f(x) непрерывно дифференцируема на интервале

(х0 – а, х0 + а) и

36

df Fx (x, f (x)) . dx Fy (x, f (x))

Замечание 4.1. Если известно, что уравнение F(x, y) = 0 определяет в некотором прямоугольнике переменную у как неявную функцию от х, то связь между dx и dy можно установить, формально дифференцируя тождество F(x, f(x)) = 0:

dF(x, y) Fxdx Fydy 0 .

Отсюда получаем выражение для производной

dy Fx . dx Fy

4.2. Неявные функции от нескольких переменных

Аналогично уравнению (4.1) можно рассматривать уравнение с большим числом переменных

При определенных условиях этим определением u определяется как неявная функция от m переменных:

u = f(x1, x2, …, xm).

Если подставить ее вместо u в уравнение (4.3), то получим, что

F(x1, x2, … xm, f(x1, x2, … xm)) = 0

тождественно относительно x1, x2, …, xm.

В рассматриваемом случае имеет место теорема, аналогичная теореме 4.1. Сформулируем ее для случая неявной функции от двух переменных.

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть выполнены следующие условия:

1)функция F(x, y, z) имеет в окрестности точки (х0, у0, z0) непрерывные частные производные Fх(x, y, z), Fу(x, y, z), Fz(x, y, z);

2)производная Fz(x0, y0, z0) 0;

3)F(x0, y0, z0) = 0.

z = f(x, y) непрерывна по совокупности своих аргументов и имеет непрерывные частные производные

37

Замечание 4.2. Если известно, что уравнение F(x, y, z) = 0 определяет в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0) переменную z как неявную функцию от х, y, то выражения для частных производных этой функции можно получить, формально продифференцировав тождество

F(x, y, f(x, y)) = 0;

dF(x, y, f (x, y)) Fxdx Fydy Fz dz 0 .

Отсюда получим

С другой стороны,

dz xz dx yz dy .

Так как dx и dy – произвольные приращения, то

z Fx ; z Fy .

x Fz y Fz

38

5. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1. Локальные экстремумы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Пусть функция u = f(х1, х2, … хm) определена в области G Rm. Точка М0 G называется точкой локального

максимума (минимума) функции f(М), если найдется такая - окрестность точки М0, что для всех точек М, принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство

f(М) – f(М0) 0 ( 0).

Пример 5.1. Функция z = x2 + y2 ≥ 0 для любых значений переменных х и у, причем z = 0 в точке (0, 0) (рис. 5.1). Точка (0, 0) удовлетворяет определению локального минимума функции.

z

y

x

Рис. 5.1. График функции z = x2 + y2

ТЕОРЕМА 5.1 (Необходимое условие экстремума). Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная производная по ка- кой-либо переменной, то эта производная равна нулю.

Доказательство. Проведем доказательство теоремы для функции двух переменных f(x, y). Пусть М0(х0, у0) – ее точка локального экс-

тремума. Пусть существует, например, f (x0 , y0 ) . Введем вспомога-

x

тельную функцию

(x) = f(x, у0).

39

Точка х0 является ее точкой экстремума, следовательно, по теореме Ферма,

(x0 ) f (x0x, y0 ) 0 ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Если в точке экстремума М0 функция f(М) дифференцируема, то

df(М0) = 0.

Замечание. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) = 0, то М0 называется стационарной точкой. Точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Но не всякая стационарная точка будет точкой экстремума.

Пример 5.2. Рассмотрим функцию z = xy.

z

y

О

x

Рис. 5.2. График функции z = xy

Найдем стационарные точки функции, вычислив частные производные и приравняв их нулю:

z y 0 , z x 0 .

x y

Итак (0, 0) – стационарная точка. Попробуем убедиться исходя из определения, что она не является точкой экстремума.

Возьмем произвольное > 0. Точки ( , ) и ( , – ) лежат внутри круга радиусом 2 и

40