Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Учебное пособие

Отсюда получаем:

В релятивистском случае траектория представляет собой

по которой частица движется с убывающей угловой скоростью ϕ и стремящейся к c скоростью вдоль оси z.

и электрическому полю, постоянна и не зависит ни от заряда ни от массы частицы. Ω = qB/mc − циклотронная частота. Траектория частицы сходна с траекторией во вращающемся вокруг оси z однородном электрическом поле (см. задачу 3). Проекция траектории на плоскость, перпендикулярную магнитному полю, в общем случае является трохоидой, при v0 =0 − циклоидой, а при v0 = vДР − прямой. Следует иметь в виду, что закон движения получен в нерелятивистском приближении. Поэтому результат справедлив при выполнении, в частности, неравенства vДР << c или же E << B.

12. При нулевой начальной скорости электрон будет двигаться в плоскости, перпендикулярной оси z, так что его

21

скорость v и импульс p будут ортогональны этой оси. То же будет относиться и к радиус-вектору r при выборе начала координат в точке пересечения оси z с плоскостью движения. Уравнение движения будет иметь такой вид:

dp / dt = mΩ(r) vez − q ϕ(r) ,

где m − масса электрона; q − его заряд; Ω(r) = qB(r)/mc; c − скорость света; ϕ(r) − потенциал электрического поля между обкладками конденсатора.

Умножив обе части уравнения движения скалярно на v и учтя, что (v )ϕ(r) = dϕ(r)dt и (v dpdt) = dT dt , где Т – кинетическая энергия частицы, получим dT = −q dϕ и, интегрируя,

T (b) −T (a) = q[ϕ(a) − ϕ(b)] =| q |V .

Умножив обе части уравнения движения векторно на r и учтя, что

[r d pd t] = d [r p]/ d t, r ϕ(r ) = 0,

найдем

ddt [rp] = mΩ(r)[r[vez ]] = −ez mΩ(r)(rv) = −ez mΩ(r)r ddrt , откуда следует

[r p]rr ==ba = −ez m∫b Ω(r)r d r = −ez (q2πc)∫b B(r)2πr d r =

= −ez (q2πc)Ф .

Так как электрон вылетает из катода с нулевой начальной скоростью, то p(a) = 0, T(a) = 0 и, следовательно,

T (b) = | q |V .

Значению Ф = ФКР отвечает ситуация, когда у анода (при

r = b) векторы r и p ортогональны друг другу и поэтому

ФКР = 2πcb p(b) . | q |

Проведенные до сих пор вычисления годятся как для нерелятивистского, так и для релятивистского случаев. Раз-

22

личие между ними обусловлено лишь различием выражений, связывающих импульс с кинетической энергией.

В нерелятивистском случае:

13. При g ≠ –W:

qE t

+ mΩ e (−Ωt + π 2) .

В экспериментах по так называемому циклотронному резонансу измеряют отвечающие резонансу значения g и B, а затем по этим значениям рассчитывают величину q/m или же m (при заранее известном q). Циклотронный резонанс используется, например, для определения эффективных масс

23

где Ω = qmBc . В данном случае резонанс возможен как при γ =

= –Ω, так и при γ = Ω.

15. r (t) = C0 + C1 exp(−λt) e (−Ωt + C1′) +

При t >> m/m частица движется практически по винтовой

со временем, а электрическое поле в единицу времени совершает работу

равную по величине и противоположную по знаку работе силы трения. Эта работа максимальна при γ = –Ω, причем максимум выражен тем отчетливее, чем меньше λ.

16. Пусть направление оси z совпадает с направлением распространения волны, т.е. пусть n = ez . Тогда ξ = t − zc и E = E (ξ) . Нижний индекс ^ у вектора означает, что этот вектор ортогонален оси z.

а) Нерелятивистский случай (v << c).

