Диофантовы уравнения уравнения Пелля. Учебное пособие

где x1 = (u1 − b1y1)=a, а (x ; y ) — наименьшее положительное решение уравнения x2 −D1y2 = 1. Кроме того, для каждого базового решения (u1; y1)

ax2 + bxy + cy2 = N допускает серию решений с неотрицательными значениями y, вычисляемых

по рекуррентной формуле

{

xn+1 = (x + b1y ) xn + cy yn yn+1 = −ay xn + (x − b1y ) yn;

решений, соответствующих возможным тривиальным решениям уравнения u2 − D1y2 = aN.

Доказательство. Уравнение ax2 + bxy + cy2 =

N равносильно уравнению (ax + b1y)2 − D1y2 = aN, и дальше доказательство проводится полностью аналогично доказательству теоремы 8 с использованием леммы 7.

52 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Пример 10. Решить уравнение 3x2 + 10xy + 6y2 = 7.

Имеем b1 = 5 и D1 = 52 − 3 · 6 = 7. Поскольку D1 = 32 − 2 и 2 | 2 · 3, из теоремы 4 получа-

ем x = 8, y = 3. Рассмотрим уравнение Пелля u2 − 7y2 = 3 · 7 и найдем его базовые решения. Для

этого, согласно условиям (2), нужно перебрать на-

√

туральные значения y, не превосходящие 3 21, что дает нам два базовых решения (7; 2) и (14; 5). Для первого базового решения выполнено лишь сравнение 7 ≡ 5 · 2(mod 3), поэтому выписываем из

теоремы 9 первую рекуррентную формулу

{

xn+1 = (8 − 5 · 3) xn − 6 · 3 yn = −7xn − 18yn yn+1 = 3 · 3 xn + (8 + 5 · 3) yn = 9xn + 23yn;

где x1 = (7 − 5 · 2)=3 = −1, y1 = 2. Итак, первая серия решений имеет вид

(−1; 2) → (−29; 37) → (−463; 590) →

→ (−7379; 9403) → : : :

Для второго базового решения (14; 5) имеет место только сравнение 14 ≡ −5 · 5(mod 3), откуда, запи-

сывая вторую рекуррентную формулу

{

xn+1 = 23xn + 18yn yn+1 = −9xn − 7yn;

где x1 = −(14 + 5 · 5)=3 = −13 и y1 = 5, получаем вторую серию решений

(−13; 5) → (−209; 82) → (−3331; 1307) → : : :

Других решений с неотрицательными значениями y рассматриваемое уравнение не имеет.

54 Диофантовы уравнения: уравнения Пелля

Задачи

Задача 1. Решить уравнения

1)x2 − 10y2 = 1;

2)x2 − 38y2 = 1;

3)x2 − 18y2 = 1;

4)x2 − 30y2 = 1;

5)x2 − 42y2 = 1.

Задача 2. Решить уравнения

1)x2 − 39y2 = 10; x2 − 39y2 = 8;

2)x2 − 27y2 = 13; x2 − 27y2 = 5;

3)x2 − 12y2 = 23; x2 − 12y2 = 33;

4)x2 − 20y2 = 29; x2 − 20y2 = 27;

5)x2 − 32y2 = 11; x2 − 32y2 = 17.

Задача 3. Пользуясь теоремами §5, найти наименьшее положительное решение уравнения x2 − Dy2 = 1 при D, не превосходящих пятидесяти.

Задача 4. Решить уравнения

1)x2 + 7xy + 11y2 = −1;

2)2x2 + 10xy + 7y2 = 10;

3)3x2 + 12xy + 4y2 = 67;

4)x2 + 14xy + 7y2 = 39;

5)2x2 + 12xy + 3y2 = 17.

Литература

[1]Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. — М.: Наука, 1965. 176 с.

[2]Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. 384 с.

[3]Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. 63 с.

[4]Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. 416 с.

[5]Niven I., Zuckerman H. S., Montgomery H. L. An introduction to the theory of numbers. — New York: John Wiley & Sons, 1991. 529 p.

[6]Бугаенко В. О. Уравнение Пелля. — М.: МЦНМО, 2001. 32 с.

[7]Barbeau Е. J. Pell’s equation. — New York: Springer, 2003. 212 p.

Учебное издание

Чанга Марис Евгеньевич

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ: УРАВНЕНИЯ ПЕЛЛЯ

Учебное пособие

2-е издание, стереотипное электронное

Издается в авторской редакции

Московский педагогический государственный университет (МПГУ). 119991, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, стр. 1.

Управление издательской деятельности и инновационного проектирования (УИД и ИП) МПГУ.

119571, Москва, пр-т Вернадского, д. 88, оф. 446,

тел. +7 (499) 730-38-61, e-mail: izdat@mpgu.su.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии УИД и ИП МПГУ.

Формат 60х90/16.

Бум. офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 3,5. Тираж 500 экз. Заказ 1116.