Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

поэтому, перенося его влево и вычисляя оставшийся табличный интеграл, получим

Подставляя найденное значение интеграла в первое равенство этого абзаца, находим для площади рассматриваемой области выражение

Оценим ошибку, возникающую при замене числа точек с натуральными координатами, лежащих в области, ограниченной осью абсцисс, прямой yx = xy и гиперболой x2 − Dy2 = Z, на площадь S этой области. Разобьем координатную плоскость на квадратные клетки единичной площади с вершинами в целых точках. Тогда упомянутое число точек будет равно площади ступенчатой фигуры, состоящей из тех клеток, правый верхний угол которых принадлежит рассматриваемой области. Очевидно, разность площадей области и ступен-

42 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

чатой фигуры по абсолютной величине не превосходит числа клеток координатной плоскости, пересекаемых границей области, за исключением отрезка оси абсцисс. Поскольку угловой коэффициент y =x нашей прямой меньше единицы, то количество√пересекаемых ее отрезком клеток не больше 2x Z. Действительно, на каждом единичном промежутке по оси абсцисс прямая пересечет не больше двух клеток. С другой стороны, коли-

при y 6 y √Z ограничена не зависящей от Z величиной Dy =x , а значит на каждом единичном отрезке по оси ординат гипербола также пересечет не больше соответствующего фиксированного числа клеток координатной плоскости.

Коэффициент при Z в главном члене как раз и представляет собой среднее количество серий решений уравнения x2 −Dy2 = C при заданном D. В точности та же формула справедлива и при суммировании по отрицательным значениям C, что доказывается совершенно аналогично.

§ 7. Неопределенные квадратичные формы

Выражение ax2 + bxy + cy2 называется квадратичной формой, а число D = b2 − 4ac называется ее дискриминантом. Квадратичная форма с положительным дискриминантом называется неопределенной, так как принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Нас будут интересовать представления заданного ненулевого целого числа N квадратичной формой с целыми коэффициентами a, b, c, то есть решения уравнения ax2 + bxy + cy2 = N в целых x и y. Наряду с парой (x; y) решением этого уравнения будет и пара (−x; −y), поэтому достаточно найти только решения с неотрицательными y.

Если дискриминант является полным квадратом, то квадратичная форма раскладывается в произведение двух линейных форм с рациональными коэффициентами, и задача разыскания представлений заданного числа формой сводится к перебору делителей и решению систем линейных уравнений. Если же дискриминант не является полным квадратом, то задача сводится к обобщенному уравнению Пелля.

44 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Итак, пусть D — натуральное число, не являющееся полным квадратом. В этом случае a ≠ 0, и уравнение ax2 + bxy + cy2 = N равносильно урав-

нению

(2ax + by)2 − Dy2 = 4aN:

Таким образом, каждому представлению числа N квадратичной формой соответствует решение уравнения Пелля u2 − Dy2 = 4aN, и если это уравнение не имеет решений, то число N не представимо рассматриваемой формой. Однако, не каждому решению указанного уравнения соответствует представление числа N квадратичной формой, так как x = (u − by)=2a не обязано быть целым числом. К счастью, достаточно проверить это лишь для одного решения из каждой серии, и к доказательству этого факта мы сейчас переходим.

Лемма 7. Пусть уравнение x2 − Dy2 = C допускает серию решений (xn; yn), где n пробегает натуральные числа, и пусть имеет место сравнение D ≡ t2(mod m) с некоторым целым t и натуральным m. Тогда сравнения xn ≡ tyn(mod m) либо выполнены для всех натуральных n, либо не выполнены ни для одного из них.

Доказательство. Из соотношений (1), связыва-

ющих последовательные решения серии, получаем xn+1 − tyn+1 = x (xn − tyn) + y (Dyn − txn);

то есть, с учетом условия леммы,

xn+1 − tyn+1 ≡ (x − ty )(xn − tyn) (mod m):

Умножая обе части сравнения на x + ty , найдем

xn − tyn ≡ (x + ty )(xn+1 − tyn+1) (mod m);

поскольку x2 − t2y2 ≡ x2 − Dy2(mod m), а последнее выражение в точности равно единице. Таким

образом, сравнения xn ≡ tyn(mod m) и xn+1 ≡ tyn+1(mod m) равносильны, что и завершает доказательство.

Теперь мы готовы к доказательству основного результата настоящего параграфа.

Теорема 8. Для каждого базового решения (u1; y1) уравнения u2 − Dy2 = 4aN, удовлетворяющего сравнению u1 ≡ by1(mod 2|a|), уравнение ax2 + bxy + cy2 = N допускает серию решений с неотрицательными значениями y, вычисляемых

по рекуррентной формуле

{

xn+1 = (x − by ) xn − 2cy yn yn+1 = 2ay xn + (x + by ) yn;

46 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

где x1 = (u1 − by1)=2a, а (x ; y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1. Кроме того, для каждого базового решения (u1; y1) уравнения u2 − Dy2 = 4aN, удовлетворяющего сравнению u1 ≡ −by1(mod 2|a|), уравнение ax2 + bxy + cy2 = N допускает серию решений с неотрицательными значениями y, вычисляемых по ре-

куррентной формуле

{

xn+1 = (x + by ) xn + 2cy yn yn+1 = −2ay xn + (x − by ) yn;

где x1 = −(u1 + by1)=2a. Других решений с неотрицательными значениями y уравнение ax2 + bxy + cy2 = N не имеет, за исключением решений, соответствующих возможным тривиальным решениям уравнения u2 − Dy2 = 4aN.

