Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

536 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

q2 E 2

Учитывая

выражение для

электрического

поля

E = E e (ωξ) и начальные условия, находим решение этого

уравнения:

p =

(−Ωξ + π / 2)

− e

(ωξ + π / 2) .

ω + Ω

Используя затем выражение

v dξ

c pdξ

pdξ

= v dt

1− vz c

m2c2 + p2 − p

получаем

r =

[(ω + Ω)e (0) − ω e (−Ωξ) − Ωe

(ωξ)];

mω Ω(ω + Ω)

z = m2c(ω + Ω)3 [(ω + Ω)ξ − sin(ω + Ω)ξ]. Эти два равенства вместе с соотношением

q2 E 2

t = ξ + [(ω + Ω)ξ − sin(ω + Ω)ξ]

m2c2 (ω + Ω)3

выражают закон движения в параметрической форме (параметр ξ). В нерелятивистском приближении вместо последнего соотношения следует пользоваться равенством ξ = t. Проекция траектории частицы на плоскость, перпендикулярную оси z, является либо эпициклоидой, если знаки ω и Ω различны, либо гипоциклоидой, если эти знаки одинаковы.

При ω = −Ω = −qB||mc имеет место резонанс и тогда r = mqEΩ2 [1+ (Ωξ)2 e (−Ωξ + arctgΩξ) − e (0)];

z =	q2 E	2	ξ3;	t = ξ +	q2 E 2	ξ3.

	6m2c				6m2c2

В этом случае проекция траектории частицы на плоскость, перпендикулярную оси z, представляет собой эвольвенту окружности.

23. Уравнение движения имеет вид

v = [v,Ωz ez + Ω e (γ t)],

где Ωz = qBz/mc, Ω = qB /mc.

В релятивистском случае следует заменить m на

m 1− v2 c2 = m

1− v2

c2 . Решение будем искать в виде

v = v

+ v′ e (γ t)+ v′′e (γ t + π 2).

Подставляя это выражение в уравнение движения, полу-

чаем систему уравнений для v

, v′

и v′′ :

= − Ω

v′′ ; v′ = (Ω

+ γ)v′′ ;

v′′ = Ω

−(Ω

+ γ)v′ .

Решая эту систему, находим

v = C1 e1(t)+ C2 [e2(t)cos(Ωt + C3)− e3(t)sin(Ωt + C3)], (*)

где

Ω = Ω2

+(Ω

+ γ)2

, а

e (t) ,

e (t) , e (t) − переменные

единичные векторы:

(Ωz + γ)ez + Ω e (γ t)

− Ω ez

+ (Ωz

+ γ)e (γ t)

e1(t) =

; e2

(t) =

;

e3(t) = e (γ t + π2) .

C1, C2 и C3 − постоянные интегрирования. В данном случае

C12 + C22 = v2 = v02 , C1 − проекция начальной скорости v0 на направление единичного вектора e1(0) , а C2 −проекция v0 на

плоскость, перпендикулярную вектору e1(0) . Найденное выражение для скорости v показывает, что она с постоянной угловой скоростью Ω вращается вокруг вектора e1(t) , который, в свою очередь, с угловой скоростью γ вращается вокруг постоянного вектора ez . Подобным же образом ведет себя во вращающемся магнитном поле магнитный момент.

В общем случае средняя скорость v направлена вдоль оси z:

		Ωz + γ
v	= C1			ez .

		Ω2 + (Ωz
		Ω2 + (Ωz	+ γ)2

Но при γ = γ = −(Ω2z + Ω2 ) 2Ωz выражение для скорости принимает вид:

v = Ω2z +1 Ω2 {C1[(Ω2z − Ω2 ) ez + 2Ωz Ω e (γ t)]+

+C2[Ω2z e (2γ t − C3 ) − Ω2 e (C3 ) − 2Ωz Ω cos(γ t − C3 ) ez ]}

и у средней скорости появляется слагаемое, ортогональное оси z:

