Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Учебное пособие

Н. А. ПОПОВ

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Учебное пособие

Москва – 2015

Предисловие

Данное пособие предназначено для студентов педагогических вузов, изучающих классическую механику и классическую электродинамику в рамках курса «Основы теоретической физики», а также для преподавателей, читающих лекции и ведущих практические занятия по соответствующим дисциплинам. В пособии содержится около сорока задач, в которых рассматривается движение заряженных частиц в различных электрических и магнитных полях: в постоянных и однородных полях, в переменных синусоидальных полях, во вращающихся полях, в поле плоской электромагнитной волны. Рассмотрено влияние внешних электромагнитных полей и спин-орбитального взаимодействия на движение электрона в томсоновском атоме (пространственный осциллятор). Во многих задачах наряду с нерелятивистским обсуждается и релятивистское движение. Учтено влияние на движение сил трения. Рассмотрение ограничено рамками классической механики, специфические квантовые эффекты не рассматриваются. Задачи снабжены указаниями, ответами, а многие из них – довольно подробными решениями. Результаты, полученные при решении предлагаемых задач, могут быть использованы при обсуждении большого круга физических проблем (работа ускорителей заряженных частиц, циклотронный резонанс, эффект Зеемана, тонкая структура атомных спектров и других). Многие из рассмотренных в пособии задач достаточно сложны. Поэтому в учебном процессе пособие целесообразно использовать как дополнительный материал к лекционным курсам и семинарским занятиям, а также рекомендовать его студентам при выполнении ими курсовых и дипломных работ, при написании рефератов и магистерских диссертаций.

4

Условия задач

1. Найти закон движения r (t) частицы с зарядом q и мас-

сой m в постоянном однородном электрическом поле с напряженностью E . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

2. Найти закон движения r (t) частицы с зарядом q и мас-

сой m в однородном переменном электрическом поле с напряженностью E = E0 cos γ t . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

3. Найти закон движения r (t) частицы с зарядом q и массой m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном электрическом поле E = Ez ez +E e (γ t) . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 . (Единичный вектор e (ϕ) обсуждается в Приложении).

4. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в постоянном однородном электрическом поле E при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

5. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в однородном электрическом поле E = E0 cos γ t при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

Указание. Частное решение линейного неоднородного уравнения mr +µr = qE0 cos γ t искать в виде r =a cos(γ t +α).

Постоянные a и a определяются путем подстановки этого решения в уравнение.

6. Найти закон движения частицы с зарядом q и мас-

5

ния C и C'′ для разных частных решений различны и опре-

деляются путем подстановки начальных данных в общее решение.

8. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в постоянном однородном магнитном поле B =ez B при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

Указание. В нерелятивистском случае представить ради-

ус-вектор в виде r = r +ez z и искать частные решения уравнения mr =(qc)[r B]−µ r в виде r =C exp(kt) e (ωt +C ′), где

k, w, C и C' – постоянные. Возможные значения k и w определяются путем подстановки выражения для r в уравнение. Значения C и C' для разных частных решений различны

и определяются путем подстановки начальных данных в общее решение.

9. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в постоянном однородном магнитном поле B =ez B при наличии постоянной по величине силы трения Fтр = −µv /v . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиусвектором r0 и имела скорость v0 .

Указание. В нерелятивистском случае искать решение уравнения mv =(qc)[vB]−µ vv в виде v = vev , где v – абсолютная величина скорости, а единичный вектор ev указывает ее направление.

10.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m

впараллельных постоянных однородных полях – магнитном

6

для поперечной составляющей радиус-вектора искать в виде r =a t , где a – ортогональная магнитному полю постоянная.

12. Между обкладками цилиндрического конденсато-

ра с радиусами a и b (a < b) поддерживается разность потенциалов V. В пространстве между обкладками имеется аксиально симметричное магнитное поле B =ez B(r ) , где r – расстояние от оси z, а сама эта ось совпадает с осью конденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода, вылетают электроны с нулевой начальной скоростью. Найти критическое значение потока магнитного поля ФКР между обкладками, при котором электроны перестанут попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле.

13. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m в постоянном однородном магнитном поле B =ez B при наличии вращающегося однородного электрического поля

E = Ez ez +E e (γ t) . В момент времени t = 0 частица находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0 .