Доказательство. Как мы видели, уравнение ax2 +bxy +cy2 = N равносильно уравнению (2ax+ by)2 −Dy2 = 4aN. Таким образом, для того, чтобы найти все решения первого уравнения с неотрицательными значениями y, нужно найти все решения обобщенного уравнения Пелля u2 − Dy2 = 4aN с неотрицательными значениями y и выбрать среди них те, для которых x = (u − by)=2a будет целым числом. Проверка тривиальных решений не пред-

ставляет затруднений, поэтому рассмотрим нетривиальные решения уравнения Пелля.

В силу теоремы 3 положительные решения обобщенного уравнения Пелля образуют непересекающиеся серии, начальными решениями которых являются его базовые решения. Пусть (un; yn), где n пробегает натуральные числа, является одной из таких серий. Согласно лемме 7 числа xn = (un − byn)=2a будут целыми при всех n если выполнено сравнение u1 ≡ by1(mod 2|a|), в противном случае xn не будут целыми ни при каких n. Итак, если это сравнение не имеет места, то рассматриваемой серии не соответствует никаких решений исходного уравнения. Если же сравнение u1 ≡ by1(mod 2|a|) справедливо, то, напротив, каждому решению серии соответствует решение исходного уравнения. Связь между последователь-

ными решениями серии задается соотношениями

{

un+1 = x un + Dy yn yn+1 = y un + x yn;

где (x ; y ) — наименьшее положительное решение x2 − Dy2 = 1. Выражая xn+1 через un+1 и yn+1, а un через xn и yn, получим связывающую решения (xn+1; yn+1) и (xn; yn) рекуррентную формулу, которая приведена в условии теоремы.

48 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Наше уравнение Пелля допускает также серию решений (−un; yn) с неотрицательными значениями y. В этом случае 2axn + byn = −un и, следовательно, xn = −(un + byn)=2a. Снова пользуясь леммой 7, мы видим, что эта серия либо дает целые значения xn при всех n, либо не дает ни одного целого значения xn, в зависимости от того, выполнено или нет сравнение u1 ≡ −by1(mod 2|a|). Если последнее сравнение выполнено, то мы имеем серию решений (xn; yn) исходного уравнения, связанных между собой второй рекуррентной формулой из условия теоремы, которая выводится аналогично предыдущему.

Итак, чтобы найти все представления заданного ненулевого целого числа N квадратичной формой ax2 + bxy + cy2 с неотрицательными значениями y, нужно рассмотреть обобщенное уравнение Пелля u2 −Dy2 = 4aN. Если это уравнение не имеет решений, то число N не представимо формой ax2 + bxy + cy2. Если уравнение Пелля имеет решения, то необходимо найти все его базовые решения, удовлетворяющие сравнению u ≡ by(mod2|a|) или u ≡ −by(mod 2|a|) или обоим сравнениям сразу, а затем выписать соответствующие серии решений, пользуясь формулами теоремы 8. При этом

нужно не забыть добавить решения, соответствующие тривиальным решениям уравнения Пелля при их наличии.

Пример 9. Решить уравнение 3x2 + 9xy + + 4y2 = 1.

Вычисляя дискриминант, найдем D = 92 − 4 · 3 · 4 = 33. Поскольку D = 62 − 3 и 3 | 2 · 6, то в силу теоремы 4 имеем x = 23, y = 4. Рассмотрим теперь обобщенное уравнение Пелля u2−33y2 = 4·3·1 и найдем его базовые решения. Для этого, соглас-

но условиям (2), нужно перебрать по возрастанию

√

натуральные значения y, не превосходящие 4 12. Выполняя перебор, находим единственное базовое решение (12; 2), причем для него выполнены оба сравнения 12 ≡ ± 9 · 2(mod 6). Первая рекуррент-

ная формула теоремы 8 примет вид

{

xn+1 = (23 − 9 · 4) xn −2 · 4 · 4 yn = −13xn −32yn yn+1 = 2 · 3 · 4 xn + (23 + 9 · 4) yn = 24xn + 59yn;

где x1 = (12−9·2)=6 = −1, y1 = 2. Таким образом, первая серия решений рассматриваемого уравнения есть

(−1; 2) → (−51; 94) → (−2345; 4322) → : : :

50 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Аналогично, записывая вторую рекуррентную формулу {

xn+1 = 59xn + 32yn yn+1 = −24xn − 13yn;

где x1 = −(12 + 9 · 2)=6 = −5 и y1 = 2, получаем еще одну серию решений

(−5; 2) → (−231; 94) → (−10621; 4322) → : : :

Других решений с неотрицательными значениями y рассматриваемое уравнение не имеет.

В том случае когда второй коэффициент квадратичной формы является четным, при выделении полного квадрата нет необходимости в умножении на 4, что приводит к упрощению формул и существенной экономии вычислительной работы. Пусть b = 2b1, где b1 также целое число, и пусть D1 = b21 − ac.

Теорема 9. Для каждого базового решения (u1; y1) уравнения u2 − D1y2 = aN, удовлетворяющего сравнению u1 ≡ b1y1(mod |a|), уравнение ax2 + bxy + cy2 = N допускает серию решений с неотрицательными значениями y, вычисляемых