		Ω2z	− Ω2				Ω2
v	= C			e	− C			e (C ).
v	= C	Ω2z	+ Ω2	e	− C	2 Ω2z + Ω2		e (C ).
	1	Ω2z	+ Ω2	z		2 Ω2z + Ω2		3

Интегрируя выражение (*) для скорости, находим закон

движения:

r (t) = C

+ f (t)

+ f

(t),

(Ωz + γ)γ t ez − Ω e (γ t + π 2)

где

f1(t) = C1

;

γ Ω

κ e

(γ t) − e

(t) = C

γ(Ω

+ γ)+ Ω2

[η

sin(Ωt + C )+

Ω(Ω2 − γ 2 )

1+ κ2

+e (γ t + π 2)cos(Ωt + C3 )];

η =

Ω4 (Ωz + 2γ)2 + Ω2 (Ω2 − γ 2 )2

;

Ω[γ(Ωz + γ)+ Ω2 ]

κ = tgα =

Ω2 (Ωz + 2γ)

Ω (Ω2 − γ 2 )

Слагаемое f1(t) описывает движение по винтовой линии,

	у которой ось параллельна оси z, шаг равен	2π(Ωz + γ)C1
	у которой ось параллельна оси z, шаг равен	γ Ω
		γ Ω

икоторая навита на цилиндр радиуса Ω C1 . При Wz + g = 0

γΩ

винтовая линия вырождается в окружность. Слагаемое f2 (t) в общем случае описывает движение по эллипсу с отношением осей, равным h. Этот эллипс лежит в плоскости, угол между которой и осью z равен a и которая вращается вокруг оси z с угловой скоростью g.

При g2 = W2, чему соответствует γ = γ = −(Ω2z + Ω2 )2Ωz , для f1(t) и f2 (t) нужно использовать выражения:

	(t) =	C1	[ (Ω4	− Ω4 )t e	+ 4Ω2	Ω e (γ t + π 2) ] ;
f
		(Ω2z + Ω2 )2
1			z	z	z

	(t) =		C2	[Ω3	e (2γ t − C		+ π 2) −
f			C2
f			(Ω2z + Ω2 )2
2			(Ω2z + Ω2 )2	z		3
−Ω2	(Ω2	+ Ω2 )t e (C )+ 4Ω2				Ω sin(γ t − C ) e			] .
	z		3		z		3	z

Движение, отвечающее последнему выражению для f2 (t), состоит из колебания с частотой g* вдоль оси z и из движения по трохоиде (при Ω2z = Ω2 – по циклоиде) в плоскости, ортогональной оси z.

24. В нерелятивистском случае для скорости получаем выражение

v(t) = {C	e		(t) + C	2	[e	(t)cos(Ω t + C ) −
1		1		2	2	3
−e		(t)sin(Ωt				+ C )]}e xp(−λ t),
	3					3

где λ = μ/m, а остальные обозначения совпадают с обозначениями предыдущей задачи. Интегрируя полученное выражение для скорости, находим закон движения:

r (t) = C

+ g (t)

+ g (t),

где g

(t) = −C

exp(−λt)

[(Ω

γ)e

λ Ω

e (γ t + π 2 − a r c tg γ ) ] ;

γ 2 + λ2

exp(−λt)

ΩΩ ez

(t) = C

−

+ a e

(γ t + β ) sin(Ωt + C

Ω2+ λ2

λ Ω ez

+ ace

(γ t + π

2 + βc ) cos(Ωt

+ C3 )

;

+ λ

as = Ω

(Ωz + 2γ)2 + λ2

;

(Ω2 + γ 2 + λ2 )2 − 4Ω2 γ 2

ac =

[γ(Ωz + γ)+ Ω2 ]2 + λ2 (Ωz + γ)2

;

(Ω2 + γ 2 + λ2 )2 − 4Ω2 γ 2

tgβs = λ

2γ(Ωz + 2γ)+ (Ω2 − γ 2 + λ2 )

;

(Ωz + 2γ)(Ω2 − γ 2 + λ2 ) − 2γλ2

tgβc = λ (Ωz + γ)(Ω2 + γ 2 + λ2 )+ 2γ Ω2 . γ(Ωz + γ)(Ω2 − γ 2 − λ2 )+ Ω2 (Ω2 − γ 2 + λ2 )

25. В нерелятивистском случае для скорости получаем выражение:

v = vB + vE ,

где vB = C1 e1(t)+ C2 [e2 (t)cos(Ωt + C3 ) − e3(t)sin(Ωt + C3 )]; vE = (qEz mΩ)[(Ωz + γ)t e1(t)+ (Ω Ω)e3(t)].

