Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

§ 2. Решения классического уравнения Пелля

Классическое уравнение Пелля имеет вид x2 − Dy2 = 1 и всегда допускает тривиальные решения (±1; 0). В рассматриваемом нами случае, когда D не является полным квадратом, классическое уравнение Пелля всегда имеет также нетривиальные решения, что будет доказано в следующем параграфе. Здесь же, предполагая нетривиальную разрешимость уравнения, мы выясним структуру его множества решений. Здесь и далее (x ; y ) будет обозначать наименьшее положительное решение

уравнения x2 − Dy2 = 1.

Теорема 1. Пусть (x ; y ) — наименьшее положительное решение уравнения Пелля x2 −Dy2 = 1. Тогда положительными решениями уравнения x2 − Dy2 = 1 являются выражения

√ √

xn + yn D = (x + y D)n;

где n — натуральное число, и только они.

Доказательство. Проверим вначале, что при любом натуральном n формула теоремы дает решение уравнения Пелля. Переходя в этом равенстве к сопряженным двучленам (см. лемму 2) и за-

12 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

тем перемножая оба равенства, получим

√√

x2n − Dyn2√= (xn + yn D√)(xn − yn D) =

= (x + y D)n(x − y D)n = (x2 − Dy2)n = 1:

Пусть теперь (x; y) — произвольное положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1. В силу

лемм 3 и 4 имеем

x + y√D > x + y √D > 1:

Таким образом, существует натуральное число n

такое, что

√ √ √

(x + y D)n 6 x + y D < (x + y D)n+1:

Если имеет место равенство, то теорема доказана. Теперь предположим, что имеет место строгое

неравенство. В этом случае, домножая последнее

√

выражение на (x − y D)n (это положительное

число, так как x2 − Dy2 = 1), найдем

√ √ √

1 < (x + y D)(x − y D)n < x + y D:

Обозначим

√ √ √

A + B D = (x + y D)(x − y D)n;

откуда в силу леммы 2

√ √ √

A − B D = (x − y D)(x + y D)n;

A2 − DB2 = (x2 − Dy2)(x2 − Dy2)n = 1:

Таким образом, (A; B) является решением уравне-

ния Пелля. При этом в силу леммы 4 это положи-

√

тельное решение, так как A+B D > 1, а по лемме

Таким образом, классическое уравнение Пелля имеет бесконечно много решений (xn; yn). Из теоремы 1 легко получить явные формулы для них.

√

Доказательство. Теорема 1 дает xn + yn D =

√

(x + y D)n, а переходя к сопряженным находим

√ √

xn − yn D = (x − y D)n. Складывая эти равен-

√

ства, получим 2xn, а вычитая их, получим 2yn D.

14 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

√

Как мы видели, x + y D > 1, соответственно,

√

x − y D < 1 (так как x2 − Dy2 = 1), поэтому вторые слагаемые в явных формулах следствия 1 стремятся к нулю с ростом n. Таким образом, при больших n последовательности {xn} и {yn} ведут

кD.

Однако на практике гораздо более удобна рекуррентная формула, позволяющая находить следующее решение по известному предыдущему.

Следствие 2. В условиях теоремы 1 справед-

ливы равенства

{

xn+1 = x xn + Dy yn

(1)

yn+1 = y xn + x yn;

где n — натуральное число, и (x1; y1) = (x ; y ).

Доказательство. Из теоремы 1 имеем

= (x + y D)(xn + yn D);

откуда, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые (см. леммы 1 и 2), получим требуемое.

Можно также получить рекуррентное соотношение, содержащее только последовательность {xn} или только последовательность {yn}. Это будет рекуррентное соотношение второго порядка, причем оно оказывается одинаковым для обеих последовательностей, а его коэффициенты зависят лишь от x .