Представим скорость частицы в виде v = v + ez vz и из уравнения движения

24

Перейдем от переменной t к переменной x, используя соотношение x = t – z/c:

При преобразовании правой части уравнения (3) использовано уравнение (5). Интегрируя уравнения (5) и (6),

Здесь постоянные интегрирования v0 и v0z – значения соответственно v (ξ) и vz(x) при x = 0. В выражении (8) для vz(x) опущены члены высшего порядка малости, поскольку такие же члены фактически уже не учитывались выше, когда в исходном уравнении движения использовалось нерелятивистское выражение для импульса частицы. По полученной скорости частицы v(ξ) находим закон движения:

25

где r0 и z0 − значения соответственно r (ξ) и z (ξ)при ξ = 0.

Равенства (9–11) выражают закон движения в параметрической форме (x – параметр). При получении этих равенств опять не учитывались члены высшего порядка малости.

б) Релятивистский случай.

Теперь будем использовать релятивистское выражение для импульса частицы:

Представим импульс в виде p = p + ez pz и из уравнения движения

и получим уравнения для составляющих импульса:

Переходя от переменной t к переменной x и используя вытекающее из (12) выражение для скорости

26

При преобразовании правой части уравнения (15) использовано уравнение (17). Интегрируя (17) и (18), находим

ностью поля плоской волны относительно преобразования t → t + dt, z → z + cdt.

Возведя обе части равенства (20) в квадрат и произведя перегруппировку членов, получим

где r0 и z0 − значения соответственно r (ξ) и z(ξ)при ξ = 0. Равенства (22) и (23) выражают закон движения в параме-

трической форме (x – параметр).

17. Закон движения частицы в параметрической форме (параметр h) имеет вид:

27

x = (qE mω2 )(1− cos η); y = 0;

z = (q2 E 2 8m2ω3c)(2η − sin2η);

t = ηω +(q2 E 2 8m2ω3c2 )(2η − sin2η).

(В нерелятивистском случае вместо последнего равенства следует писать h = wt.) Траектория частицы лежит в плоскости xz в полосе от x = 0 до x = 2qE^/mw2. Она состоит из опирающихся на ось z повторяющихся одинаковых симметричных арок, каждая из которых похожа на повернутую на 90° фигурную скобку.

18. Полагая, что ex = e (0) и ey = e (π2) , закон движения частицы можно представить в следующей параметрической форме (параметр h):

z = (q2 E 2 m2ω3c)(η − sinη);

t = ηω +(q2 E 2 m2ω3c2 )(η − sinη) .

(В нерелятивистском случае вместо последнего равенства следует писать h = wt.) Траектория частицы представляет собой приплюснутую в направлении оси x циклоиду, лежащую

вплоскости z = (qE^/mwc)y.

19.В нерелятивистском приближении уравнение движения имеет вид mv = qE + (qc)[v[ez E ]]− µv .

Будем искать решение этого уравнения в виде

v = u exp(−λt) , где l = m/m. Для составляющих вектора

Второе из этих уравнений показывает, что при нулевой начальной скорости (точнее, при uz(0) = 0) имеем uz ~ u2 c . Поэтому в правых частях уравнений можно пренебречь величиной uz/c по сравнению с exp(lt). При z(0) = 0 в том же

28

приближении получаем x = t – z/c ≈ t. В результате, полагая u(0) = 0 , находим

u (t) =

29

Здесь l = m/m и j = arctg(l/w). При t >> m/m частица движется практически по винтовой линии, у которой ось парал-

в единицу времени совершает работу q(Ev) = m(λ2 + ω2 ) .

22. Рассмотрим релятивистский случай.

Представив импульс в виде p = p + ez pz , из уравнения движения получим уравнения для составляющих импульса:

ddpt = q(1− vz c)E + mΩ[v ez ],

Здесь Ω = qB|| mc . Перейдя от переменной t к переменной

x= t – z/c и выразив скорость через импульс v = cp m2c2 + p2 , преобразуем эти уравнения к виду:

(m2c2 + p2 − pz ) ddpξ = (m2c2 + p2 − pz )qE + mc Ω[ p ez ];

= Cz, где Cz – постоянная. С учетом начальных данных

( p(0) = 0) имеем Cz = mc. В результате для продольной составляющей импульса находим выражение

pz = p2 2mc , а для поперечной получаем уравнение

30