Здесь C1, C2 и C3 – постоянные интегрирования, а выражения для переменных единичных векторов e1(t) , e2 (t) , e3(t) и для постоянных частот Wz, W^, W приведены в решении задачи 23. Интегрируя полученное выражение для скорости,

находим закон движения:

qEz

(t) = C

+ f (t)+ f

(t)

[(Ω

+ γ) γ

t e

2mγ 2Ω2

+ 2Ω (Ωz + 2γ )e (γ t) −2Ω (Ωz

+ γ)γ t e (γ t + π 2)] .

Выражения для f1

(t) и f2 (t) приведены в решении задачи

(Ω2 + Ω2

)

23. При γ ≠ −

движение финитно, если W + g = 0.

2Ωz

26. В нерелятивистском случае для скорости получаем

выражение:

v = v(λ ) + v

где v(λ) =

C e

(t) + C

(t)cos(Ωt + C ) − e

(t)sin(Ωt + C )] ×

{

1 1

}

× exp(–λt);

qEz

λ2 + (Ωz

+ γ)2 (

)

(t).

mλ λ2 + Ω2

Здесь l = m/m. C1, C2 и C3 – постоянные интегрирования. Выражения для частот Wz, W^, W и для переменных единичных векторов e (t) , e (t) , e (t) приведены в решении задачи

12 3

23.Единичный вектор e1(λ )(t) определяется выражением:

(γ t + arctg

λ2 + (Ω

+ γ)2

+ Ω

)

(

)

Ωz + γ

(t) =

;

λ2

+ (Ωz

+ γ)2 + Ω2

причем e1(λ)(t) → e1(t) при λ → 0. При λ ≠ 0 скорость всегда конечна. Интегрируя полученное выражение для скорости, находим закон движения:

qEz

(t) = C

+ g

(t)+ g

(t)+

[λ

+ (Ω

+ γ) ]t e

mλ(λ2 + Ω2 ){

+(Ω γ)λ2 + (Ωz + γ)2 e (γ t − arcctg[λ(Ωz + γ)])}.

Выражения для g1(t) и g2 (t) приведены в решении задачи 24. При наличии трения (l ≠ 0) движение инфинитно, тогда как в отсутствие трения (задача 25) оно оказывалось финитным при Wz + g = 0.

27. В нерелятивистском случае для скорости получаем выражение:

v = vB + vE ;

где vB = C1 e1(t)+ C2 [e2 (t)cos(Ωt + C3 ) − e3(t)sin(Ωt + C3 )];

		qE	2
vE	=		{Ω e (2γ t − α − π 2)	+
		2mγ(Ω2 − γ 2 )

+[Ω2 − 2γ(Ωz + 2γ) ]e (α + π2) + 2Ω (Ωz + 2γ)si n (γt − α)ez }.

Здесь C1, C2 и C3 – постоянные интегрирования. Выражения для частот Wz, W^, W и для переменных единичных векторов e1(t) , e2 (t) , e3(t) приведены в решении задачи 23. Интегрируя выражение для скорости, находим закон движения:

		qE	2
r (t) = C0	+ f1(t) + f2 (t) +		{−Ω e (2γ t − α)+
		4mγ 2 (Ω2 − γ 2 )

+2γ t[Ω2 − 2γ(Ωz + 2γ)]e (α + π2) −

−4Ω (Ωz + 2γ)cos(γt − α)ez }.

Выражения для f1(t) и f2 (t) приведены в решении задачи 23.

