Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

Министерство просвещения Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «Московский педагогический государственный университет»

М. Е. Чанга

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ: УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

Учебное пособие

2-е издание, стереотипное электронное

МПГУ Москва • 2024

УДК 511.5(075.8) ББК 22.133я73 Ч-18

Рецензенты:

В.Г. Чирский, доктор физико-математически хнаук, профессор, заведующий кафедройтеории чисел Института математики и информатики МПГУ

Г.П. Емгушева,кандидатфизико-математически хнаук, доцент, доценткафедры высшей математики МИИГАиК

Чанга, Марис Евгеньевич.

Ч-18 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля: учебное пособие /

М. Е. Чанга. – 2-е изд., стер. электрон. – Москва: МПГУ, 2024. – 56 с.

– Текст: электронный.

ISBN 978-5-4263-0930-2

Учебное пособие посвящено одному из разделов теории диофантовых уравне- ний, а именно теории уравнений Пелля. Содержит современное и систематическое изложение теоретического материала, включающее новые авторские результаты. Снабжено задачами для самостоятельного решения, что позволяет студентам отра- батыватьтакже практические навыки.

Учебное пособие подготовлено по дисциплине «Диофантовы уравнения» в со- ответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования для бакалавров, обучающихся по направлению «Математика», профиль подготовки «Преподавание математики и информатики» (01.03.01).

4Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Введение

Обобщенным уравнением Пелля называется диофантово уравнение вида x2 − Dy2 = C, где D и C – заданные целые числа, а x и y также целые, но неизвестные числа. Существенной особенностью уравнений Пелля, на которой строится вся их теория, является незнакоопределенность квадратичной формы в левой части уравнения. Иными словами, D всегда будет нами считаться натуральным числом. В правой же части может стоять любое целое число, однако мы будем считать, что C не равно нулю, так как в противном случае решения легко находятся. Случай C = 1, как мы увидим, является особым, а соответствующее ему уравнение называется классическим уравнением Пелля —

оно рассматривалось еще в работах Пьера Ферма. Пару целых чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению Пелля, мы будем называть решением уравнения. Если хотя бы одно из чисел x или y равно нулю, то такое решение назовем тривиальным. Все тривиальные решения легко найти, полагая одну из неизвестных равной нулю. Если как x, так и y, являются натуральными числами, то такое решение назовем положительным. Так как неизвестные входят в уравнение Пелля

во второй степени, то достаточно найти только положительные его решения. Каждое из них дает четыре решения (x; y), (−x; y), (x; −y), (−x; −y) в целых числах и, добавляя тривиальные решения, мы получим все множество решений уравнения Пелля.

Если D является квадратом натурального числа, то решения соответствующего уравнения также легко находятся. Действительно, пусть D = d2, тогда левая часть уравнения после разложения на множители примет вид (x+dy)(x−dy), причем обе скобки будут целыми числами. Остается перебрать все делители C с учетом их знака и найти x и y, решив систему линейных уравнений. В частности, в случае C = 1 уравнение имеет только тривиальные решения (±1; 0).

Итак, мы будем решать следующую задачу: найти все положительные решения уравнения x2 − Dy2 = C, где D — натуральное число, не являющееся полным квадратом, а C — целое число, не равное нулю.

Рассмотрению тех или иных аспектов этой задачи и ее частных случаев посвящена довольно обширная литература [1-7]. Однако, достаточно полного и последовательного изложения теории урав-

6Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

нений Пелля не имеется, и настоящее пособие призвано восполнить этот пробел. Кроме того, в доступной литературе, как правило, излагается подход к решению уравнения Пелля, использующий теорию цепных дробей. Хотя этот подход в некоторых отношениях приводит к существенной экономии времени (в основном, позволяя отказаться от перебора при нахождении наименьшего решения), но при этом он требует специальной подготовки, а именно владения аппаратом цепных дробей в достаточном объеме. Здесь же мы предлагаем элементарный подход, не использующий цепные дроби, и при этом позволяющий охватить теорию уравнений Пелля во всей ее полноте и прозрачности.

