Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

будет наименьшим, тогда в силу теоремы 1 имеем

и из леммы 3 следует, что X > 2Dy2 + 1. В случае D = a2 + b это неравенство равносильно неравенству

которое невозможно, поскольку y — натуральное число. В случае же D = a2−b получим неравенство y 6 1b , которое возможно лишь при b = 1, что и завершает доказательство.

Пример 4. Найти наименьшее решение уравнения x2 − 78y2 = 1.

Поскольку 78 = 92 −3, причем 3 | 2·9, применяя теорему 4 с a = 9 и b = 3, получим x = 53, y = 6.

Хотя теорема 4 решает вопрос нахождения наименьшего решения для многих значений D, но все же далеко не для всех. Докажем еще одну теорему, которая может оказаться полезной в тех случаях, когда теорема 4 неприменима.

Теорема 5. Пусть (X; Y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = C,

32 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

причем 2XY и 2X2 кратны |C|. Кроме того, при

C > 0 пусть C не является полным квадратом

√

или пусть C - Y , а при C < 0 пусть D - C. Тогда наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = 1 будет

Доказательство. Пользуясь тем, что (X; Y ) — решение уравнения x2 − Dy2 = C, получим

то есть (A; B) — решение уравнения x2 − Dy2 = 1. Учитывая, что (X; Y ) — положительное решение

В силу теоремы 1 при некотором натуральном n

имеем √ √

A + B D = (x + y D)n:

Так как (X; Y ) является наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = C, оно

обязано быть его базовым решением, то есть в силу

√ √ √

леммы 6 имеем X + Y D 6 (x + y D) |C|. Таким образом, n может быть равно лишь 1 или 2. В случае n = 2, сравнивая свободные члены в левой и правой части последнего равенства, получим

2DY 2 + C = 2Dy2 + 1:

|C|

Если C положительно, имеем Y 2 = Cy2, что воз-

можно лишь в том случае, когда C является пол-

√

ным квадратом и C | Y , а это противоречит условию теоремы. Если же C отрицательно, мы приходим к равенству

D(Y 2 + Cy2) = −C;

которое влечет D | C, и мы снова приходим к противоречию. Следовательно, n = 1 и доказательство завершается.

Пример 5. Найти наименьшее решение уравнения x2 − 57y2 = 1.

34 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Перебирая натуральные значения y по возрастанию, находим, что наименьшим положительным решением уравнения x2 − 57y2 = −3 будет пара

(15; 2), причем 3 | 2 · 15 · 2, 3 | 2 · 152 и 57 - 3. Применяя теорему 5, находим

При некоторых значениях C условия теоремы 5 выполняются автоматически. Сформулируем эти частные случаи в виде следствий.

Следствие 4. Пусть (X; Y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = −1. Тогда наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = 1 будет

√√

x + y D = (X + Y D)2:

Пример 6. Найти наименьшее решение уравнения x2 − 74y2 = 1.

Перебирая натуральные значения y по возрастанию, находим, что наименьшим положительным решением уравнения x2 − 74y2 = −1 будет пара

то есть x = 3699, y = 430.

Следствие 5. Пусть (X; Y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 =

±2. Тогда наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = 1 будет

x + y √D = 12(X + Y √D)2;

исключая случай уравнения x2 − 2y2 = −2.

Пример 7. Найти наименьшее решение уравнения x2 − 59y2 = 1.

Перебирая натуральные значения y по возрастанию, находим, что наименьшим положительным

то есть x = 530, y = 69.

Докажем еще одно утверждение, которое носит более частный характер, однако имеет важное практическое значение.

Теорема 6. Пусть (X; Y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 4, причем X нечетно и D - X−2. Тогда наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = 1

36 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

будет

x + y √D = 18(X + Y √D)3:

Доказательство. Учитывая, что (X; Y ) является решением уравнения x2 − Dy2 = 4, имеем

A+ B√D = 18(X + Y √D)3 =

=X(X2 − 3) + Y (X2 − 1)√D; 2 2

и так как X нечетно, то A и B — целые числа. Умножая на сопряженное выражение, получим

A2 − DB2 = 641 (X2 − DY 2)3 = 1;

то есть (A; B) — решение уравнения x2 − Dy2 = 1. Пользуясь тем, что (X; Y ) — положительное реше-

ние уравнения x2 − Dy2 = 4, и применяя лемму 4,

√ √

находим X + Y D > 2, откуда A + B D > 1 и, следовательно, (A; B) — положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1. Таким образом, в силу теоремы 1 при некотором натуральном n имеем

√ √

A + B D = (x + y D)n:

Так как (X; Y ) является наименьшим положительным решением уравнения x2 − Dy2 = 4, оно

будет его базовым решением, то есть в силу леммы 6 получим X +Y √D 6 2(x +y √D). Следовательно, n может быть равно лишь 1, 2 или 3. В случае n = 3 имеем X = 2x , что противоречит условию нечетности X. Если же n = 2, то, сравнивая свободные члены в левой и правой части последнего равенства, получим

Пример 8. Найти наименьшее решение уравнения x2 − 77y2 = 1.

Перебирая натуральные значения y по возрастанию, находим, что наименьшим положительным решением уравнения x2 − 77y2 = 4 является пара (9; 1), причем 2 - 9 и 77 - 9 − 2. Применяя теорему

то есть x = 351, y = 40.

38Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

§6. Среднее количество серий решений

Впараграфах 2 и 3 было установлено, что классическое уравнение Пелля всегда имеет в точности одну серию решений. С другой стороны, в параграфе 4 мы видели, что обобщенное уравнение Пелля может как не иметь решений вообще, так и иметь более одной серии решений. Зафиксируем натуральное число D, не являющееся полным квадратом, и через N(C) обозначим количество серий решений уравнения x2 − Dy2 = C или, что то же самое, количество его базовых решений.

Анализируя доказательство теоремы 5 мы видим, что рассуждения остаются справедливыми не только для наименьшего, но и для любого базового решения. Поэтому в тех случаях, где условия теоремы 5 выполняются автоматически, а именно при C = −1; ±2, можно утверждать, что N(C) не превосходит единицы, то есть имеется не более одной серии решений.

К сожалению, про конкретные значения N(C) можно сказать не так уж много. Ведь функция N(C) может резко меняться при небольших изменениях аргумента, что вообще характерно

для теоретико-числовых функций. Однако ее сумматорная функция уже ведет себя вполне предсказуемо, допуская асимптотическую формулу, доказательство которой и является основной задачей настоящего параграфа.

Теорема 7. При Z → +∞ имеет место асимптотическая формула

где (x ; y ) — наименьшее положительное решение x2 − Dy2 = 1.

Доказательство. Базовые решения уравнения x2 − Dy2 = C суть в точности точки с натуральными координатами, лежащие на гиперболе x2 − Dy2 = C и притом не выше прямой yx = xy . В самом деле, как легко проверить, точка пересечения указанных гиперболы и прямой имеет координаты (x √C; y √C), поэтому условие y 6 y √C, выделяющее базовые решения, эквивалентно тому, что точка (x; y) гиперболы находится не выше указанной прямой. Таким образом, величина, стоящая в левой части асимптотической формулы в точности равна числу точек с натуральными координатами в области, ограниченной осью абсцисс, пря-