Дрейфовая скорость (усредненная по времени скорость vE) в общем случае конечна:

			qE	2
vДР	= vE	=		[Ω − 2γ(Ωz	+ 2γ)]e (α + π 2).
			2mγ(Ω2 − γ 2 )

Однако при g = 0, а также при g2 = W2, чему соответствует γ = γ = −(Ω2z + Ω2 ) 2Ωz , имеет место резонанс. В случае g = g* выражение для vE принимает вид:

		qE Ω2
vE	=					{Ωz [e (2γ t − α − π 2)			−
vE	=		2	2 2		{Ωz [e (2γ t − α − π 2)			−
		m(Ω + Ωz )
				Ω2		Ω2z
		−	3 +		+		e (α + π 2)	−
		−	3 +	2	+	2	e (α + π 2)	−
				Ωz		Ω

	Ω		Ωz		2
−2	Ωz	+		sin(γ t − α)ez	]− t [Ωz e (2γ t − α) −

			Ω

		−Ω2 e (α) − 2Ω Ωz cos(γ t − α)ez ]},
а в случае γ = 0:
v	=	qE	{t Ω cosα [Ω e (0)+ Ω e	]−
		m(Ω2 + Ω2z )
E			z z

−Ωz e (α + π2) − Ω sinα ez }.

28. В нерелятивистском случае для скорости получаем выражение:

v = vB + vE ,

где vB = C1 e1(t)+ C2 [e2 (t)cos(Ωt + C3 ) − e3(t)sin(Ωt + C3 )];

			qE			2
vE	=					{Ω e (2γ t − ωt − α − π 2)	+
vE	=		2m(γ − ω)[Ω	2	2	{Ω e (2γ t − ωt − α − π 2)	+
			2m(γ − ω)[Ω		−(γ − ω) ]
		+[Ω2 − 2(γ − ω)(Ωz + 2γ − ω)]e (ωt + α + π 2)+
			+2Ω (Ωz		+ 2γ − ω)sin(γt − ωt − α) ez }.

r (t) = C	0	+ f (t)+ f			(t)+
			1	2
qE				2
				Ω	e (2γ t − ω t − α)+
2m(γ − ω)[Ω2 − (γ − ω)2				ω − 2γ
			]

	Ω2 − 2(γ − ω)(Ωz + 2γ − ω)
+				e (ωt + α)+
+		ω		e (ωt + α)+
		ω
		2Ω (Ω + 2γ − ω)
+			cos(γ t − ωt − α) e .
+		ω − γ	cos(γ t − ωt − α) e .
		ω − γ		z

Выражения для f (t) и f (t) приведены в решении задачи

23.В общем случае скорость vE конечна. Однако при g = w,


а также при γ = γ =				ω2 − Ω2z − Ω2	имеет место резонанс. При
а также при γ = γ =				2(Ωz + ω)	имеет место резонанс. При
g = w получаем:
v	=	qE	[ΩΩ t cosα e (t)+ Ωsinα e			(t) −(Ω		+ γ) e	(t)],
v	=		[ΩΩ t cosα e (t)+ Ωsinα e			(t) −(Ω		+ γ) e	(t)],
E		mΩ2		1	2		z	3

а при γ = γ :

vE	=		qE Ω2					{(Ωz + ω)[e (2γ t − ωt − α − π 2) −
			2		2 2
		m[Ω + (Ωz + ω) ]
				(Ωz + ω)2				Ω2
		−	3 +			+			e (ωt + α + π 2)	−
				2			2
				Ω			(Ωz + ω)

	Ωz + ω			Ω
−2			+			sin(γ t − ωt − α) ez	]−
		Ω		Ωz
					+ ω

−t [ (Ωz + ω)2 e (2γ t − ωt − α) − Ω2 e (ωt + α) −

−2Ω (Ωz + ω)cos(γ t − ωt − α)ez ]}.