Мы будем использовать стандартные теоретикочисловые обозначения. Например, запись d | n при натуральном d и целом n означает, что d делит n, то есть существует целое q такое, что n = dq, а запись n ≡ m(mod k) означает, что n и m сравнимы по модулю k, то есть k | n − m.

§1. Вспомогательные утверждения

Вэтом параграфе мы докажем несколько вспомогательных утверждений, нужных нам в дальнейшем.

При построении теории уравнений Пелля боль-

√

шую роль будут играть двучлены вида x + y D с целыми коэффициентами x и y. Оказывается, если D не является полным квадратом, то величины этих двучленов взаимно однозначно соответствуют парам (x; y) целых чисел.

целые, то x1 = x2 и y1 = y2.

Доказательство. Предположим, что y1 ≠ y2.

где m и n — взаимно простые натуральные числа. Таким образом, m2 = Dn2 и, следовательно, D | m2. С другой стороны, из того же равенства в силу взаимной простоты m и n имеем m2 | D. Значит D = m2 (а n = 1), что приводит нас к противоречию. Заключаем, что y1 = y2, откуда немедленно следует, что x1 = x2.

8Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

√ Заметим, что мы доказали иррациональность D в случае, когда D не является полным квадратом. В силу установленного леммой 1 взаимно однозначного соответствия, мы иногда будем называть решением не только пару целых√чисел

(x; y), но и соответствующий двучлен x + y D. Легко видеть, что произведение таких двучле-

нов снова будет двучленом того же вида.

Лемма 2. Пусть D — натуральное число,

не являющееся полным квадратом. Тогда множе-

√

ство двучленов x+y D с целыми x и y замкнуто

относительно умножения. При этом если

√ √ √

(x1 + y1 D)(x2 + y2 D) = A + B D;

(x1 − y1 D)(x2 − y2 D) = A − B D:

Доказательство. Замкнутость относительно умножения проверяется непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных сла-

гаемых. При этом получим

√

(x1x2 + Dy1y2) + (x1y2 + y1x2) D;

и коэффициенты этого двучлена очевидно являются целыми. Из леммы 1 следует, что A = x1x2 +

Dy1y2 и B = x1y2 + y1x2. Теперь, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые в левой части второго равенства, убеждаемся и в его справедливости.

√√

Двучлены x + y D и x − y D будем называть сопряженными. Лемма 2 позволяет заменять все двучлены в равенстве сопряженными, причем равенство при таком преобразовании сохраняется.

Лемма 3. Пусть (x1; y1) и (x2; y2) — неотрицательные (но не обязательно целые!) решения уравнения x2 −Dy2 = C. Тогда следующие условия равносильны:

1) x1 < x2,

ем x21 = Dy12 + C < Dy22 + C = x22, откуда в силу неотрицательности x1 и x2 получаем условие 1).

Аналогично из условия 1) следует условие 2). Из условий 1) и 2) очевидно следует условие 3). Если же условие 3) выполнено и при этом, например, x1 > x2, а значит и y1 > y2, то это приводит нас к противоречию.

Из доказательства видно, что можно заменить знак < во всех трех условиях на >, 6, > или =,

10 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

причем их равносильность сохранится. В случае нетривиальной разрешимости уравнения Пелля лемма 3 позволяет говорить о его наименьшем положительном решении, не уточняя в смысле какого именно из трех условий это решение будет наименьшим.

Следующее важное утверждение дает критерий положительности решения.

Лемма 4. Пусть (x; y) — решение (не обязательно целое!) уравнения x2 − Dy2 = C. Тогда x и y положительны в том и только в том случае,

если √ √

x + y D > |C|:

Доказательство. Если x и y положительны, то, раскладывая левую часть уравнения на множители, имеем

√ √ √

|C| = (x + y D)|x − y D| < (x + y D)2;

откуда получаем требуемое. √

√

Обратно, если x + y D > |C|, находим

√ |C| √ √

|x − y D| = √ < |C| < x + y D; x + y D

что возможно лишь при положительных x и y.