Указание. Частное решение неоднородного уравнения mr =(qc)[r B]+qE e (γ t) для поперечной составляющей ра-

диус-вектора искать в виде r =ae (γt) , где а – постоянная. 14. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в постоянном однородном магнитном поле B =ez B

7

15. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m в постоянном однородном магнитном поле B =ez B при наличии вращающегося однородного электрического по-

ля E = Ez ez +E e (γ t) и линейной по скорости силы трения

Fтр = −µv .

16. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в поле плоской электромагнитной волны.

Пояснение. Электрическое и магнитное поля плоской волны зависят от координат и времени через посредство одного скалярного аргумента ξ=t −(nr )c , где с – скорость света в вакууме, а n – постоянный единичный вектор, указывающий направление распространения волны. Электрическое поле E , магнитное поле B и вектор n взаимно ортогональны, причем B =[nE] .

17. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в поле плоской монохроматической (с частотой w) линейно поляризованной электромагнитной волны. При t = 0 частица покоилась в начале координат.

Указание. Считать, что волна распространяется в нап-

равлении ez , и использовать для полей выражения E =ex E cosωξ и B =ey E cosωξ , где ξ=t −zc .

18.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m

вполе плоской монохроматической (с частотой w) поляризованной по кругу электромагнитной волны. При t = 0 частица покоилась в начале координат.

Указание. Считать, что волна распространяется в направ-

, и использовать для полей выражения E = E e (ωξ)лении ez

иB = E e

19.Найти закон движения частицы с зарядом q и мас-

сой m в поле плоской электромагнитной волны при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . Считать, что волна распространяется в направлении ez и ее

электрическое и магнитное поля определяются выраже-

ниями E = E (ξ) и B =[ez E (ξ)] , где ξ=t −zc , а индекс ^ означает, что соответствующий вектор ортогонален оси z.

Считать также, что при t = 0 частица покоилась в начале координат.

8

20.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m

вполе плоской монохроматической (с частотой w) линейно поляризованной электромагнитной волны (E =ex E cosωξ , B =ey E cosωξ , ξ=t −zc ) при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . При t = 0 частица покоилась

в начале координат.

21. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m в поле плоской монохроматической (с частотой w) поляри-

зованной по кругу электромагнитной волны ( E = E e (ωξ) , B = E e (ωξ+π2) , ξ=t −zc ) при наличии линейной по ско-

рости силы трения Fтр = −µv . При t = 0 частица покоилась в начале координат.

22. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m в поле плоской монохроматической (с частотой w) поляризованной по кругу электромагнитной волны при одновременном наличии постоянного однородного магнитного поля, направление которого совпадает с направлением распространения этой волны. При t = 0 частица покоилась в начале координат.

Указание. Считать, что волна распространяется в направ-

лении ez , и использовать для полей выражения E = E e (ωξ) и B = E e (ωξ+π2)+B||ez , где ξ=t −zc .

23. Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t). При t = 0 частица имела скорость v0 .

24.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии линейной по скорости силы трения Fтр = −µv .

25.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии постоянного однородного электрического поля E = Ez ez .

26.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии постоянного однородного электрического поля E = Ez ez и линейной по скорости силы трения Fтр = −µv .

9

27.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой

m во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии постоянного однородного электрического поля E = E e (α) .

28.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m

во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии переменного электрического поля E = E e (ωt +α) .

29.Найти закон движения частицы с зарядом q и массой m

во вращающемся с постоянной угловой скоростью однородном магнитном поле B = Bz ez +B e (γ t) при наличии переменного электрического поля E = E e (ωt +α) и линейной по скорости силы трения Fтр = −µv .

30.Согласно модели Томсона, атом водорода состоит из тяжелого шара радиуса R, по объему которого равномерно распределен некоторый положительный заряд Q и внутри которого движется легкая точечная частица (электрон) массы m

сзарядом q = –Q. В таких условиях на электрон действует си-

ла F = −kr , где k = Q2 , а r – радиус-вектор, проведенный от

R3

центра шара к электрону. Найти закон движения электрона r (t) в томсоновском атоме при начальных условиях r (0)= r0

и r (0)= v0 .

31. Найти закон движения электрона в томсоновском атоме (см. задачу 30) при наличии постоянного однородного электрического поля E . В момент времени t = 0 электрон находился в точке с радиус-вектором r0 и имел скорость v0 .

32. Найти закон движения электрона в томсоновском ато-

33. Найти закон движения электрона в томсоновском атоме (см. задачу 30) при наличии вращающегося однородного электрического поля E = Ez ez + E e (γt) и линейной по скорости силы трения Fтр = −µv . В момент времени t = 0 электрон находился в точке с радиус-вектором r0 и имел скорость v0 .

10