29.В нерелятивистском случае для скорости получаем выражение:

v = v(λ)

+ v

где v(λ) =

{C e

(t) + C

(t)cos(Ωt + C ) − e

(t)sin(Ωt + C )]}×

× exp(–λt);

{D (Ω

γ)e (γ t) −Ω e

(γ − ω)2 + λ2

×si n (γt −ωt −α +ϕ −ψ −χ) + +D (γ − ω)2 + λ2 e (γt + π2)×

×cos(γt − ωt − α − ψ − χ) − e (γt)si n (γt − ωt − α + ϕ)}.

Здесь l = m/m; C1, C2 и C3 – постоянные интегрирования; выражения для переменных единичных векторов e1(t), e2 (t), e3(t) и для частот Wz, W^, W приведены в решении задачи 23.

D =

(Ωz + 2γ − ω)2 + λ2

;

[Ω2 −(γ − ω)2 + λ2 ]2 + 4λ2 (γ − ω)2

tgϕ =

;

tgψ =

; tgχ =

2λ(γ ω)

γ ω

Ωz

+ 2γ − ω

Ω2

− (γ − ω)2 + λ2

30. Удовлетворяющее начальным условиям решение урав-

нения движения r + ω0

r = 0 можно представить в виде:

= C

cosω

t + C

sinω

t = r

cosω

t +

sinω

ω0

где ω20 = km . Из этого закона движения вытекает, что траектория частицы в общем случае представляет собой эллипс. Для составляющих радиус-вектора − параллельной произ-


вольным образом выбранному направлению ez и перпенди-
кулярной этому направлению − имеем:
z = z0		cosω0t +		v0z		sinω0t,
z = z0		cosω0t +		ω0		sinω0t,
r	= r			ω0
		cosω	t +		v0	sinω	t.
		cosω	t +			sinω	t.
	0	0			ω0	0
					ω0

Выражение для r можно также записать в виде, показывающем, что рассматриваемое движение по эллипсу представляет собой сумму движений по двум окружностям с разными радиусами, причем угловые скорости этих движений постоянны, равны по величине и противоположны по направлению:

r = C1e (ω0t + C1′)+ C2e (−ω0t + C2′);

ω0r0 −[ez v0 ]

ω0r0 +[ez v0 ]

С e

(C ′) =

;

С e (C ′) =

2ω0

31.

= CI cosω0t + CII sinω0t +

mω2

= r0

−

cos ω0t

sinω0t +

ω0

mω0

Траектория частицы – эллипс, центр которого находится

в точке с радиус-вектором

mω02

32.

qEz

z = CIz cos ω0t + CIIz

sinω0t +

= z0

−

cos ω0t +

mω0

v0 z

sinω

qEz

;

ω0

mω02

r = CI cos

ω0t

+ CII sinω0t +

e (γ t);

m(ω02 − γ 2 )

= r −

e (0);

m(ω02 − γ 2 )

qE γ

CII =

−

e (π

2) .

ω0

− γ

)

m(ω0

Проекция частицы на плоскость, перпендикулярную оси z, движется с постоянной угловой скоростью g по окружнос-

ти радиуса	qE
		, а центр этой окружности движется по
	m(ω02 − γ 2 )	, а центр этой окружности движется по
эллипсу. При g → w0 имеем:
			1			qE
r → r0 cosω0t +			1	v0	+	qE	e (π 2) sinω0t +
r → r0 cosω0t +			ω0	v0	+	2mω0	e (π 2) sinω0t +
			ω0			2mω0

+ qE t e (ω t − π 2).

2mω0 0

В этом случае проекция частицы на плоскость, перпендикулярную оси z, движется по раскручивающейся архимедовой спирали, полюс которой движется по эллипсу.

33. z = exp(− λt 2){CI z cos[tω02 −(λ2)2 ]+

2		2	]}+		qEz
+CII z sin[t ω0	−(λ	2)				;
+CII z sin[t ω0	−(λ	2)			mω02	;


r = exp(− λt 2){CI cos[t			ω0	2 −(λ 2)2 ]+

+CII sin[t ω02 −(λ2)2 ]}+ a e (γt + α),

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]