Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

Разрешимость классического уравнения Пелля 21

Рассортируем теперь члены построенной подпоследовательности пар (xn; yn) по классам в зависимости от значений xn и yn по модулю |k|. В один класс попадут те пары, у которых соответствующие компоненты сравнимы по модулю |k|. Таких классов будет k2, так как для каждой из двух компонент есть |k| различных вариантов остатков от деления на |k|. Так как число классов конечно, по крайней мере один из классов будет содержать более одной пары (xn; yn). Итак, мы нашли две различных пары натуральных чисел (x; y) и (X; Y ) такие, что

x2 − Dy2 = X2 − DY 2 = k;

x ≡ X(mod |k|); y ≡ Y (mod |k|):

выражению с помощью леммы 2 и перемножая полученные равенства, найдем

A2 − DB2 = (x2 − Dy2)(X2 − DY 2) = k2:

При этом в силу леммы 2 имеем

A = xX − DyY ≡ X2 − DY 2 ≡ 0(mod |k|); B = yX − xY ≡ Y X − XY ≡ 0(mod |k|);

22 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

то есть как A, так и B кратны |k|. Обозначая A = a|k| и B = b|k|, получим a2 − Db2 = 1, а значит (a; b) — решение интересующего нас уравнения Пелля в целых числах.

Осталось убедиться, что полученное решение нетривиально. Предположим, что B = 0, а A, соответственно, равно k или −k. Умножая обе части равенства

В силу леммы 1 это означает, что пары (x; y) и (X; Y ) либо совпадают, либо противоположны. Однако оба случая невозможны, так как по построению (x; y) и (X; Y ) суть различные пары натуральных чисел. Полученное противоречие завершает доказательство.

§ 4. Решения обобщенного уравнения Пелля

Обобщенное уравнение Пелля имеет вид x2 − Dy2 = C, где параметр C — целое число, отличное от нуля и единицы. В этом параграфе мы выясним структуру множества решений этого уравнения. Докажем вначале вспомогательное утверждение.

Лемма 6. Пусть (x; y) — неотрицательное решение (не обязательно целое!) уравнения x2 − Dy2 = C, а (x ; y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1. Тогда неравенство

лым) уравнения x2−Dy2 = C, и искомое утверждение сразу следует из леммы 3.

в силу леммы 3 снова получим требуемое. Положительные решения обобщенного уравнения Пелля, удовлетворяющие условиям (2), будем называть базовыми. Как мы сейчас увидим, они играют в теории обобщенного уравнения Пелля клю-

чевую роль.

Теорема 3. Пусть (x ; y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1, а (xk; yk) — базовые решения уравнения x2 − Dy2 = C, где k = 1; : : : ; N. Тогда положительными решениями уравнения x2 − Dy2 = C являются выражения

√√

(xk + yk D)(x + y D)n−1;

где n — натуральное число, k = 1; : : : ; N, и только они. Если уравнение x2 − Dy2 = C не имеет базовых решений, то оно неразрешимо в целых числах.

Доказательство. Проверим вначале, что приведенные в формулировке теоремы выражения яв-

ляются решениями. Пусть

√ √ √

x + y D = (xk + yk D)(x + y D)n−1;

тогда, переходя к сопряженным двучленам с помощью леммы 2 и перемножая оба равенства, получим

x2 − Dy2 = (x2k − Dyk2)(x2 − Dy2)n−1 = C:

Пусть теперь (x; y) — произвольное положи-

Умножая эти неравенства на положительное число

√

Обозначая

√ √ √

A + B D = (x + y D)(x − y D)n−1;

26 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

перемножим это равенство с сопряженным к нему, и получим

A2 − DB2 = (x2 − Dy2)(x2 − Dy2)n−1 = C;

то есть (A; B) является решением уравнения x2 −

Dy2 = C. При этом имеют место неравенства

√ √ √ √

|C| < A + B D 6 (x + y D) |C|;

а значит, в силу лемм 4 и 6 это решение будет базовым, то есть (A; B) = (xk; yk) при некотором

√

откуда, умножая на (x + y D)n−1, найдем

√ √ √

x + y D = (xk + yk D)(x + y D)n−1:

Отметим, что базовое решение для данного (x; y) определяется единственным образом.