Следствие 3. В условиях теоремы 1 справедливы равенства

xn+2 − 2x xn+1 + xn = 0;

где x1 = x , x2 = x2 + Dy2, и

yn+2 − 2x yn+1 + yn = 0;

где y1 = y , y2 = 2x y , а n — натуральное число.

Доказательство. Выражая yn из первого равенства в (1), имеем

yn = xn+1 − x xn : Dy

Подставляя это выражение и аналогичное ему выражение для yn+1 во второе равенство в (1), и домножая на Dy , найдем

xn+2 − x xn+1 = Dy2xn + x xn+1 − x2xn:

16 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Приводя подобные слагаемые и учитывая, что x2 − Dy2 = 1, получим требуемое. Аналогично, исключая xn из равенств (1), получим точно такое же рекуррентное соотношение для yn. Из следствия 3 легко видеть, что все yn кратны

y , y2n кратны 2x y , а x2n−1 кратны x .

Пример 1. Решить уравнение x2 − 2y2 = 1.

Перебирая значения y по возрастанию, начиная с единицы, убеждаемся, что наименьшим положительным решением нашего уравнения будет (x ; y ) = (3; 2). Запишем рекуррентные формулы

(1) для нашего случая (здесь D = 2)

{

xn+1 = 3xn + 4yn yn+1 = 2xn + 3yn:

Применив рекуррентные формулы несколько раз, получим несколько первых решений

(3; 2) → (17; 12) → (99; 70) →

→ (577; 408) → (3363; 2378) → : : :

Такую бесконечную последовательность решений, получающихся из начального решения применением рекуррентных формул (1), будем называть

серией решений. Теорема 1 утверждает, что классическое уравнение Пелля (в случае его нетривиальной разрешимости, которая будет доказана ниже) имеет ровно одну серию решений.

18Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

§3. Разрешимость классического уравнения Пелля

В этом параграфе мы докажем, что классическое уравнение Пелля всегда имеет нетривиальное решение, если только D не является полным квадратом. Нам потребуется вспомогательное утверждение, известное как теорема Дирихле о рациональном приближении.

Лемма 5. Пусть — иррациональное число,

— натуральное число. Тогда найдутся такие целые числа x и y, что

= xy + y ;

где 1 6 y 6 и | | < 1.

Доказательство. Рассмотрим + 1 чисел ·

0; ·1; : : : ; · . Их дробные части суть + 1 точек полуинтервала [0; 1). Разбивая этот полуинтервал на равных полуинтервалов длины 1 , мы видим, что по крайней мере один из этих полуинтервалов будет содержать две рассматриваемых точки.

Таким образом, найдутся целые числа m и n с условием 0 6 m < n 6 такие, что дробные частиm и n отличаются меньше чем на 1 . Обозначая

Разрешимость классического уравнения Пелля 19

через x разность целых частей n и m, а y = n − m, получим

| y − x| < 1;

что после деления на y дает требуемое. Теперь мы готовы к доказательству основной

теоремы этого параграфа.

Теорема 2. Пусть D — натуральное число, не являющееся полным квадратом. Тогда классическое уравнение Пелля x2 − Dy2 = 1 имеет нетривиальное решение.

Доказательство. Возьмем 1 = 1 и, пользуясь

деть, x1 также будет натуральным числом. Теперь выберем натуральное число 2 так, чтобы

Это всегда можно сделать, поскольку модуль в

правой части положителен в силу иррационально-

√

сти D. Из построения также видно, что 2 > 1. Снова пользуясь леммой 5, найдем натуральные

20 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

построим возрастающую последовательность натуральных чисел { n} и последовательность различных пар натуральных чисел {(xn; yn)} такие, что yn 6 n и

Таким образом, это выражение имеет лишь конечное множество значений, следовательно, x2n − Dyn2 принимает одно и то же значение для бесконечно многих значений n. Итак, существует целое число k такое, что x2n − Dyn2 = k для бесконечно многих

n. Отметим, что k не равно нулю в силу иррацио-

√

нальности D.