Если уравнение x2 − Dy2 = C не имеет базовых решений, то оно не может иметь положительных решений по доказанному выше. Допустим, что наше уравнение имеет тривиальное решение (то есть либо x, либо y равны нулю). Непосредственной проверкой легко убедиться, что при умножении

тривиального решения на x + y D получается базовое решение, а это невозможно. Следовательно, при отсутствии базовых решений уравнение x2 − Dy2 = C неразрешимо в целых числах. Таким образом, в случае разрешимости обобщенного уравнения Пелля его решения образуют серии, начинающиеся с базовых решений. Так как базовое решение однозначно восстанавливается по любому решению серии, то серии не пересекаются между собой, и количество серий равно количеству базовых решений. Переход от предыдущего

решения серии к следующему в терминах двучле-

√

нов происходит при умножении на x + y D, поэтому в терминах пар он совершается при помощи тех же самых рекуррентных формул (1), что и для классического уравнения Пелля.

Итак, для решения обобщенного уравнения Пелля необходимо найти наименьшее решение соответствующего классического уравнения Пелля, чтобы записать условия (2). Перебирая все натуральные значения y, удовлетворяющие условиям (2), находим все базовые решения либо убеждаемся в их отсутствии. В последнем случае обобщенное уравнение Пелля не имеет решений. Если же базовые решения найдены, нужно записать рекуррентные

28 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

формулы (1), и найти с их помощью столько решений в каждой серии, сколько требуется.

Пример 2. Решить уравнение x2 − 2y2 = −5.

При решении примера 1 мы нашли, что (x ; y )

= (3; 2). Так как C = −5 — отрицательное число,

√ √

то условие (2) запишется в виде y 6 3 5= 2, то есть достаточно перебрать значения y, не превосходящие четырех. Ни одно из этих значений не дает нам целочисленного решения, следовательно, уравнение не имеет базовых решений, а значит неразрешимо в целых числах.

Пример 3. Решить уравнение x2 − 2y2 = 7.

Так как C = 7 — положительное число, то усло-

√

вие (2) примет вид y 6 2 7. Перебирая значения y, не превосходящие пяти, найдем два базовых решения (3; 1) и (5; 3), то есть уравнение имеет две

серии решений. Рекуррентные формулы

{

xn+1 = 3xn + 4yn yn+1 = 2xn + 3yn

уже были нами выписаны при решении примера 1. Применяя их по нескольку раз к каждому из базовых решений, получим первые решения искомых

(3; 1) → (13; 9) → (75; 53) →

→ (437; 309) → (2547; 1801) → : : :

и

(5; 3) → (27; 19) → (157; 111) →

→ (915; 647) → (5333; 3771) → : : :

30Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

§5. Приемы нахождения наименьшего решения

Наиболее узким местом алгоритма решения уравнения Пелля является поиск наименьшего решения (x ; y ), который осуществляется простым перебором значений y. С помощью теории цепных дробей эта проблема получает изящное решение, однако в некоторых случаях удается найти наименьшее решение элементарными методами. Таким приемам нахождения наименьшего решения и посвящен настоящий параграф.

Теорема 4. Пусть D = a2 ±b, где a; b — натуральные числа такие, что b | 2a, причем D тоже натуральное число. Тогда наименьшим положительным решением уравнения x2 −Dy2 = 1 будет

исключая случай D = a2 − 1, в котором x = a, y = 1.

Доказательство. Непосредственной проверкой убеждаемся, что приведенная пара натуральных чисел X = ± 1, Y = 2ba является решением уравнения x2 −Dy2 = 1. Допустим, это решение не